第一周 漫谈组合数学
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25
组合数学的历史
1666年莱布尼兹所著《论
组合的艺术》一书问世，
这是组合数学的第一部专 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
著。书中首次使用了组合
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年－1716年），德国哲学
论（Combinatorics）一词。
家、数学家。涉及的领域及法 学、力学、光学、语言学等40
1 漫谈组合数学
1-0 什么是组合数学？
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
1
离散数学(目录)
离散数学（第五版）
作者： 耿素云，张立昂 编著 第1章 命题逻辑 第2章 一阶逻辑 第3章 集合的基本概念和运算 第4章 二元关系和函数 第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树 第8章 组合分析初步
• 10×10×10×10=10000 如果连接的点数不到 6 个的话，
密码可能个数：1624 + 7152 = 8776 个
31
前言
• 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中，过去的研究往 往出于消遣或者美学的考虑。
• 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
– 程序的基础往往是求解问题的组合数学算法 – 算法的运行时间效率和存储需求分析都需要组合数学的思想。 – 过去研究过的许多问题如今在研究和应用中具有高度的重要性。 – 广泛应用在社会科学，生物科学，信息论等。
A magic square: a square array of numbers in which the sum of all rows, all columns and both diagonals is the same.
492 357
816
9
南宋数学家 杨辉(1238-1298) 《续古摘奇算法》
– 依照某种标准，所有解中那个是最优的？
7
1-1 组合数学的渊源
1-1-a 最精巧的排列----幻方
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
8
组合数学的历史
组合数学是一个古老而又年轻的 数学分支。
据传说，大禹在4000多年前 (2200B.C.)就观察到神龟背上 的幻方…...
大禹(2205BC -2105BC)
组合数学:有人认为广义的组合数学就是 离散数学，也有人认为离散数学是狭义 的组合数学和图论、代数结构、数理逻 辑等的总称。但这只是不同学者在叫法 上的区别。总之，组合数学是一门研究 离散对象计数的科学。
3
数学起源于计数
数学发展史
16世纪初等数学
分析数学
算术
高等数学 Wilhelm Leibniz
17世纪
得出一个大概的数值估计，其数量在1.774310×1019 至1.776610×1019 之间。由此可见，其他阶幻方 • 的多少将是一个多么难以置信的庞大数字
• The numbers of different n×n magic squares for n from 1 to 5, not counting rotations and reflections are: 1, 0, 1, 880, 275305224 (sequence A006052 in OEIS). The number for n = 6 has been estimated to be(0.17745 ± 0.00016) × 1020.[22][23]
• 加拿大政府2011年成立The Tutte Institute for Mathematics and Computing (TIMC)以纪念他。
28
/wiki/W._T._Tutte
手机密码安全吗？
• 10×10×10×10=10000
？
29
手机屏幕开锁
• 研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学 科 ——高洁 《浅谈组合数学的应用与教学》
6
组合数学中的三大问题
• 存在（existence problem）
– 是否存在合理的解？
• 计数（counting problem）
– 有多少种解的可能？
• 优化（optimization problem）
13
幻方的构造
杨辉构造法
• 17世纪de la Loubere提出了n阶幻 方构造方法，其中n为奇数
– 将1放在最上一行的中间，然后按照 自左下到右上的对角线顺序来放置， 同时遵循如下规则：
• 到达顶行，则下一个数放在底行，位置 相应错过去
九子斜排，上下对易，左右相更， 四维挺出，戴九履一，左三右七， 二四为肩，六八为足
• 由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因 而还没有一个统一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
– 计数：无重复 无遗漏
32
