1.线性规划及单纯形法解析

x5
0
1
3
6.6
0.8
10
11
二、总结
线性规划问题（LP问题）的共同特征：
• 每一个问题变量都用一组决策变量（x1, x2, …, xn） 表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方 案，这些变量是非负的。 • 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。 • 目标函数用决策变量的线性函数来表示。按问题 的不同，要求目标函数实现最大化和最小化。
x1 2 x 2
x2
4 3
4x1=16 x1+2x2=8 Q(4,2) 4x2=12
2 x1 3x2
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 表明最优生产计划为：生产I产品 4件，生产II产品2件。
0
4
8
Z=2x1+3x2
x1
14
例2
max Z 6 x1 4 x 2 2 x1 x 2 x x 1 2 s .t . x2 x1 , x 2 10 8 7 0
7
第一章 线性规划及单纯形法
第一节 线性规划问题及数学模型
• • • • •
1939年 1941年 1947年 1979年 1984年
苏 康托洛维奇 美 Hichook G.B.Dantzig 单纯形法 苏 哈奇安算法 Karmarkar算法
8
一、实例
例1 (书P8)
I
设 备 原材料A 原材料B 1 4 0
II
2 0 4 8台时 16公斤 12公斤
OBJ : max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t . 4 x2 12 x1 , x2 0
设I、II两种产品的产量分别为x1, x2 。建立该问题的数学模型为：
例2 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各
三、运筹学的工作步骤
明确问题
• • • • • •
明确问题 建立模型 设计算法 整理数据 求解模型 评价结果
建立模型
设计算法 整理数据 求解模型
No
简化？
Yes
No
评价结果
满意？
6
四、运筹学内容介绍
• 线性规划及单纯形 法 • 对偶理论及灵敏度分析
• 运输问题
• 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 排队论
10
x2
F E A B G C
9 8 7 6 5 4 3
2 )=1 f(x ห้องสมุดไป่ตู้=0 f(x
2 3
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
2 1
1
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8 15
x1
3. 图解法的作用
• 能解决少量问题
• 揭示了线性规划问题的若干规律
规律1：
有最优解 有可行解 LP问题 唯一解 无穷多解 无最优解（可行域为无界） 无可行解（无解）
3
• 运筹学在国内
– 中国古代朴素的运筹学思想（田忌与齐 王对马、都江堰工程、丁渭修复皇宫） – 1956年成立运筹学小组 – 1958年提出运输问题的图上作业法 – 1962年提出中国邮路问题 – 1964年华罗庚推广统筹方法 – 我国于1982年加入国际运筹学联合会， 并于1999年8月组织了第15届大会
16
结论2：若LP问题有最优解， 则要么最优解唯一，要么有 无穷多最优解。
证明：MaxZ CT X AX b s.t . X 0 （1 ） （2） 不妨设X X 是LP 问题的解 则有AX
（1 ） （2） （2） AX b，X 0，Z* CT X （1 ） （2） 作X X （ 1 ）X ， [0， 1] （1 ） （2） 则AX A[X （ 1 ）X ] b （ 1 ）b b （1 ） （2） 又X 0，且CT X CT [X （ 1 ）X ] Z* （ 1 ）Z *
12
三、两变量线性规划问题的图解法
1.线性不等式的几何意义— 半平面
2.图解法步骤
1) 作出LP问题的可行域 2) 作出目标函数的等值线
x1 22 x 2
2 x1 3x2
3) 移动等值线到可行域边界得到最优点
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例1 （书P8）：
OBJ : max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t . 4 x2 12 x1 , x2 0
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
绪 论
一、运筹学发展简介 二、运筹学的特点及研究对象 三、运筹学的工作步骤 四、运筹学内容介绍
2
一、运筹学（OR）发展简介
• 运筹学在国外
– 英国称为 Operational Research – 美国称为 Operations Research – 起源于二战期间的军事问题，如雷达的设置、运输船 队的护航舰队的规模、反潜作战中深水炸弹的深度、 飞机出击队型、军事物资的存储等。 – 二战以后运筹学应用于经济管理领域（LP、计算机） – 1948年英国首先成立运筹学会；1952年美国成立运筹 学会。 – 1952年，Morse 和 Kimball出版《运筹学方法》 – 1959年成立国际运筹学联合会
4
二、运筹学的特点及研究对象
运筹学的定义 •运筹学为决策机构对所控制的业务活动作决策时，提供以 数量为基础的科学方法——Morse 和 Kimball •运筹学是把科学方法应用在指导人员、工商企业、政府和 国防等方面解决发生的各种问题，其方法是发展一个科学的 系统模式，并运用这种模式预测、比较各种决策及其产生的 后果，以帮助主管人员科学地决定工作方针和政策——英国 运筹学会 •运筹学是应用分析、试验、量化的方法对经济管理系统中 人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有根 据的最优方案，以实现最有效的管理——中国百科全书 •现代运筹学涵盖了一切领域的管理与优化问题，称为 5 Management Science
一根。已知原料长7.4米，问如何下料，使用的原料最少（余料 9 最少或根数最少）？
解：设 x1, x2 , x3, x4 , x5分别代表五种 不同的原料用量方案（余料最少）
方案 x1 x2 x3 x4 2.9米 1 2 0 1 2.1米 0 0 2 2 1.5米 3 1 2 0 合计 7.4 7.3 7.2 7.1 余料 0 0.1 0.2 0.3