人教版九年级数学上册第二十四章 专题训练求不规则图形面积的三种方法

求不规则图形面积的三种方法

方法一 用割补法求图形的面积

1．如图1，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为( )

A .23π－2 3

B .23π－ 3

C .43π－2 3

D .4

3

π－ 3

图1 图2

2．如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B 的运动路径为BB′︵

，则图中阴影部分的面积为________．

3．如图3，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．

图3

4．如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A ，D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F.

(1)求证：BC 是⊙O 的切线；

(2)若⊙O 的半径是2 cm ，E 是AD ︵

的中点，求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．

图4

方法二 用平移、旋转、对称转化求图形的面积

5．如图5，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，AC 长为半径

画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为() A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8

图5 图6

6．[如图6，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB 与小半圆O1交于点E，F，AB＝6 cm，EF＝2 cm，且AB∥CD，则阴影部分的面积为________cm2.

7．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．图7是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝80 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．

图7

8．如图8，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵

与线段CG 所围成的阴影部分的面积．

图8

方法三 用等积变形求图形的面积

9．如图9，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则图中阴影部分的面积为( )

图9

A ．4π

B ．2π

C ．π

D .2π3

10．如图10，点A ，B ，C ，D 均在圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∠BAD ＝120°，四边形ABCD 的周长为15.

(1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积．

图10

11．如图11，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.

(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；

(2)若E 是AC ︵

的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．

图11

详解详析

1．[解析]C如图所示，连接OB和AC交于点D.∵圆的半径为2，∴OB＝OA＝OC＝2.

又∵四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD ＝1

2

OB ＝1.

在Rt △COD 中，利用勾股定理可知CD ＝22－12＝3，∴AC ＝2CD ＝2 3， ∴∠COD ＝60°，∠AOC ＝2∠COD ＝120°， ∴S 菱形ABCO ＝12OB ·AC ＝12×2×2 3＝2 3，

S 扇形AOC ＝120×π×22360＝4π

3

，

∴图中阴影部分的面积为S 扇形AOC －S 菱形ABCO ＝4

3

π－2 3.故选C.

2．[答案]54π－3

2

[解析] 连接DB ，DB ′，过点D 作DE ⊥A ′B ′.△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，此时点A ′在斜边AB 上，CA ′⊥AB ，DB ′＝12＋22＝5，A ′B ′＝22＋22＝2 2，DE ＝

22，∴S 阴＝90π×5360－1×2÷2－(2 2－2)×22÷2＝54π－32. 3．[答案]12

π

[解析]∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，AB ＝2AC ＝2 2.∵△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′，∴∠BAB ′＝∠CAC ′＝45°，∴点B ′，C ，A 共线，∴线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积为S 扇形BAB ′＋S △AB ′C ′－S 扇形CAC ′－S △ABC ＝S 扇形BAB ′－S 扇形CAC ′＝45×π×（2 2）2360－45×π×22360＝12

π.

4．解：(1)证明：如图，连接OD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠DAC ， ∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，