简谐振动的动力学特征

m
µ=0
O
x A
F v
x -A F
振动的成因 v
a 回复力 b 惯性
F=0 x=0
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第九章 振 动 分析弹簧振子的运动： 分析弹簧振子的运动： 物体只受弹力作用 由牛顿第二定律有
Fx = − kx
d2 x m 2 = − kx dt
d2 x k + x=0 2 m dt
k为弹簧劲度系数 为弹簧劲度系数
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第九章 振 动
§9.1简谐振动的动力学特征 9.1简谐振动的动力学特征
§9.1 1 简谐振动基本概念
1 机械振动 物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的 a 定义： 定义： 运动 平衡位置 b 实例 实例: 心脏的跳动，钟摆，乐器， 心脏的跳动，钟摆，乐器， 地震等 c 周期和非周期振动
a b ρ′
ρ
S 平衡时
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第九章 振 动
[证] 平衡时：( a + b ) S ρ g − bS ρ ′g = 0 证 平衡时：
任意位置木块受到的合外力为： 任意位置木块受到的合外力为：
a b ρ′
ρ
S 平衡时
∑ F =(a + b)Sρg − (b + x)Sρ ′g
= − Sρ ′gx
Fx = − λx（ x是相对原点的位移） 是相对原点的位移） M z = − cϕ（ϕ角位移） 角位移）
简谐振动的动力学定义2： 简谐振动的动力学定义 ： 若物体运动的动力方程可表示为
d2 x 2 + ω0 x = 0 dt 2
d 2ϕ 2 + ω 0ϕ = 0 dt 2
是由系统本身的性质所决定的,则此物体做简谐振动 则此物体做简谐振动. 且ω0 是由系统本身的性质所决定的 则此物体做简谐振动
r FT
r W
令
2 ω0
g = l
d 2θ 2 + ω 0θ = 0 dt 2
d2 x 2 + ω0 x = 0 dt 2
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根据简谐振动的定义
单摆作简谐振动
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第九章 振 动 由转动定律分析
M = −mgl sinθ θ < 5o时， θ ≈ θ sin
A
θ
M ≈ −mglθ d 2θ I 2 = −mglθ dt d 2θ g =− θ 2 dt l g d 2θ 2 2 令ω0 = + ω 0θ = 0 dt 2 l
即
d2 x (a + b ) Sρ + S ρ ′gx = 0 2 dt
2 ω0
令
=
ρ ′g ρ (a + b)
a b ρ′
ρ S
任意位置
x
O
d x 2 木块作谐振动. + ω 0 x = 0 木块作谐振动 2 dt
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2
x
平衡位置有
2
mg = kl
l A x x
d x k x = 0 + 2 m dt
与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动 与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动.
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第九章 振 动 [例题 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 例题2] 水面上浮有一方形木块， 例题 度为a 水面以下高度为 水密度为 木块密度为ρ不计 水面以下高度为b 水密度为ρ 度为 ,水面以下高度为 .水密度为 ′ 木块密度为 不计 水的阻力.现用外力将木块压入水中， 水的阻力 现用外力将木块压入水中，使木快上表面与 现用外力将木块压入水中 水面平齐. 水面平齐 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程. 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程
Fx = − λx（ x是相对原点的位移） 是相对原点的位移）
M z = − cϕ（ϕ角位移） 角位移） 是常数， λ 或 c是常数，由材料性质决 定 .