1 漫谈组合数学
1-1 组合数学的渊源 1-1-d 暴力枚举和抽象转换
米德的这篇论文, 结论是这篇论文解决的是组合数学问题 《十四巧板》(stomachion)。 • 在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形 一共能有多少种不同的拼法。这在现在被称为tiling问题。 • 斯坦福数学系的教授研究了这个问题，设立了一个小小的奖 项来征集答案，100美金， • 数学家和计算机学者都来参与了，你猜谁赢了呢？ • 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机得出的答案是 17152种拼法 • 数学家用纸和笔对排列进行分类，共24个基本族，基本解法 是536种，考虑旋转32种，答案也是17152种。
21
2008幻方
东阳78岁老人包中祥设计出的正六面体“完 美幻方”。 它的每个田字格中的四个数的和是2008，每 个等腰梯形，长方形，菱形上四个格中的四 个数的和是2008，8条对角线和8条直线的四 个数的和是2008，这里也告诉人们一个数字 系列：2008.8.8。 还有，奥运五环上的五个数字和与另一颗“ 心”上的数字的差是2008，如（ 232+962+532+352+402）-472＝2008。
个性的幻方也是表达心意不错的选择
1 组合数学概论
组合数学 Combinatorics
1-1 组合数学的渊源 1-1-b 苦难的羊皮纸卷----
西方组合学的发展
清华大学 马昱春
23
阿基米德手稿
• 用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本，距今约1000年
• 2003科学家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基公元前287年—公元前212年
357
– 如果要放的位置上已经 填好了整数，或者已经 放到了右上角，则放在 紧挨着该位置的下方。
49 2
根据构造方法的不同，幻方可以分三类：奇数阶幻方、 4M阶幻方和4M+2阶幻方 15
三阶幻方的个数
816 357 49 2
16
n阶普通幻方有多少个呢？
17
幻方的计数
• 弗兰尼克尔（Bernard Frenicle de Bessy）在1693 年得出结论，认为4 阶幻方总共有 880 个基本形式， 通过旋转与镜面反射，总共有 7040 个幻方。
• 对于 5 阶幻方总数的估计， 理查德• 许洛泼尔（Richard Schroeppel）利用计算机编程运算得出结论， • 认为 5 阶幻方的基本形式有275305224 个，即2 亿7 千5 百多万个。 • 对 6 阶幻方，皮恩（K.Pinn） 和维茨考夫斯基（C. Wieczerkowski）利用蒙特卡洛模拟和统计学方法，
一切推理和发现，不管是否
多个范畴，被誉为十七世纪的 亚里士多德。和牛顿先后独立
用语言描述，都能归结为如数， 发明了微积分。
字，声，色这些元素经过某种组
合的有序集合。
26
1 组合数学概论
组合数学 Combinatorics
1-1 组合数学的渊源 1-1-c 密码安全不安全
算了才知道
清华大学 马昱春
27
纵横图：洛书，河图，四四图，五 五图，六六图，六十四图，九九图 ，百子图，聚五图，聚六图，聚八 图，攒九图，八阵图，连环图。
永乐大典中一页
幻方的神秘力量
Albrecht Dürer 《忧伤》 幻方蕴含着宇宙的法则
（1514年）
11
例:幻方
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方阵： 该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两条对 角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
• 到达最右边一列，下一个整数放在最左 边，位置相应错位
• 如果要放的位置上已经填好了整数，或
者已经放到了右上角，则放在紧挨着该
位置的下方。
14
幻方的构造
• 将1放在最上一行的中
间，然后按照自左下到
右上的对角线顺序来放
置，同时遵循如下规则：
– 到达顶行，则下一个数
816
放在底行，位置相应错
过去
– 到达最右边一列，下一 个整数放在最左边，位 置相应错位
幻积，幻差，幻商
平方幻和
1472+12+25622=147994009
29822+15332+18862=147994009
1472+15332+21632=147994009
20
幻方问题
• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。 • 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以
作为人类智慧的信号。
例:幻方
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方 阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两 条对角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
19
例:幻方
任意数列 平方数 素数
