偏微分方程式之求解

第六章 偏微分方程式之求解

在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation ；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE ，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finite

difference)何有限元素法(finite element)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。

值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE ，并求解。使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。

本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行 示范，期能使初学者很快熟悉PDE 工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。

6.1 偏微分方程式之分类

偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。

6.1.1依阶数的分类

偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：

一阶偏微分方程式：

0=∂∂+∂∂y u x u 二阶偏微分方程式：

03

222

2=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂y u

x u y u x u 三阶偏微分方程式：

022

33=∂∂+∂∂+∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂y u

x u y x u x u

6.1.2 依非线性程度分类

偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。例如，以下之二阶偏微分方程式(Constantinides and Mostoufi,1999)

0)()()()(22222=⋅+∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅d x u

c y x u b y u a

可依系数)(⋅之情况，进行如下表之归类

类别 情况

线性 系数)(⋅为定值，或仅为(x,y)函数

似线性 系数)(⋅为依变数(dependent variable)u 或其比方程式中之偏微

分低阶之偏微分项的函数，如),,,,()(y u x u u y x ∂∂∂=⋅

非线性 系数)(⋅中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如

),,,,,()(22222y x u y u x u u y x ∂∂∂∂∂∂∂=⋅

另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。具体上来说，此类偏微分方程式二阶线性之一般式为

022222=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂g fu y u

e x u d y

u c y x u b x u a

系数f e d c b a 和,,,,是定值或为u 的函数。若g=0，则上式为其次是偏微分方程式。式子( )之分类及代表性例子，请见下表

方程式类别 判断式 代表性范例

椭圆型 042

<-ac b Laplace 方程式，02222=∂∂+∂∂y

u

x u

拋物线型 042

=-ac b Poisson 方程式，),(2222y x f y

u

x u =∂∂+∂∂

f u a u c

~~)~(=+∇⋅∇- 热传导或扩散方程式t u

x

u ∂∂=∂∂22α

f u a u c t

u d ~~)~(~=+∇⋅∇-∂∂

双曲线型 042

>-ac b 波动方程式222

22

t

u

x u ∂∂=∂∂α f u a u c

t

u d ~~)~(~22=+∇⋅∇-∂∂

注：二维系统之运操作数∇之定义为j y

i x ∂∂

+

∂∂=∇

6.1.3 起始条件和边界条件的分类

为了能获得偏微分方程式之解答，其起始条件和边界条件可依其特性区分为三类。现以一维之动态热传递方程式(拋物线型偏微分方程式)

22x

T

t T ∂∂=∂∂α 为例，进一步说明如何区分这些边界条件及起始条件(Constantinides and

Mostoufi ,1999)。

(i) 第一类：Dirichlet Condiction

若依变量(T)本身，在某个独立变量值时，被指定，则此条件称为Dirichlet

Condiction ，亦称为essential 边界条件。下图为一典型的Dirichlet 条件示意图

T 0

,1>=t T T 0

),(>=t t f T 01

x

图6.1 平板Dirichlet Condiction 示意图

由图中很清楚的显示，该平板之边界条件为 0,0,)(>==t x at t f T 0,0,1>==t x at T T 0,0,

0>==t x at T T

此边界条件依定义，即为Dirichlet Condiction 。同时，若再起始时，各处

之温度分布可以位置之函数表示，即

10,0,

)(≤≤==x t at t f T 此亦属Dirichlet 型之边界条件。

(ii) 第二类：Neumann condition

Neumann condition 系指依变量之变化率之边界条件为定值，抑或独