材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)

BC段：
3．确定杆的最大应力
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m ax B C 191.0 M P a
二、 变形（deformation）、应变（strain）
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胡克定律（Hooke’s Law）:
L L FN EA
—— 变形和轴力的关系



E
—— 应变和应力的关系
E
——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形
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解：
1．确定铸铁杆各段的轴力，计算杆的最大拉应力和 最大压应力。

c m ax
FN A D FN A D 95.5M P a 2 πd1 A1 4
FN B C F C N B2 191.0 M P a πd 2 A2 4
t m ax
2．利用强度条件校核杆的强度。
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1、横截面上的应力
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
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平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN A
① 塑性材料 ② 脆性材料
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例：低碳钢、铝、铜等； 例：铸铁、岩石、普通玻璃等。
低碳钢的拉伸实验
条件：常温、静载 设备：万能材料试验机 方法：《金属拉伸试验方法》(GB228-87)国家标准 试件：国家标准《金属拉伸试验试样》（GB6397－86） 圆棒形试件和板形试件两种类型。 标距 AB=l0，长比例试件l0=10d0，短比例试件l0=5d0
（3）利用强度条件，计算结构的许可载荷。
FN A
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A1 F 129.6kN
F
2 A2
3
[F]=129.6kN
176.7kN
§1.6 简单桁架的结点位移计算
例9：图示结构已知L, A, E, F, α，试求结点A的垂直 位移。
2F A
F D
2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
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解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的变形
L AD FN A D L A D 4 120 10 3 1 0.48m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN D B L D B 4 60 10 3 3 0.72 m m 2 9 6 E A1 π 40 10 200 10 FN B C L B C 4 60 10 3 2 1.91m m 2 9 6 E A2 π 20 10 200 10
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
2、许用应力

u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
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轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
m ax
FN A m ax
5kN
4
10kN A
1
5kN B
2 10 kN 5 kN
C
3
D
4
E
FN图：
10 kN
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§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
FN lim A 0 A

应力符号： σ 应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
（3）利用强度条件，确定两杆的最小直径。
A
d2
4


FN
4 FN d
d1 19.5 mm d 2 22.6 mm
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例8：图示结构，斜杆由两根80×80×7的等边角钢组 成，横杆由两根10号槽钢组成，若[σ]=120Mpa，试 求结构的许用载荷[ F].
B
① No.8
C
②
30° No.10
A F
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型钢－型钢表
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解： （1）列平衡方程，计算轴力。
F FN 1 2F sin 30 FN 2 FN 1 cos 30 3F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。 FN2
FN1
30° C
F
A1 2 10.8cm 2 2.16 103 m 2 A2 2 12.748cm 2 2.55 103 m 2
LDB
LBC
3．计算杆的总变形
L A C L A D L D B L B C 1.91 0.48 0.72 0.71m m
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例5：已知一圆柱形薄壁容器的内径为d，壁厚为t, 内部 压强为 p，试计算该压力容器的应力和变形。
用途：输油（气、水）管道、油罐等
直径改变量：
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§1.4 工程材料的力学性能简介

工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素 与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。

在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
① A 2m F
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② B 1m
解：
（1）取AB为研究对象，画 出受力图。 A （2）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN2 B 2m F 1m
M M
A
0, 3FN 2 2 F 0 0, 3FN 1 F 0
B
FN 1
F 2F , FN 2 3 3
1 2
第1章 轴向拉伸、压缩和剪切
§1.1 概述 §1.2 轴力和轴力图 §1.3 拉压杆件的应力和变形 §1.4 工程材料的力学性能简介 §1.5 许用应力和强度条件 §1.6 简单桁架 的结点位移计算 简单 §1.7 应力集中 §1.8 拉压超静定问题 §1.9 连接杆件的实用计算
轴向拉伸或压缩
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
• 试件断口平齐、粗糙， 几乎没有塑性变形 ——脆性断裂 • 强度指标：强度极限b • 近似地认为应力、应变服 从胡克定律： =E
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低碳钢的压缩实验
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铸铁的压缩实验
抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
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§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
的能力。

EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
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泊松比（Poisson’s Ratio）:
——横向线应变与纵向线应变之比，材料常数


