4.5函数曲线的凹凸性及其判别

例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
( 0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
令 y 0 得
x1 1 , x 2 2 3 , x 3 2 3
从而三个拐点为
(1 , 1 ) ; ( 2 3 ,
1 3 1
1 3 84 3
) ; ( 2 3 ,
1
1 3 84 3
)
1 3
1 因为 8 4 3 , ( 2 3) 1 4
4.5函数曲线的凹凸性及其判别
曲线凹凸的定义
曲线的凹凸的判定
曲线的拐点及其求法
一、曲线的凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
曲线凹凸性的另一描述 :
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x ) 在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
思考题
e e 1. 证明:当x y时, e 2
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
4 1 解 当x 0时, y x , y x , 9 3 x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
(2 2 x )( x 2 1)2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1)4
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) ( x 2 1)3
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b ) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
1 3 于是 1
1 84 3 4 ( 2 3) 1
1 3
84 3 84 3 ( 2 3) 1 ( 2 3) 1
1
所以三个拐点共线.
e e 即当x y时, e . 2 x2 x2 2. 解 y 2 xe y 2 e (1 2 x 2 )
x y
x y 2
令 y 0，得 x1
1 2
, x2
1 2
当x
1 2
时 ,或 x
1 2
1 2
时 , y 0,
1 2 ,+)上都是凸的.
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
注 : 对于有二阶导数的函数f ( x ), 曲线 y f ( x )的拐点 只能是使 f ( x ) 0的点. 但满足f ( x) 0的点不一定是拐点. 例如 y x4 , 有y 4 x 3 , y 12 x 2 , 当x 0时, y 0, 但当x 0时, y 0,
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
下凸
上凸
下凸 上凸:曲线弧位于其每一点处切线的下方. 曲线向着切线一侧凹曲这种性质,称之为凹凸性.
二、曲线凹凸的判定
下凸
y
上凸
B
y f ( x)
A
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
点0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
所以(0,0)不是拐点. 曲线在(, )内是凹的.
拐点的求法
(1) 求 f ( x );
(2) 解出 f ( x) 0在(a, b)内的实根； (3) 对每一满足 f ( x) 0的实根或二阶导数不存在
的点x0 , 考察 f ( x)在 x0左、右两侧附近的符号.
如果两侧符号相反,则( x0 , f ( x0 ))是拐点；
x y x y 2
.
2.求曲线 y 1 e 的凹凸区间和拐点.
x2
x1 3. 求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1
1.证 设 f ( x) e
x
因 f ( x) 0 f ( x )是凹的.
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 所以 f( ) 2 2 x1 x2 x1 x2 e e e 2 2
所以函数在( ,
]和[
当
1 2
x
1 2
1 2
时 , y 0,
, 1 2 ]上是凹的.
所以函数在[
故凸区间是( ,
拐点为 (
1 2
]和[
1 2
1 2
,+), 凹区间是[
1 2 ,1 e
1 2
1 2
,
1 2
]
1 2
,1 e
)和(
)
( x 2 1) ( x 1)2 x 1 2 x x 2 3. 证 y 2 2 ( x 1) ( x 2 1)2
如果两侧符号相同,则( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
3 2
D : ( , )