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方
阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两 条对角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
• 3 × 3 的点阵中的一条路径，这条路径最少 连接四个点，最多连接九个点。
• C(9, 4) + C(9, 5) + C(9, 6) + C(9, 7) + C(9, 8) + C(9, 9) = 985 824
总体方案：389112方案数
4位： 1624 5位： 7152 6位： 26016 7位： 72912 8位： 140704 9位： 140704
8.1 加法法则和乘法法则 8.2 基本排列组合的计数方法 8.3 递推方程的求解与应用 8.4 题例分析
第9章 代数系统简介 第10章 形式语言和自动机初步
本课程内容大纲 第一部分 排列与组合 第二部分 递推关系与母函数 第三部分 容斥原理 第四部分 鸽巢原理 第五部分 Burnside引理与Polya定理
几何学
幼儿园
小学，中学
概率学
大学
现代数学
拓扑学 抽象代数
群论 集合论 数论
… 组合数学
研究生
组合数学
• 组合数学研究的是事物按照某种规则的安排，主要有：存 在性问题、计数性问题和对已知安排的研究 —— Richard A. Brualdi 所著《Introductory Combinatorics》
(1646-1716)
出现变量
初等代数
线性代数
奇普，印加帝国时所 使用的计数工具。
几何学
概率学
Leonhard Euler
(1707-1783)
Friedrich Gauss
(1777-1855)
数学起源于计数
数学发展史
16世纪初等数学
分析数学
算术
高等数学
17世纪
出现变量
初等代数
线性代数
奇普，印加帝国时所 使用的计数工具。
ab
• 是否存在2阶幻方？
cd
– 假设存在2阶幻方
a, b, c, d是[1，4]的各不相同的整数
– 2阶幻方的幻和为5
n*(n2+1)/2 = 2×5/2=5
a + b =5 c + d =5 a + d =5 c + b =5
b - d = 0; 与假设矛盾。 不存在2阶幻方！
大约30年前德国数学家L. Bieberbach证明了： 「对于任意大于等于3的数n，都存在一个n阶的幻方。」
组合数学的应用
• 著名的组合数学家 Thomas Tutte(1917-2002) 在组合数学界 是泰斗级的大师。直到最近人们 才知道，原来他对提前结束“二 战”有着突出贡献。
• Tutte 从德军的两条情报密码出 发，用组合数学的方法，重建了 敌人的密码机，确定了德军密码 的内部结构，从而获得了极为重 要的情报。
• 定义行/列的整数和为该幻方的幻和。
– {1, 2, 3…. n2}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和为
• 1+2+3+….+n2 = n2× (n2+1)/2
– n阶幻方共有n行，每行的和为s
• ns = n2× (n2+1)/2 s = n× (n2+1)/2
12
存在性问题
[ ] • 是不是所有1到n2的数字都可以构成幻方呢？
组合数学的历史
1666年莱布尼兹所著《论
组合的艺术》一书问世，
这是组合数学的第一部专 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
著。书中首次使用了组合
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年－1716年），德国哲学
论（Combinatorics）一词。
家、数学家。涉及的领域及法 学、力学、光学、语言学等40
1 漫谈组合数学
1-0 什么是组合数学？
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
1
离散数学(目录)
离散数学（第五版）
作者： 耿素云，张立昂 编著 第1章 命题逻辑 第2章 一阶逻辑 第3章 集合的基本概念和运算 第4章 二元关系和函数 第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树 第8章 组合分析初步
• 10×10×10×10=10000 如果连接的点数不到 6 个的话，
密码可能个数：1624 + 7152 = 8776 个
31
前言
• 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中，过去的研究往 往出于消遣或者美学的考虑。
• 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
– 程序的基础往往是求解问题的组合数学算法 – 算法的运行时间效率和存储需求分析都需要组合数学的思想。 – 过去研究过的许多问题如今在研究和应用中具有高度的重要性。 – 广泛应用在社会科学，生物科学，信息论等。
A magic square: a square array of numbers in which the sum of all rows, all columns and both diagonals is the same.
