材力第四章第二讲

b o z
dy y
简单截面的惯性矩 矩形截面 y
2
h 2
z I y z dA h z bdA b 2 3 A
2
h 2
3
h 2 h 2
h
bh 12
3
3
y 2 2 同理： I z y dA h y bdA b 2 3 A
h 2 h 2
hb 3 12
显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。
此即保证梁为平面弯曲的条件。
注意到 y 轴是横截面的对称轴，且z 轴通过形心， 这一对轴称之为 形心主轴 。
3. 曲率确定
M Z＝ ydA ＝ y
A A 2
E

dA
E


y 2 dA M；
A
令
y dA I ,
2 z A
称为平面图形对z 轴的惯性矩.。
即横截面对中性轴Z 的静矩为零。由平面图形的几何性质 可知，只有Z轴通过截面形心时，才有SZ＝0，因此 中性轴必通过横截面形心。
2. 平面弯曲条件
M y＝ zdA ＝ z
A A
E

ydA
E
yzdA I
A
E
yz
0

E

0, I yz 0
即要求横截面对y、z 轴的惯性积为零。
l bb bb y d d y l d bb
与该点到中心层的距离y成正比。
2. 应力、应变关系
基于： • • 单向拉压假设； 拉压材料弹性常数相等。则有 y P , E E
const , y
M Z ＝0，M Z ＝ ydA＝M；
A
平面图形的几何性质
1. 静矩、形心
Sz Sy
y
z
dA

ydA zdA
A
c

z
y
o
A
y
2. 惯性矩
Iy
2. 惯性积
z dA A
2
z
I yz
yzdA
A
讨论
1. 惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、 可负、或为零。 z 2. 若坐标轴y 或z 轴中有一个是 图形的对称轴，则平面图形对 这对轴的惯性积为零。 如图：z坐标是图形的对称轴，故图 形的z 坐标相同，而y 坐标数值相同 而符号相反，故惯性积IYZ为零。
纯弯曲时梁的应力
纯弯曲： 横截面上弯矩为常量，而切力为零。 横力弯曲： 横截面上既有弯矩，又有切力。
A
P
P
D
a
C
a
B
P
研究对象
平面弯曲、纯弯曲
P
Pa
横力弯曲、剪力弯曲
矩形截面简支梁
1. 变形几何关系
（1）弯曲变形现象 • AA、BB仍保持直线，仍与 变形后的纵向线正交，但相对 地转过一角度 • aa 缩短，bb伸长，且变 为弧形。 （2）弯曲的基本假设 平面假设 梁弯曲变形后，其横截面仍保持 为一平面，并仍与变形后梁的轴 线垂直，只是转了一个角度。 a
y
M
O
M Z


max
Y
横截面上各点的正应力 与该点到中心轴的距离 y 正比。 问题：
z x
?
中心轴位置 ？ y
3. 静力学关系
y＝0， z＝0， 自然满足 M ＝0；
x
M
z
x
x＝0，
y
y
dA
z
N＝ dA＝0；
A
y
y
M ＝ zdA ＝0； M ＝0，
A
Z2 2 a2
I
A
2
3 2 63 6 2 2 2 4 12 2 12 2 84 52 136 cm 12 12
例3.7 图所示机器支架受到载荷P=35kN作用，试求截面 AA处的最大正应力。
M M x ,
max M max Wz
M max ymax Iz
max
3. 公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（ 0.2 ）梁。 0
4. 非对称截面梁 弯曲中心 开口薄壁杆件。
h
5. p，即公式仅适用于弹性范围。
惯性矩的计算
2 y dA I z , A 2 z dA I y . A
c) 两个抗弯截面模量
W z1 W z1 I z 5.64 10 6 5 3 13 . 27 10 m 3 y1 42 .5 10 I z 5.64 10 6 5 3 9 . 81 10 m 3 y 2 57 .5 10
t .max
C
C
hC
t
t
y y Et Et y dA 2 y dA ( I t 2 I c ) Ac At bht3 bhc3 bh 3 I t 2I c 2 (6 4 2 ) 3 3 3 1 Mz Et ( I t 2 I c )
M 14 103 105MPa 5 Wz1 13.27 10
(右侧边缘)
c max
M 14 103 143MPa 5 Wz2 9.8110
(左侧边缘)
由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知 塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et； Mz = 600N· m。试求:1．梁内最大拉、压正应力；2．中性轴的 位置。 根据平面假设，应变沿截面 高度作直线变化 ∵ Ec = 2Et， ∴ 沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。
M z yEt t dA y 2 Et c dA
At Ac
C
C
c max
t max
Ec E Mz 2M z hc c hc hc Et I t 2 I c I t 2Ic 2 600 41.4 10 3 8.69 MPa 3 50 100 (6 4 2 ) 10 12 3 Et Mz ht ht I t 2Ic
式中：
max
Y 符号判断：
M：横截面上弯矩；
以中性轴为界， y：横截面上所求一点至中性轴的距离； 靠凸边一侧受拉， 靠凹边一侧受压。 IZ：横截面对中性轴Z 的惯性矩。
5. 梁截面上最大正应力
梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即
max
My max M M IZ IZ WZ ymax M WZ
y
y
Z
dA dA
Z
o
y
பைடு நூலகம்
x＝0，
M
y
FN ＝ dA＝0；
A
A
a
M
z
x
＝0， M y＝ zdA ＝0； b
A
M Z ＝0，M Z ＝ ydA＝M； c
分析讨论
y
dA
z
1. 中性轴位置
x＝0，
N＝ dA＝0；
A
a
y
E E E dA＝ ydA S Z 0, 0, S z 0 A A
C
C
1 ．确定中性轴位置。设拉压 区高度分别为ht、hc
Fx 0
hC
1 1 c max hc b t max ht b 0 2 2
t
t
1 ．确定中性轴位置。设拉压 区高度分别为ht、hc
Fx 0

