第一章解析几何教案

《解析几何》教案

一、课程简介

本课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

二、课程说明

（一）课程的地位和任务

本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。

（二）课程的基本要求

1．理解向量的概念.熟悉向量、向量的模、方向余弦及单位向量的坐标表达式；2．掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，两个向量的夹角公式及平行、垂直的条件；

3．掌握平面和空间直线方程的各种形式、特点，以及点、线、面三者之间的各种度量关系，会求平面和直线的方程；

4．理解曲面方程的概念，掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的标准方程及其图形；掌握讨论二次曲面的方法，能熟练地利用平面截割的方法来认识空间曲面的形状以及它们的主要性质，并能根据曲面的标准方程画出它们的图形；

5．掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类知道空间曲线的参数方程和一般方程。

（三）课程内容的重点、深广度

本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论。本课程论证严谨，叙述深入浅出，条理清楚，具有较好的广度与深度。

（四）与其它课程的联系与分工

先修课：平面解析几何、线性代数

（五）对学生能力培养的要求和方法

学生除了参加闭卷考试外，关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力。

（六）学时分配建议（具体见教学日历）

一、课程内容

第一章矢量与坐标

【说明】：

学习目标

知识结构

一、知识网络

二、重点内容提示表，

1、矢量的概念

2

§1.3 数量乘矢量

一、定义1.3.1 实数λ与矢量a的乘积是一个矢量,记做λa.它的模是λ

a=λa; λa的方向,当λ>0时与a相同,当λ<0时,与a的方向相反.

我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法.简称为数乘.

二、定理1.3.1 数量与矢量的乘法满足下面的运算规律:

1、1·a＝a

2、结合律λ（μa）=(λμ)a

3、第一分配律（λ＋μ）a=λa+μa

4、第二分配律λ（a+b）=λa+λb

这里a,b为矢量,λ, μ为任意实数.

三、例题

例1, 设AM是ABC的中线,求证 AM=1/2(AB+AC)

例2, 用矢量法证明:连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

一, 概念

定义1.4.1由矢量a1,a2,……a n与数量λ1，λ2，…λn所组成的矢量

a=λ

1

a1+λ2 a2+…. +λn a n 叫做矢量a1,a2,……a n的线性组合。

当矢量a是矢量a1,a2,……a n的线性组合时，也说：矢量a可以分解为a1,a2,……a n的线性组合。λa也称为矢量a的线性组合。

定义1.4.2 对于n（n≥1）个矢量a1,a2,……a n，如果存在不全为零的n个数

λ

1，λ

2

…λ

n

使得λ

1

a1+λ2 a2+…. +λn a n＝0，那么n个矢量a1,a2,……a n叫做线性

相关。

不是线性相关的矢量叫做线性无关。只有当λ1＝λ2＝…＝λn＝0时，λ1 a1+λ2 a2+…. +λn a n＝0才能成立，称矢量a1,a2,……a n线性无关.

推论: 一个矢量线性相关的充要条件是a=0.

二, 基本定理

定理1.4.1 如果矢量e ≠0，那么矢量r与矢量e共线的充要条件是r可以用矢量e线性表示,或者说r是e的线性组合,即r=xe , 并且x被r,e唯一确定。这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底。

定理1.4.2 如果矢量e1,e2不共线,那么矢量r与e1,e2共面的充要条件是r可以用e1,e2线性表示,或者说矢量r可以分解为e1,e2的线性组合,即r=xe1+ye2。并且x,y被e1,e2，r唯一确定。这时e1,e2叫平面上矢量的基底。

定理1.4.3如果矢量e1,e2,e3不共面，那么任意矢量r可以由e1,e2e3线性表示,或者说空间任意矢量r可以分解为e1,e2,e3的线性组合,即R=xe1+ye2+ze3。并

且系数x,y,z 被r, e 1,e 2，e 3唯一确定。这时e 1,e 2，e 3叫空间矢量的基底。

定理1.4.4 当n ≥2时,矢量a 1,a 2,……a n 线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合

定理1.4.5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关

推论:一组矢量如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关。 定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.

定理1.4.7 三矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个矢量总是线性相关. 推论: 空间四个以上的矢量总是线性相关. 三、应用

例1，已知三角形ABC ，其中OA=a,OB=b,而M,N 分别是三角形两边OA,OB 上的点，且有OM=λa,(0<λ<1).ON=μb(0<μ<1),设AN 与BM 相交于P,试把矢量OP=p 分解成a,b 的线性组合。

例2，证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分。

例3，设Op i =r i (i=1,2,3),试证P 1,P 2,P 3三点共线的充要条件是存在不全为零的实数λ1,λ2,λ3使得 λ1r 1+λ2r 2+λ3r 3=0 且 λ1＋λ2＋λ3＝0.

例4，设a,b 为两不共线矢量，证明矢量 u=a 1a+b 1b, v=a 2a+b 2b 共线的充要条件是

02

1

21 b b a a 。

§1.5 标架与坐标

一． 概念

定义1.5.1 标架 {o;e 1,e 2,e 3} :空间中任一点o,和三个不共面的有序矢量e 1,e 2,e 3的全体. 一般叫仿射标架.

笛卡儿标架{o;e 1,e 2,e 3}:e 1,e 2,e 3都是单位矢量的标架.

笛卡儿直角标架(简称直角标架): e 1,e 2,e 3为两两相互垂直的笛卡儿标架. 右旋标架(右手标架) 左旋标架(左手标架)

定义1.5.2 r=xe 1+ye 2+ze 3中,x,y,z 叫做矢量r 关于标架{o;e 1,e 2,e 3}的分量或称为坐标, 记做r{x,y,z}或{x,y,z}.

定义1.5.3 对于取定了标架{o;e 1,e 2,e 3}的空间中任意点P,矢量OP 叫做点P 的径矢, 径矢OP 关于标架{o;e 1,e 2,e 3}的分量x,y,z 叫做点P 关于标架{o;e 1,e 2,e 3}的坐标,记做P(x,y,z)或(x,y,z).

坐标系: 当空间取定标架{o;e 1,e 2,e 3}后，空间全体矢量的集合或全体点的集合与全体有序三数组x,y,z 的集合具有一一对应的关系。

标架坐标系 卦限

平面上的类似概念

坐标系中有关定理