材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)
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o.8
C
②
30° No.10
A F
天津大学材料力学
型钢－型钢表
天津大学材料力学
解： （1）列平衡方程，计算轴力。
F FN 1 2F sin 30 FN 2 FN 1 cos 30 3F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。 FN2
FN1
30° C
F
A1 2 10.8cm 2 2.16 103 m 2 A2 2 12.748cm 2 2.55 103 m 2
① A 2m F
天津大学材料力学
② B 1m
解：
（1）取AB为研究对象，画 出受力图。 A （2）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN2 B 2m F 1m
M M
A
0, 3FN 2 2 F 0 0, 3FN 1 F 0
B
FN 1
F 2F , FN 2 3 3
1 2
5kN
4
10kN A
1
5kN B
2 10 kN 5 kN
C
3
D
4
E
FN图：
10 kN
天津大学材料力学
§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
FN lim A 0 A
应力符号： σ 应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
直径改变量：
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素 与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。
在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
第1章 轴向拉伸、压缩和剪切
§1.1 概述 §1.2 轴力和轴力图 §1.3 拉压杆件的应力和变形 §1.4 工程材料的力学性能简介 §1.5 许用应力和强度条件 §1.6 简单桁架 的结点位移计算 简单 §1.7 应力集中 §1.8 拉压超静定问题 §1.9 连接杆件的实用计算
轴向拉伸或压缩
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
（3）利用强度条件，计算结构的许可载荷。
FN A
天津大学材料力学
A1 F 129.6kN
F
2 A2
3
[F]=129.6kN
176.7kN
§1.6 简单桁架的结点位移计算
例9：图示结构已知L, A, E, F, α，试求结点A的垂直 位移。
② 断面收缩率（截面收缩率）：
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。 低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
天津大学材料力学
• 多数塑性材料没有明 显的屈服阶段 • 名义屈服极限0.2
天津大学材料力学
铸铁的拉伸实验
天津大学材料力学
铸铁的拉伸实验结果分析：
B ①
C
α α
A F
② L
天津大学材料力学
y
B C
1杆
FN1
2杆
αα
A F
FN2 x
A
ΔL2
A2
ΔL1
A1
FN 1 FN 2
A'
F
F 2 cos
FN 1 L FL L1 L2 EA 2 EA cos
L1 FL A cos 2 EA cos 2
• 试件断口平齐、粗糙， 几乎没有塑性变形 ——脆性断裂 • 强度指标：强度极限b • 近似地认为应力、应变服 从胡克定律： =E
天津大学材料力学
低碳钢的压缩实验
天津大学材料力学
铸铁的压缩实验
抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
天津大学材料力学
§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
2、许用应力
u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
天津大学材料力学
轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
m ax
FN A m ax
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
天津大学材料力学
2、圣维南原理（St. Venant Principle）
杆端加力方式的不同，只对杆端附近截面 的应力分布有影响，受影响的长度不超出 杆的横向尺寸。
天津大学材料力学
3、斜截面上的应力
p cos cos
2
2
(1 cos 2 )
p sin cos sin
天津大学材料力学
2
sin 2
例3：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，AB段 直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，求直杆的最大 应力。
2F A F D 2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
天津大学材料力学
天津大学材料力学
解：首先利用截面法计算应力。
σx p
xt d p
x
d2
4
0
pd 4t
2t L p d L 0
p
σy
pd 2t
天津大学材料力学
利用Hooke’s Law计算变形。 环向应变：
pd E 2 Et
环向伸长量：
p d 2 s d 2 Et s pd 2 d 2 Et d
（3）利用强度条件，确定两杆的最小直径。
A
d2
4
FN
4 FN d
d1 19.5 mm d 2 22.6 mm
天津大学材料力学
例8：图示结构，斜杆由两根80×80×7的等边角钢组 成，横杆由两根10号槽钢组成，若[σ]=120Mpa，试 求结构的许用载荷[ F].
