第三讲-能带理论-中科大
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2013/10/16
第4讲 固体能带理论
4.1 能带理论概述 4.2 能带理论的基本假设 4.3 Bloch定理 4.4 能带的形成 4.5 典型能带分析 4.6 费米面与 能态密度 4.7 能带论的成就与局限
4.1 能带理论概述 性质最重要的理论基础
4.1 能带理论概述
能带理论是目前研究固体中电子运动，理解固体电光磁
/wiki/Semimetal
2.解释半导体类型
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2.解释直接带隙和间接带隙
) a semiconductor with a direct gap (like e.g. CuInSe2), B) a semiconductor with an indirect gap (like Si) and C) a semimetal (like Sn or graphite). Semimetals have charge carriers of both types (holes and electrons), so that one could also argue that they should be called 'double-metals' rather than semimetals. However, the charge carriers typically occur in much smaller numbers than in a real metal. In this respect they resemble degenerate semiconductors more closely. This explains why the electrical properties of semimetals are partway between those of metals and semiconductors.
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对k与k + Gh
Gh为k的周期
Gh(r)=Ψn,k(r)
Ψn,k
ℇn(k+Gh) =ℇn(k) 对确定的n值， ℇn(k) 是k的周期函数，只能 在一定范围内变化，有能量的上、下限。不同 的n代表不同的能带，n为带指标。相邻能带间 有间隙(禁带）也可以交迭 ℇn(k) 的总体称为能带结构
Bloch函数的一般性质 1.具有被周期函数所调幅的平面波的形式
•反映电子在各原胞 之间的公有化运动 •具有行进平面波的 形式 •像一个自由粒子
•反映电子在原胞内 的运动 •由于势场具有与晶 格相同的周期性， 电子在各原胞点上 出现的几率相等 •只相差相位eik.r不影 响大小
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Energy vs. crystal momentum for a semiconductor with an indirect band gap, showing that an electron cannot shift from the lowest-energy state in the conduction band (green) to the highest-energy state in the valence band (red) without a change in momentum. Here, almost all of the energy comes from a photon (vertical arrow), while almost all of the momentum comes from a phonon (horizontal arrow).
4.2 Bloch 定理及能带
2. 电子的波矢 晶体中的电子： •波矢量对应于平移算符本征值的量子数， 标志电子状态量子数
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3. 介于自由电子与孤立原子中间的模型 晶体中的电子： 自由电子： 孤立原子： •晶体中的电子是自由电子和孤立原子的结合 •孤立原子 分立的能级 自由电子 连续能级 • 由于晶体中的电子介于两者之间，因此能量取 值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能 带结构
4.1 能带理论的基本假设
周期场近似 •假定单电子势能场
具有与晶格同样的平移对称性
无论电子之间相互作用的形式如何， 都可以假定电子所感受到的势场具有 平移对称性 （周期场近似）
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4.1 能带理论的基本假设
能带理论基本假设小结 多电子体系问题 晶格周期场的单 电子定态问题
其中： •这个单电子方程是整个能带论的 出发点 •求解能确定晶体中电子运动规律
4.3 能带的形成
4.3 能带的形成
将bloch函数带入薛定谔方程，并消去eikr
[ [
关于uk(r)的波动方程(类似于薛定谔方程的本征方 程)。本征函数和本征值与k有关。一个本征方程的解 不止一个，对每个k有无穷个分立本征解
ℇ1(k)， ℇ2(k)，…… ℇn(k) Bloch电子状态由n和k两个量子数标记，相 应的能量和波函数为： ℇn(k) 和Ψnk(r)
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假定在体积V=L3中有N个 带正电荷的Ze离子实 NZ个价电子
4.1 能带理论概述
体系
NZ电 子动 能
NZ电子 库仑相 互作用
离子 实动 能
离子实 库仑相 互作用
电子和离 子实库仑 相互作用
体系的薛定谔方程：
4.1 能带理论概述
是1023数量级别的问题，不简化无法求解
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Energy vs. crystal momentum for a semiconductor with a direct band gap, showing that an electron can shift from the lowestenergy state in the conduction band (green) to the highest-energy state in the valence band (red) without a change in crystal momentum. Depicted is a transition in which a photon excites an electron from the valence band to the conduction band.