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第九章 振 动
§9.1.2 简谐振动例子
1. 弹簧振子的振动 弹簧振子: 轻弹簧与物体m组成的系统 组成的系统. 弹簧振子 轻弹簧与物体 组成的系统
v P
点为质心） （C点为质心） 点为质心
dθ 2 + ω0θ = 0 2 dt
2
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第九章 振 动 3. 扭摆 如图，不计空气阻力,小角扭动 如图，不计空气阻力 小角扭动 回复扭转力矩 z
M z = −cϕ
由刚体定轴转动定律
d 2ϕ I z 2 = − cϕ dt
O x
令
2 ω0
c = Iz
第九章 振 动
第九章 振动
质点、 质点、质点系力学 简谐振动的动力学特征 简谐振动的运动学 简谐振动的能量转换 简谐振动的合成 刚体力学(不变质点系 刚体力学 不变质点系) 不变质点系
振动 声学、光学、电 声学、光学、 工学、 工学、无线电学 和自动控制等 波动
振动: 一个物理量在某一定值附近往复变化的过程. 振动 一个物理量在某一定值附近往复变化的过程 如:琴弦、锣鼓的振动,固体晶格点阵中分子与原子的振动等机械振 琴弦、锣鼓的振动, 还包括电流、电磁场的振动, 动,还包括电流、电磁场的振动,其应用范围已超出力学的研究领域
令
k 2 ω0 = m
d2 x 2 + ω0 x = 0 dt 2
ω0 由振动系统本身的性质决定 由振动系统本身的性质决定.
简谐振动的普遍定义： 简谐振动的普遍定义：如质点运动的动力学方程可归结为
d2 x 2 + ω0 x = 0 dt 2
则质点作简谐振动, 决定于振动系统本身. 则质点作简谐振动 其中ω0决定于振动系统本身
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v FT
O
l
转 动 正 向 m
v P
I = ∫ r dm
2
= ml
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2
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第九章 振 动
o 复摆 (θ < 5 ) r r r M =l ×F
转动正向 O
d 2θ M = −mgl sin θ = I 2 dt d 2θ − mglθ = I dt 2
θ l
*C
mgl 2 令ω0 = I
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第九章 振 动
2 简谐振动 定义：物体在线性回复力 或力矩 或力矩)作用下围绕平衡位 定义：物体在线性回复力(或力矩 作用下围绕平衡位 置的运动叫简谐振动. 置的运动叫简谐振动 简谐运动 最简单、最基本的振动 最简单、 合成 简谐运动 分解 复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体
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d 2ϕ 2 + ω 0ϕ = 0 dt 2
ϕ B
y
刚体作简谐振动
由系统本身的性质所决定. ω0由系统本身的性质所决定
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第九章 振 动 简谐振动的动力学定义1 物体在线性回复力 或力矩 或力矩)作用下围 简谐振动的动力学定义1：物体在线性回复力(或力矩 作用下围 绕平衡位置的运动叫简谐振动. 绕平衡位置的运动叫简谐振动
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第九章 振 动 [例题 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平 例题1] 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力， 例题 衡位置附近的振动是简谐振动. 衡位置附近的振动是简谐振动 [解] 根据牛顿第二定律得 解
d2 x m 2 = − k ( x + l ) + mg d t
第九章 振 动
l0 k
m
x
−A
o
A
或力矩)等 平衡位置: 物体在做往复运动时，在某位置所受的力(或力矩 平衡位置 物体在做往复运动时，在某位置所受的力 或力矩 等 于零，则此位置称平衡位置. 于零，则此位置称平衡位置 力矩)总与物体相对于平衡位置的 回复力(矩 若作用于物体的力(力矩 回复力 矩): 若作用于物体的力 力矩 总与物体相对于平衡位置的 位移成正比，且力指向平衡位置(或力矩促使物体返回 或力矩促使物体返回).则此作用 位移成正比，且力指向平衡位置 或力矩促使物体返回 则此作用 力矩)称线性回复力 回复力矩).即 力(力矩 称线性回复力 回复力矩 即 力矩 称线性回复力(回复力矩
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第九章 振 动 2. 单摆 由牛顿第二定律分析
O′
θ
如图，铅直面内不计空气 如图， 阻力,绳不可伸长 绳不可伸长. 阻力 绳不可伸长
Ft = − mg sin θ
θ 很小时 (θ < 5o ),sinθ ≈θ
Ft = −mgθ
——称回复力 称回复力. 称回复力 O
d 2 ( lθ ) = − mg θ 由牛顿第二定律得 m 2 dt