天津大学材料力学
1、横截面上的应力
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
天津大学材料力学
平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN A
天津大学材料力学
解：
1．确定铸铁杆各段的轴力，计算杆的最大拉应力和 最大压应力。
c m ax
FN A D FN A D 95.5M P a 2 πd1 A1 4
FN B C F C N B2 191.0 M P a πd 2 A2 4
t m ax
2．利用强度条件校核杆的强度。
c m ax 95.5M P a c
t m ax 191.0 M P a> t
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∴不安全
例7: 图示结构，①、②杆为圆形截面，F = 90kN， ①杆的许用应力[σ1]=100Mpa，②杆的许用应力 [σ2]=150Mpa，试求①、②杆的最小直径。
解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的应力 AD段： A D
FN A D F D N A2 πd1 A1 4 4 120 10 3 95.5M P a 6 2 π 40 10 FN B C FN B C BC π d 22 A2 4 4 60 10 3 191.0 M P a 6 2 π 20 10
① 塑性材料 ② 脆性材料
天津大学材料力学
例：低碳钢、铝、铜等； 例：铸铁、岩石、普通玻璃等。
低碳钢的拉伸实验
条件：常温、静载 设备：万能材料试验机 方法：《金属拉伸试验方法》(GB228-87)国家标准 试件：国家标准《金属拉伸试验试样》（GB6397－86） 圆棒形试件和板形试件两种类型。 标距 AB=l0，长比例试件l0=10d0，短比例试件l0=5d0
BC段：
3．确定杆的最大应力
天津大学材料力学
m ax B C 191.0 M P a
二、 变形（deformation）、应变（strain）
天津大学材料力学
胡克定律（Hooke’s Law）:
L L FN EA
—— 变形和轴力的关系
E
—— 应变和应力的关系
E
——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形
天津大学材料力学
天津大学材料力学
天津大学材料力学
加工硬化（冷作硬化） 颈缩阶段
强化阶段 屈服阶段
弹性卸载 弹性阶段
天津大学材料力学
强度指标
① ② 屈服极限： s 强度极限： b
塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：
l1－l 0 n＝ 100％ l0
A0－A1 ＝ 100％ A0
三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
天津大学材料力学
例6：图示铸铁圆截面杆，已知F=60 kN， AB段直径 d1=40mm，BC段直径d2=20mm，若[σc]=350MPa， [σt]=120MPa，试校核该杆的强度。
2F A 2F D B
60 kN
F
F C
FN图：
60 kN 120 kN
轴力图 ——每个截面上的轴力用图形表示出来
① 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； ② 易于确定最大轴力及其位置
天津大学材料力学
例1：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，求杆各 段轴力，并绘轴力图。
3 2 1
2F A
3
F D
2
2F B
1 60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
天津大学材料力学
轴力计算 任一截面上的轴力等于一侧外力的代数和。 画轴力图
① 轴力图画在原图正下方，与原图各截面相对应； ② 标出正、负号； ③ 标出特征截面的轴力值（不加正负号）、注明单位。 ④ 可画竖阴影线、勿画斜阴影线；
天津大学材料力学
例2：求图示杆各段的轴力，并绘轴力图。
1 3
20kN
2 10kN
2F A
F D
2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
天津大学材料力学
解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的变形
L AD FN A D L A D 4 120 10 3 1 0.48m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN D B L D B 4 60 10 3 3 0.72 m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN B C L B C 4 60 10 3 2 1.91m m 2 9 6 E A2 π 20 10 200 10
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
天津大学材料力学
§1.2 截面法 轴力及轴力图
一、求内力的方法——截面法 基本步骤：切、取、代、平 ① 假想切开
F m F m F FN
② 分段取出 ③ 内力代替 ④ 建立平衡
天津大学材料力学
FN F = 0
FN = F
取右半部分：
m F m F'N F F
的能力。
EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
天津大学材料力学
泊松比（Poisson’s Ratio）:
——横向线应变与纵向线应变之比，材料常数
—— 横向线应变和纵向线应变的关系
天津大学材料力学
例4：图示杆受轴向外力作用，已知F =60 kN， E=200 GPa， AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，且LAD=1m， LBD=3m， LBC=2m，求杆的总变形。
LDB
LBC
3．计算杆的总变形
L A C L A D L D B L B C 1.91 0.48 0.72 0.71m m
天津大学材料力学
例5：已知一圆柱形薄壁容器的内径为d，壁厚为t, 内部 压强为 p，试计算该压力容器的应力和变形。
用途：输油（气、水）管道、油罐等
F'N F = 0
F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。 轴力的正负号规定： 当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号； 当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。
天津大学材料力学
二、轴力和轴力图
轴力 ——轴向拉伸与压缩时的内力
① 特点：过截面形心、沿截面法线方向； ② 符号规定：拉伸（拉力）为正、压缩（压力）为负； ③ 轴力的单位： N 、 kN.
