大林控制算法及其软件实现

3.4 大林（Dahlin）算法

前面介绍的最少拍无纹波系统的数字控制器的设计方法只适合

于某些随动系统，对系统输出的超调量有严格限制的控制系统它并不理想。在一些实际工程中，经常遇到纯滞后调节系统，它们的滞后时间比较长。对于这样的系统，往往允许系统存在适当的超调量，以尽可能地缩短调节时间。人们更感兴趣的是要求系统没有超调量或只有很小超调量，而调节时间则允许在较多的采样周期内结束。也就是说，超调是主要设计指标。对于这样的系统，用一般的随动系统设计方法是不行的，用PID算法效果也欠佳。

针对这一要求，IBM公司的大林(Dahlin)在1968年提出了一种针对工业生产过程中含有纯滞后对象的控制算法。其目标就是使整个闭环系统的传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节。该算法具有良好的控制效果。

3.4.1 大林算法中D(z)的基本形式

设被控对象为带有纯滞后的一阶惯性环节或二阶惯性环节，其传递函数分别为：

（3-4-1）

（3-4-2）

其中为被控对象的时间常数，为被控对象的纯延迟时间，为了简化，设其为采样周期的整数倍，即N为正整数。

由于大林算法的设计目标是使整个闭环系统的传递函数相当于

一个带有纯滞后的一阶惯性环节，即

，其中

由于一般控制对象均与一个零阶保持器相串联，所以相应的整个闭环系统的脉冲传递函数是

（3-4-3）于是数字控制器的脉冲传递函数为

（3-4-4）D(z)可由计算机程序实现。由上式可知，它与被控对象有关。下面分别对一阶或二阶纯滞后环节进行讨论。

3.4.2 一阶惯性环节的大林算法的D(z)基本形式

当被控对象是带有纯滞后的一阶惯性环节时，由式（3-4-1）的传递函数可知，其脉冲传递函数为

将此式代入（3-4-4），可得

（3-4-5）

式中：T——采样周期：

———被控对象的时间常数；

———闭环系统的时间常数。

3.4.3 二阶惯性环节大林算法的D(z)基本形式

当被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节时，由式（3-4-1）的传递函数可知，其脉冲传递函数为

其中，

将式G(z)代入式（3-4-3）即可求出数字控制器的模型：

（3-4-6）

3.4.4 振铃现象及其消除方法

振铃现象是指数字控制器的输出以接近1/2采样频率的频率，大幅度衰减振荡。它对系统的输出几乎无影响，但会使执行机构因磨损而造成损坏。

衡量振铃现象的强烈程度的量是振铃幅度RA (Ringing Amplitude)。它的定义是：控制器在单位阶跃输入作用下，第零次输出幅度与第一次输出幅度之差值。

已知数字控制器脉冲传递函数的一般形式可写为

（3-4-7）

其中（3-4-8）

控制器输出幅度的变化取决于Q(z)，当不考虑（它只是输出序列延时）时，则Q(z)在阶跃脉冲作用下的输出为

故可求出振铃幅度（3-4-9）

振铃现象产生的根源在于Q(z)中z = -1附近有极点。极点在z=-1时最严重，离z= -1越远，振铃现象就越弱。在单位圆内右半平面有零点时，会加剧振铃现象；而在左半平面有极点时，则会减轻振铃现象。

大林提出一种消除振铃现象的方法，即先找出造成振铃现象的极点因子，令其中z =1，这样便消除了这个极点。根据中值定理，这样的处理不会影响输出的稳态值。下面来分析一阶（或二阶）惯性环节的数字控制器D(z)的振铃现象及其消除方法。

1. 被控对象为一阶惯性环节

被控对象为纯滞后的一阶惯性环节时，将表示其数字控制器的D(z)的（3-4-5）式化成一般形式如下：

由此可求出振铃幅值为

（3-4-10）

如果选τ≥τ1，则RA≤0,无振铃现象。如果选择τ＜τ1，则有振铃现象。由此可见，当系统的时间常数τ大于或等于被控对象的时间常数τ1时，即可消除振铃现象。

将式D(z)的分母进行分解，可得

（3-4-11）在（3-4-25）中，z=1处的极点并不引起振铃现象。可能引起振铃现象的因子为

当N=0时，此因子消失，无振铃可能。

当N=1时，有一个极点在。当时，，即

时，将产生严重振铃现象。

当N=2时，极点为

当时，则有，将有严重的振铃现象。

以N=2，且为例，消除振铃现象后，D(z)修改为

（3-4-12）

2. 被控对象为二阶惯性环节

被控对象为具有纯滞后的二阶惯性环节时，D(z)为（3-4-20）式，

与一阶惯性环节类似， D(z)中有一个极点是，在时，

，即在z= -1处有极点，系统将出现强烈的振铃现象，振铃幅度为

当T→0时，，按前述方法消除这个极点，则

（3-4-13）下面通过一个实例来说明消除振铃的方法。

例 3-4-1 已知某控制系统被控对象的传递函数为。试用大林算法设计数字控制器D(z)。设采样周期为T=0.5s，并讨论该系统是否会发生振铃现象。如果振铃现象出现，如何消除。

解：由题可知,，当被控对象与零阶保持器相连时，系统的广义对象的传递函数为

于是，可求出广义对象的数字脉冲传递函数为

大林算法的设计目标是使整个闭环系统的脉冲传递函数相当于

一个带有纯滞后的一阶惯性环节。据此可设，则由（3-4-19）式可得

由上式可知，D(z)有三个极点：，根据前边的讨论z=1处的极点不会引起振铃现象，引起振铃现象的极点为

依据前述讨论，要想消除振铃现象，应去掉分母中的因子

，即令（即），代入上式即可消除振铃现象。

这样，无振铃时，数字控制器的脉冲传递函数D(z)为