492 357
816
9
南宋数学家 杨辉(1238-1298) 《续古摘奇算法》
– 依照某种标准，所有解中那个是最优的？
7
1-1 组合数学的渊源
1-1-a 最精巧的排列----幻方
组合数学 Combinatorics
清华大学 马昱春
8
组合数学的历史
组合数学是一个古老而又年轻的 数学分支。
据传说，大禹在4000多年前 (2200B.C.)就观察到神龟背上 的幻方…...
大禹(2205BC -2105BC)
组合数学:有人认为广义的组合数学就是 离散数学，也有人认为离散数学是狭义 的组合数学和图论、代数结构、数理逻 辑等的总称。但这只是不同学者在叫法 上的区别。总之，组合数学是一门研究 离散对象计数的科学。
3
数学起源于计数
数学发展史
16世纪初等数学
分析数学
算术
高等数学 Wilhelm Leibniz
17世纪
得出一个大概的数值估计，其数量在1.774310×1019 至1.776610×1019 之间。由此可见，其他阶幻方 • 的多少将是一个多么难以置信的庞大数字
• The numbers of different n×n magic squares for n from 1 to 5, not counting rotations and reflections are: 1, 0, 1, 880, 275305224 (sequence A006052 in OEIS). The number for n = 6 has been estimated to be(0.17745 ± 0.00016) × 1020.[22][23]
• 加拿大政府2011年成立The Tutte Institute for Mathematics and Computing (TIMC)以纪念他。
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/wiki/W._T._Tutte
手机密码安全吗？
• 10×10×10×10=10000
？
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手机屏幕开锁
• 研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学 科 ——高洁 《浅谈组合数学的应用与教学》
6
组合数学中的三大问题
• 存在（existence problem）
– 是否存在合理的解？
• 计数（counting problem）
– 有多少种解的可能？
• 优化（optimization problem）
13
幻方的构造
杨辉构造法
• 17世纪de la Loubere提出了n阶幻 方构造方法，其中n为奇数
– 将1放在最上一行的中间，然后按照 自左下到右上的对角线顺序来放置， 同时遵循如下规则：
• 到达顶行，则下一个数放在底行，位置 相应错过去
九子斜排，上下对易，左右相更， 四维挺出，戴九履一，左三右七， 二四为肩，六八为足
• 由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因 而还没有一个统一而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
– 计数：无重复 无遗漏
32
1 漫谈组合数学
1-1 组合数学的渊源 1-1-d 暴力枚举和抽象转换
米德的这篇论文, 结论是这篇论文解决的是组合数学问题 《十四巧板》(stomachion)。 • 在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形 一共能有多少种不同的拼法。这在现在被称为tiling问题。 • 斯坦福数学系的教授研究了这个问题，设立了一个小小的奖 项来征集答案，100美金， • 数学家和计算机学者都来参与了，你猜谁赢了呢？ • 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机得出的答案是 17152种拼法 • 数学家用纸和笔对排列进行分类，共24个基本族，基本解法 是536种，考虑旋转32种，答案也是17152种。
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2008幻方
东阳78岁老人包中祥设计出的正六面体“完 美幻方”。 它的每个田字格中的四个数的和是2008，每 个等腰梯形，长方形，菱形上四个格中的四 个数的和是2008，8条对角线和8条直线的四 个数的和是2008，这里也告诉人们一个数字 系列：2008.8.8。 还有，奥运五环上的五个数字和与另一颗“ 心”上的数字的差是2008，如（ 232+962+532+352+402）-472＝2008。
个性的幻方也是表达心意不错的选择
1 组合数学概论
组合数学 Combinatorics
1-1 组合数学的渊源 1-1-b 苦难的羊皮纸卷----
西方组合学的发展
清华大学 马昱春
23
阿基米德手稿
• 用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本，距今约1000年
• 2003科学家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基公元前287年—公元前212年
357
