理论力学达朗伯原理

FI FIi
M I M D ( FIi )
rc为平动参考系中看到的质心 C 的矢径。上式将惯性力主矩分解为两项， 第一项为平动参考系中看到的惯性力主矩，即相对运动惯性力主矩； 第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩， 为了简化计算，我们希望这一项不出现
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M I ri (mi ari ) rC (mT aD )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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惯性力主矩可以按照定义式(12.6)直接 计算。
但是，很多物体，在跟随简化中心 D 平动的坐 标系中计算相对运动惯性力主矩更方便，下面 推导这个公式。 我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
达朗伯原理的应用
§12-1
一、惯性力的概念
惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma 力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
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2 d x Qx m ax m 2 dt d2y Q y m ay m 2 dt 2 d z Qz m az m 2 dt
d 2s Q m a m 2 dt v2 Qn m an m

Qb m ab 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
(e)
对于空间任意力系：
(e) (e) X i Qix 0 , mx ( Fi ) mx (Qi ) 0 (e) (e) Y Q 0 , m ( F i iy y i ) m y (Qi ) 0 ( e) (e) Z i Qiz 0 , mz ( Fi ) mz (Qi ) 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ Mac
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二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动， 过Mi点， Qi mi ai 空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化： 主矢： 主矩：
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方 法，因而也称动静法。
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第十五章
§12–1 §12–2 §12–3 §12–4
达朗伯原理
惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 质点系的达朗伯原理 刚体惯性力系的简化 定轴转动刚体的轴承动反力
一种统一的解题格式。
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向 右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车 厢的加速度 a 。
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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 , mgsin Qcos 0
解得加速度
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。 （摆式加速计的原理。）
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质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i 1,2,...... ,n ) 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
dvi dri d mO (mi ai ) ri mi [(ri mi vi ) mi vi ] dt dt dt
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用动静法求解动力学问题时， 对平面任意力系：
X i Qix 0 (e) Yi Qiy 0
通过选择特殊的简化中心，选择方法 与相对运动动量矩定理中的特殊动矩 心相同，这三种特殊的简化中心为：
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12.3.2 刚体惯性力系的简化 一、刚体作平动 向质心C简化： 质心相对简化中心的矢径
RQ MaC
M rc
MQC mC (Qi )ri (mi aC )mi ri aC 0
(e)
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
d dK Q m a M a ( m v ) i i i i i C dt dt
dLO d mO (Qi ) mO (mi ai ) dt mO (mi vi ) dt
Fi N i Qi 0 mO ( Fi ) mO ( N i ) mO (Qi ) 0
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
Fi
(e)
F
来自百度文库
(i )
i
Qi 0
注意到
Fi 0 , mO (Fi )0
(i ) (i )
则
Fi Qi 0
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
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12.2、达朗伯原理 非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力
R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗伯原理
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有
改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最
大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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§12-3 惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 RQ 和一个
惯性力偶 M QO 。
(简化中心)
RQ Q ma MaC M QO mO (Q )