能带的性质
周期性： ℇn(k+Gh) =ℇn(k) 周期等于倒格矢，或k空间里相差一个倒格 矢的任意两点具有相同的能量 反演对称性：ℇn(k) = ℇn(-k)具有k=0的反演对 称性 能带与实际晶格具有相同的转动对称性：对 称操作后，V(r)不变，因而具有相同能量。新 状态与k空间转动对应。
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如何计算能带隙：
参考文献：
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4.2 Bloch定理及能带
4.2 Bloch 定理及能带
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的 所有离子之间。…….经过简明而直观的傅立 叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电 子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可 以获得。 Felix Bloch
4.1 能带理论的基本假设
1. 绝热近似 简化薛定 谔方程的 三个基本 假设
2. 单电子近似
布洛赫 定理 能带
3.周期场近似
4.1 能带理论的基本假设
Born-Oppenheimer绝热近似 •基本事实：原子核比电子重得多 m<<M •绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子 核的运动。原子核固定在它的瞬间位置。 •处理方法：离子实部分的哈密顿量为零
1952 Nobel Prize for Physics
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4.2 Bloch 定理及能带
•三大基本假设之后，单电子薛定谔方程为 其中：
为晶格格矢
方程的解应具有如下格式： Bloch函数 其中：
注：Bloch定理确定了周期势 场中波动方程解的基本特征
是以格矢为周 期的周期函数
4.2 Bloch 定理及能带
•首先由年轻人贡献，1928年23岁的Bloch 的博士论文 “论晶格中的量子力学”最早提出了解释金属电导的能 带概念 •1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别 在于能带是否填满，从而奠定了半导体物理的理论基础 •能带论提供了半导体解释的基：这部分近似的影响为10-5eV量级；晶体的振动 能级在10-3eV量级
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4.1 能带理论的基本假设
单电子近似 •运用Hartree-Fock方法将多电子问题（复 杂）转变为单电子问题（平均场，简单） •处理方法：用平均场代替Uee, 假定每个电子 所处的势能场均相同
注：可以通过分离变量 法单个电子求解（单电 子近似） 单电子势能场
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阶段性总结：
给出了固体电子态函数的特性 为了得到清晰确切的结果，必须对特定 的固体的实际势能V(r)求解薛定谔方程， 即使是简单的势能，也需要及其繁琐的 数学推导 两个推导特例：近自由电子近似和紧束 缚模型近似
1. 近自由电子模型（The Nearly Free Electron Model） 该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由 电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰 方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作 为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。 2. 紧束缚模型（The Tight-Binding Model） 该模型假定 原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子 运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微 扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带 的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。 关键是得到周期势场作用下，电子运动的一般特点， 给出其状态函数和能谱，并以此来解释固体性质。 （有兴趣可以参考黄昆版固体物理）
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投影能带图：
为了表述 方便，有 时需要将 能带投影， 得到投影 能带
能带相关的几个概念：
1.
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2.
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能带解释半导体性质：
1.解释半导体导电
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解释半导体导电解释金属、半金属、绝缘体和半导体
半金属能带的特点， 是它的导带与价带之 间有一小部分重叠。 不需要热激发，价带 顶部的电子会流入能 量较低的导带底部。 因此在绝对零度时， 导带中就已有一定的 电子浓度，价带中也 有相等的空穴浓度。 这是半金属与半导体 的根本区别。但因重 叠较小，它和典型的 金属也有所区别。
第4讲 固体能带理论
4.1 能带理论概述 4.2 能带理论的基本假设 4.3 Bloch定理 4.4 能带的形成 4.5 典型能带分析 4.6 费米面与 能态密度 4.7 能带论的成就与局限
4.1 能带理论概述 性质最重要的理论基础
4.1 能带理论概述
能带理论是目前研究固体中电子运动，理解固体电光磁
/wiki/Semimetal
2.解释半导体类型
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2.解释直接带隙和间接带隙
) a semiconductor with a direct gap (like e.g. CuInSe2), B) a semiconductor with an indirect gap (like Si) and C) a semimetal (like Sn or graphite). Semimetals have charge carriers of both types (holes and electrons), so that one could also argue that they should be called 'double-metals' rather than semimetals. However, the charge carriers typically occur in much smaller numbers than in a real metal. In this respect they resemble degenerate semiconductors more closely. This explains why the electrical properties of semimetals are partway between those of metals and semiconductors.
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对k与k + Gh
Gh为k的周期
Gh(r)=Ψn,k(r)
Ψn,k
ℇn(k+Gh) =ℇn(k) 对确定的n值， ℇn(k) 是k的周期函数，只能 在一定范围内变化，有能量的上、下限。不同 的n代表不同的能带，n为带指标。相邻能带间 有间隙(禁带）也可以交迭 ℇn(k) 的总体称为能带结构
Bloch函数的一般性质 1.具有被周期函数所调幅的平面波的形式
•反映电子在各原胞 之间的公有化运动 •具有行进平面波的 形式 •像一个自由粒子
•反映电子在原胞内 的运动 •由于势场具有与晶 格相同的周期性， 电子在各原胞点上 出现的几率相等 •只相差相位eik.r不影 响大小
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Energy vs. crystal momentum for a semiconductor with an indirect band gap, showing that an electron cannot shift from the lowest-energy state in the conduction band (green) to the highest-energy state in the valence band (red) without a change in momentum. Here, almost all of the energy comes from a photon (vertical arrow), while almost all of the momentum comes from a phonon (horizontal arrow).