—— 横向线应变和纵向线应变的关系
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例4：图示杆受轴向外力作用，已知F =60 kN， E=200 GPa， AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，且LAD=1m， LBD=3m， LBC=2m，求杆的总变形。
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解：首先利用截面法计算应力。
σx p
xt d p
x
d2
4
0
pd 4t
2t L p d L 0
p
σy
pd 2t
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利用Hooke’s Law计算变形。 环向应变：
pd E 2 Et

环向伸长量：
p d 2 s d 2 Et s pd 2 d 2 Et d
F'N F = 0
F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。 轴力的正负号规定： 当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号； 当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。
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二、轴力和轴力图
轴力 ——轴向拉伸与压缩时的内力
① 特点：过截面形心、沿截面法线方向； ② 符号规定：拉伸（拉力）为正、压缩（压力）为负； ③ 轴力的单位： N 、 kN.
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
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2、圣维南原理（St. Venant Principle）
杆端加力方式的不同，只对杆端附近截面 的应力分布有影响，受影响的长度不超出 杆的横向尺寸。
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3、斜截面上的应力
p cos cos
2

2
(1 cos 2 )
轴力计算 任一截面上的轴力等于一侧外力的代数和。 画轴力图
① 轴力图画在原图正下方，与原图各截面相对应； ② 标出正、负号； ③ 标出特征截面的轴力值（不加正负号）、注明单位。 ④ 可画竖阴影线、勿画斜阴影线；
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例2：求图示杆各段的轴力，并绘轴力图。
1 3
20kN
2 10kN
c m ax 95.5M P a c
t m ax 191.0 M P a> t
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∴不安全
例7: 图示结构，①、②杆为圆形截面，F = 90kN， ①杆的许用应力[σ1]=100Mpa，②杆的许用应力 [σ2]=150Mpa，试求①、②杆的最小直径。
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
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§1.2 截面法 轴力及轴力图
一、求内力的方法——截面法 基本步骤：切、取、代、平 ① 假想切开
F m F m F FN
② 分段取出 ③ 内力代替 ④ 建立平衡
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FN F = 0
FN = F
取右半部分：
m F m F'N F F
解：
1．确定杆各段的轴力。 2．计算杆各段的应力 AD段： A D
FN A D F D N A2 πd1 A1 4 4 120 10 3 95.5M P a 6 2 π 40 10 FN B C FN B C BC π d 22 A2 4 4 60 10 3 191.0 M P a 6 2 π 20 10
B ①
C
α α
A F
② L
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y
B C
1杆
FN1
2杆
αα
A F
FN2 x
A
ΔL2
A2
ΔL1
A1
FN 1 FN 2
A'
F
F 2 cos
FN 1 L FL L1 L2 EA 2 EA cos
L1 FL A cos 2 EA cos 2
p sin cos sin
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2
sin 2
例3：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，AB段 直径d1=40mm，BC段直径d2=20mm，求直杆的最大 应力。
2F A F D 2F B
60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
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三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
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例6：图示铸铁圆截面杆，已知F=60 kN， AB段直径 d1=40mm，BC段直径d2=20mm，若[σc]=350MPa， [σt]=120MPa，试校核该杆的强度。
2F A 2F D B
60 kN
F
F C
FN图：
60 kN 120 kN
② 断面收缩率（截面收缩率）：
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。 低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
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• 多数塑性材料没有明 显的屈服阶段 • 名义屈服极限0.2
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铸铁的拉伸实验
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铸铁的拉伸实验结果分析：
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加工硬化（冷作硬化） 颈缩阶段
强化阶段 屈服阶段
弹性卸载 弹性阶段
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强度指标
① ② 屈服极限： s 强度极限： b
塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：
l1－l 0 n＝ 100％ l0
A0－A1 ＝ 100％ A0
轴力图 ——每个截面上的轴力用图形表示出来
① 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； ② 易于确定最大轴力及其位置
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例1：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，求杆各 段轴力，并绘轴力图。
3 2 1
2F A
3
F D
2
2F B
1 60 kN
F C
FN图：
60 kN 120 kN
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