C
②
30° No.10
A F
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型钢－型钢表
天津大学材料力学
解： （1）列平衡方程，计算轴力。
F FN 1 2F sin 30 FN 2 FN 1 cos 30 3F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。 FN2
FN1
30° C
F
A1 2 10.8cm 2 2.16 103 m 2 A2 2 12.748cm 2 2.55 103 m 2
① A 2m F
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② B 1m
解：
（1）取AB为研究对象，画 出受力图。 A （2）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN2 B 2m F 1m
M M
A
0, 3FN 2 2 F 0 0, 3FN 1 F 0
B
FN 1
F 2F , FN 2 3 3
1 2
5kN
4
10kN A
1
5kN B
2 10 kN 5 kN
C
3
D
4
E
FN图：
10 kN
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§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
FN lim A 0 A
应力符号： σ 应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
直径改变量：
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素 与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。
在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
第1章 轴向拉伸、压缩和剪切
§1.1 概述 §1.2 轴力和轴力图 §1.3 拉压杆件的应力和变形 §1.4 工程材料的力学性能简介 §1.5 许用应力和强度条件 §1.6 简单桁架 的结点位移计算 简单 §1.7 应力集中 §1.8 拉压超静定问题 §1.9 连接杆件的实用计算
轴向拉伸或压缩
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
（3）利用强度条件，计算结构的许可载荷。
FN A
天津大学材料力学
A1 F 129.6kN
F
2 A2
3
[F]=129.6kN
176.7kN
§1.6 简单桁架的结点位移计算
例9：图示结构已知L, A, E, F, α，试求结点A的垂直 位移。
② 断面收缩率（截面收缩率）：
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。 低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
天津大学材料力学
• 多数塑性材料没有明 显的屈服阶段 • 名义屈服极限0.2
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铸铁的拉伸实验
天津大学材料力学
铸铁的拉伸实验结果分析：
B ①
C
α α
A F
② L
天津大学材料力学
y
B C
1杆
FN1
2杆
αα
A F
FN2 x
A
ΔL2
A2
ΔL1
A1
FN 1 FN 2
A'
F
F 2 cos
FN 1 L FL L1 L2 EA 2 EA cos
L1 FL A cos 2 EA cos 2
• 试件断口平齐、粗糙， 几乎没有塑性变形 ——脆性断裂 • 强度指标：强度极限b • 近似地认为应力、应变服 从胡克定律： =E
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低碳钢的压缩实验
天津大学材料力学
铸铁的压缩实验
抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
天津大学材料力学
§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
2、许用应力
u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
天津大学材料力学
轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
m ax
FN A m ax
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
天津大学材料力学
2、圣维南原理（St. Venant Principle）
杆端加力方式的不同，只对杆端附近截面 的应力分布有影响，受影响的长度不超出 杆的横向尺寸。
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3、斜截面上的应力
p cos cos
2
2
(1 cos 2 )
p sin cos sin
天津大学材料力学
2
sin 2
例3：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，AB段 直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，求直杆的最大 应力。
2F A F D 2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
天津大学材料力学
天津大学材料力学
解：首先利用截面法计算应力。
σx p
xt d p
x
d2
4
0
pd 4t
2t L p d L 0
p
σy
pd 2t
天津大学材料力学
利用Hooke’s Law计算变形。 环向应变：
pd E 2 Et
环向伸长量：
p d 2 s d 2 Et s pd 2 d 2 Et d
（3）利用强度条件，确定两杆的最小直径。
A
d2
4
FN
4 FN d
d1 19.5 mm d 2 22.6 mm
天津大学材料力学
例8：图示结构，斜杆由两根80×80×7的等边角钢组 成，横杆由两根10号槽钢组成，若[σ]=120Mpa，试 求结构的许用载荷[ F].