4.2 Bloch 定理及能带
2. 电子的波矢 晶体中的电子： •波矢量对应于平移算符本征值的量子数， 标志电子状态量子数
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3. 介于自由电子与孤立原子中间的模型 晶体中的电子： 自由电子： 孤立原子： •晶体中的电子是自由电子和孤立原子的结合 •孤立原子 分立的能级 自由电子 连续能级 • 由于晶体中的电子介于两者之间，因此能量取 值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能 带结构
4.1 能带理论的基本假设
周期场近似 •假定单电子势能场
具有与晶格同样的平移对称性
无论电子之间相互作用的形式如何， 都可以假定电子所感受到的势场具有 平移对称性 （周期场近似）
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4.1 能带理论的基本假设
能带理论基本假设小结 多电子体系问题 晶格周期场的单 电子定态问题
其中： •这个单电子方程是整个能带论的 出发点 •求解能确定晶体中电子运动规律
4.3 能带的形成
4.3 能带的形成
将bloch函数带入薛定谔方程，并消去eikr
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关于uk(r)的波动方程(类似于薛定谔方程的本征方 程)。本征函数和本征值与k有关。一个本征方程的解 不止一个，对每个k有无穷个分立本征解
ℇ1(k)， ℇ2(k)，…… ℇn(k) Bloch电子状态由n和k两个量子数标记，相 应的能量和波函数为： ℇn(k) 和Ψnk(r)
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假定在体积V=L3中有N个 带正电荷的Ze离子实 NZ个价电子
4.1 能带理论概述
体系
NZ电 子动 能
NZ电子 库仑相 互作用
离子 实动 能
离子实 库仑相 互作用
电子和离 子实库仑 相互作用
体系的薛定谔方程：
4.1 能带理论概述
是1023数量级别的问题，不简化无法求解
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Energy vs. crystal momentum for a semiconductor with a direct band gap, showing that an electron can shift from the lowestenergy state in the conduction band (green) to the highest-energy state in the valence band (red) without a change in crystal momentum. Depicted is a transition in which a photon excites an electron from the valence band to the conduction band.
能带的性质
周期性： ℇn(k+Gh) =ℇn(k) 周期等于倒格矢，或k空间里相差一个倒格 矢的任意两点具有相同的能量 反演对称性：ℇn(k) = ℇn(-k)具有k=0的反演对 称性 能带与实际晶格具有相同的转动对称性：对 称操作后，V(r)不变，因而具有相同能量。新 状态与k空间转动对应。
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如何计算能带隙：
参考文献：
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4.2 Bloch定理及能带
4.2 Bloch 定理及能带
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的 所有离子之间。…….经过简明而直观的傅立 叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电 子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可 以获得。 Felix Bloch
4.1 能带理论的基本假设
1. 绝热近似 简化薛定 谔方程的 三个基本 假设
2. 单电子近似
布洛赫 定理 能带
3.周期场近似
4.1 能带理论的基本假设
Born-Oppenheimer绝热近似 •基本事实：原子核比电子重得多 m<<M •绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子 核的运动。原子核固定在它的瞬间位置。 •处理方法：离子实部分的哈密顿量为零
1952 Nobel Prize for Physics
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4.2 Bloch 定理及能带
•三大基本假设之后，单电子薛定谔方程为 其中：
为晶格格矢
方程的解应具有如下格式： Bloch函数 其中：
注：Bloch定理确定了周期势 场中波动方程解的基本特征
是以格矢为周 期的周期函数
4.2 Bloch 定理及能带
•首先由年轻人贡献，1928年23岁的Bloch 的博士论文 “论晶格中的量子力学”最早提出了解释金属电导的能 带概念 •1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别 在于能带是否填满，从而奠定了半导体物理的理论基础 •能带论提供了半导体解释的基：这部分近似的影响为10-5eV量级；晶体的振动 能级在10-3eV量级
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4.1 能带理论的基本假设
单电子近似 •运用Hartree-Fock方法将多电子问题（复 杂）转变为单电子问题（平均场，简单） •处理方法：用平均场代替Uee, 假定每个电子 所处的势能场均相同
注：可以通过分离变量 法单个电子求解（单电 子近似） 单电子势能场
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阶段性总结：
给出了固体电子态函数的特性 为了得到清晰确切的结果，必须对特定 的固体的实际势能V(r)求解薛定谔方程， 即使是简单的势能，也需要及其繁琐的 数学推导 两个推导特例：近自由电子近似和紧束 缚模型近似
1. 近自由电子模型（The Nearly Free Electron Model） 该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由 电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰 方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作 为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。 2. 紧束缚模型（The Tight-Binding Model） 该模型假定 原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子 运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微 扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带 的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。 关键是得到周期势场作用下，电子运动的一般特点， 给出其状态函数和能谱，并以此来解释固体性质。 （有兴趣可以参考黄昆版固体物理）
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投影能带图：
为了表述 方便，有 时需要将 能带投影， 得到投影 能带
能带相关的几个概念：
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能带解释半导体性质：
1.解释半导体导电
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解释半导体导电解释金属、半金属、绝缘体和半导体
半金属能带的特点， 是它的导带与价带之 间有一小部分重叠。 不需要热激发，价带 顶部的电子会流入能 量较低的导带底部。 因此在绝对零度时， 导带中就已有一定的 电子浓度，价带中也 有相等的空穴浓度。 这是半金属与半导体 的根本区别。但因重 叠较小，它和典型的 金属也有所区别。