1 1 c max hc b t max ht b 0 2 2 c max ht h hc t max hc hc c max E 2 h c c max c max 2 c t max Et t max t max ht h hc 2hc 2hc hc ht h hc hc ( 2 1) h 41.4mm ht ( 2 2 ) h 58.6mm
A
b A
B
a
b B
• 单向受拉、压假设
设各纵向纤维之间 互不挤压，每一根纵向 纤维均处于单向拉伸、 或压缩。
（3）中性层、中性轴
由连续性假设， 存在着一层既不伸长，也 不缩短的纵向纤维层，称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲 时，梁横截面绕各自中性轴旋转。
（4）应变变化规律
微段dx为研究对象， 取坐标系如图。
圆形截面
IP
2 dA A
y
A
2
z 2 dA

o d
z
y
z

y 2 dA
A

z 2 dA I z I y
A
y
dA
d 4
32
极惯性矩
Iy Iz
圆环截面
d 4
64
d D
o
y d D
Z
IP D 4 2 2 Iz Iy D d 1 2 2 64 64
O为曲率中心， 为中心层 的曲率半径，夹角为 d ，考察 任一纵向线 bb 的应变。 变形前：bb o o o o d 变形后： bb y d 应变：
1 2 1 2
o
y
o1 o2
dx z y
const , y
横截面上任一点处的线应变
解：1)内力分析 M=35×0.4=14kN· m
2：横截面的几何特性 a)形心的位置
y1
100 25 50 2 50 25 12 .5 42 .5mm 100 25 2 50 25
b) 对中性轴的惯性矩 3)应力计算
I z 5.64 106 mm4 5.64 10 6 m 4
称为抗弯截面模量
max
IZ WZ y max
6.
弯曲正应力公式的适用范围
1. 公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形 状的梁（载荷作用于该对称面内）。
纵向对称面
2. 在横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，不有切应力作用。 此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立，但当梁跨长 与截面高度之比 l／h＞5时（工程实际中的梁远大于5）， 切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此 可以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。
c2 2
6cm
y
2
z2
Z
则a1＝2cm，a2＝2cm。 3. 求对形心轴的惯性矩
I yC
I ZC
2 63 6 23 4 36 4 40 cm 12 12
I Z C 1 I Z1 a12 A1 I ZC 2




平行移轴公式
同一截面图形对于平行的 两对坐标轴的惯性矩或惯性积 并不相同。当其中一对轴是图 形的形心轴时，它们之间有比 较简单的关系。
I y z 2 dA zc a dA
2 A A
y a
z
yc zc
dA
c
y
yc
zc
z dA 2a zc dA a
hC
t
t
600 (2 2 ) 100 10 3 6.15MPa 3 50 100 10 12 (6 4 2 ) 3
M , EI z
EI z , 1
1
中性层曲率，也即梁 弯曲变形的基本公式。

, .
EI z 称之为梁的弯曲刚度。
4. 弯曲正应力
M , EI z y
1
E
y
M
O y
M Z


M My E Ey EI z Iz 梁横截面上任一点处的 弯曲正应力计算公式。
A 2 c A 2
2
dA
A 2
b
o 平行移轴公式
I yc S yc 2a a A I yc a A
z
同理：
I z I zc b 2 A
I yz I y c zc abA
任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面 对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距 离平方成正比。
例：求对T字型形心轴 YC和ZC的的惯性矩 解：1. 取参考轴Z 2. 求形心
yc Ay
i i
2cm y
6 cm
c1 c
1
1
a a
2 1
z1 zc
yc
2 cm
A
A y A2 y2 1 1 A1 A2
y
2 6 5 6 2 1 3 cm 2 6 6 2
面向21世纪课程教材
材料力学
李 国 清
华中科技大学 力学系
copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China 版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系
第四章 梁的弯曲
4.1 梁的内力 4.2 平面弯曲梁的正应力
4.3 梁的弯曲剪应力 4.4 梁的强度计算 4.5 梁的合理强度设计 4.6 梁的弹塑性弯曲 4.7 梁的变形