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1、横截面上的应力
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
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平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN A
天津大学材料力学
解：
1．确定铸铁杆各段的轴力，计算杆的最大拉应力和 最大压应力。
c m ax
FN A D FN A D 95.5M P a 2 πd1 A1 4
FN B C F C N B2 191.0 M P a πd 2 A2 4
t m ax
2．利用强度条件校核杆的强度。
c m ax 95.5M P a c
t m ax 191.0 M P a> t
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∴不安全
例7: 图示结构，①、②杆为圆形截面，F = 90kN， ①杆的许用应力[σ1]=100Mpa，②杆的许用应力 [σ2]=150Mpa，试求①、②杆的最小直径。
解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的应力 AD段： A D
FN A D F D N A2 πd1 A1 4 4 120 10 3 95.5M P a 6 2 π 40 10 FN B C FN B C BC π d 22 A2 4 4 60 10 3 191.0 M P a 6 2 π 20 10
① 塑性材料 ② 脆性材料
天津大学材料力学
例：低碳钢、铝、铜等； 例：铸铁、岩石、普通玻璃等。
低碳钢的拉伸实验
条件：常温、静载 设备：万能材料试验机 方法：《金属拉伸试验方法》(GB228-87)国家标准 试件：国家标准《金属拉伸试验试样》（GB6397－86） 圆棒形试件和板形试件两种类型。 标距 AB=l0，长比例试件l0=10d0，短比例试件l0=5d0
BC段：
3．确定杆的最大应力
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m ax B C 191.0 M P a
二、 变形（deformation）、应变（strain）
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胡克定律（Hooke’s Law）:
L L FN EA
—— 变形和轴力的关系
E
—— 应变和应力的关系
E
——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形
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加工硬化（冷作硬化） 颈缩阶段
强化阶段 屈服阶段
弹性卸载 弹性阶段
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强度指标
① ② 屈服极限： s 强度极限： b
塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：
l1－l 0 n＝ 100％ l0
A0－A1 ＝ 100％ A0
三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
天津大学材料力学
例6：图示铸铁圆截面杆，已知F=60 kN， AB段直径 d1=40mm，BC段直径d2=20mm，若[σc]=350MPa， [σt]=120MPa，试校核该杆的强度。
2F A 2F D B
60 kN
F
F C
FN图：
60 kN 120 kN
轴力图 ——每个截面上的轴力用图形表示出来
① 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； ② 易于确定最大轴力及其位置
天津大学材料力学
例1：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，求杆各 段轴力，并绘轴力图。
3 2 1
2F A
3
F D
2
2F B
1 60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
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轴力计算 任一截面上的轴力等于一侧外力的代数和。 画轴力图
① 轴力图画在原图正下方，与原图各截面相对应； ② 标出正、负号； ③ 标出特征截面的轴力值（不加正负号）、注明单位。 ④ 可画竖阴影线、勿画斜阴影线；
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例2：求图示杆各段的轴力，并绘轴力图。
1 3
20kN
2 10kN
2F A
F D
2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
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解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的变形
L AD FN A D L A D 4 120 10 3 1 0.48m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN D B L D B 4 60 10 3 3 0.72 m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN B C L B C 4 60 10 3 2 1.91m m 2 9 6 E A2 π 20 10 200 10
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
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§1.2 截面法 轴力及轴力图
一、求内力的方法——截面法 基本步骤：切、取、代、平 ① 假想切开
F m F m F FN
② 分段取出 ③ 内力代替 ④ 建立平衡
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FN F = 0
FN = F
取右半部分：
m F m F'N F F
的能力。
EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
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泊松比（Poisson’s Ratio）:
——横向线应变与纵向线应变之比，材料常数
—— 横向线应变和纵向线应变的关系
天津大学材料力学
例4：图示杆受轴向外力作用，已知F =60 kN， E=200 GPa， AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，且LAD=1m， LBD=3m， LBC=2m，求杆的总变形。
LDB
LBC
3．计算杆的总变形
L A C L A D L D B L B C 1.91 0.48 0.72 0.71m m
天津大学材料力学
例5：已知一圆柱形薄壁容器的内径为d，壁厚为t, 内部 压强为 p，试计算该压力容器的应力和变形。
用途：输油（气、水）管道、油罐等
F'N F = 0
F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。 轴力的正负号规定： 当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号； 当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。
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二、轴力和轴力图
轴力 ——轴向拉伸与压缩时的内力
① 特点：过截面形心、沿截面法线方向； ② 符号规定：拉伸（拉力）为正、压缩（压力）为负； ③ 轴力的单位： N 、 kN.