– 如果要放的位置上已经 填好了整数，或者已经 放到了右上角，则放在 紧挨着该位置的下方。
49 2
根据构造方法的不同，幻方可以分三类：奇数阶幻方、 4M阶幻方和4M+2阶幻方 15
三阶幻方的个数
816 357 49 2
16
n阶普通幻方有多少个呢？
17
幻方的计数
• 弗兰尼克尔（Bernard Frenicle de Bessy）在1693 年得出结论，认为4 阶幻方总共有 880 个基本形式， 通过旋转与镜面反射，总共有 7040 个幻方。
• 对于 5 阶幻方总数的估计， 理查德• 许洛泼尔（Richard Schroeppel）利用计算机编程运算得出结论， • 认为 5 阶幻方的基本形式有275305224 个，即2 亿7 千5 百多万个。 • 对 6 阶幻方，皮恩（K.Pinn） 和维茨考夫斯基（C. Wieczerkowski）利用蒙特卡洛模拟和统计学方法，
一切推理和发现，不管是否
多个范畴，被誉为十七世纪的 亚里士多德。和牛顿先后独立
用语言描述，都能归结为如数， 发明了微积分。
字，声，色这些元素经过某种组
合的有序集合。
26
1 组合数学概论
组合数学 Combinatorics
1-1 组合数学的渊源 1-1-c 密码安全不安全
算了才知道
清华大学 马昱春
27
纵横图：洛书，河图，四四图，五 五图，六六图，六十四图，九九图 ，百子图，聚五图，聚六图，聚八 图，攒九图，八阵图，连环图。
永乐大典中一页
幻方的神秘力量
Albrecht Dürer 《忧伤》 幻方蕴含着宇宙的法则
（1514年）
11
例:幻方
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方阵： 该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两条对 角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
• 到达最右边一列，下一个整数放在最左 边，位置相应错位
• 如果要放的位置上已经填好了整数，或
者已经放到了右上角，则放在紧挨着该
位置的下方。
14
幻方的构造
• 将1放在最上一行的中
间，然后按照自左下到
右上的对角线顺序来放
置，同时遵循如下规则：
– 到达顶行，则下一个数
816
放在底行，位置相应错
过去
– 到达最右边一列，下一 个整数放在最左边，位 置相应错位
幻积，幻差，幻商
平方幻和
1472+12+25622=147994009
29822+15332+18862=147994009
1472+15332+21632=147994009
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幻方问题
• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。 • 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以
作为人类智慧的信号。
例:幻方
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方 阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两 条对角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
19
例:幻方
任意数列 平方数 素数
• 一个n阶幻方是由整数1,2,3….n2按下述方式组成的n×n方
阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两 条对角线中每条对角线上的整数和都等于同一数。
• 3 × 3 的点阵中的一条路径，这条路径最少 连接四个点，最多连接九个点。
• C(9, 4) + C(9, 5) + C(9, 6) + C(9, 7) + C(9, 8) + C(9, 9) = 985 824
总体方案：389112方案数
4位： 1624 5位： 7152 6位： 26016 7位： 72912 8位： 140704 9位： 140704
8.1 加法法则和乘法法则 8.2 基本排列组合的计数方法 8.3 递推方程的求解与应用 8.4 题例分析
第9章 代数系统简介 第10章 形式语言和自动机初步
本课程内容大纲 第一部分 排列与组合 第二部分 递推关系与母函数 第三部分 容斥原理 第四部分 鸽巢原理 第五部分 Burnside引理与Polya定理
几何学
幼儿园
小学，中学
概率学
大学
现代数学
拓扑学 抽象代数
群论 集合论 数论
… 组合数学
研究生
组合数学
• 组合数学研究的是事物按照某种规则的安排，主要有：存 在性问题、计数性问题和对已知安排的研究 —— Richard A. Brualdi 所著《Introductory Combinatorics》
(1646-1716)
出现变量
初等代数
线性代数
奇普，印加帝国时所 使用的计数工具。
几何学
概率学
Leonhard Euler
(1707-1783)
Friedrich Gauss
(1777-1855)
数学起源于计数
数学发展史
16世纪初等数学
分析数学
算术
高等数学
17世纪
出现变量
初等代数
线性代数
奇普，印加帝国时所 使用的计数工具。
ab
• 是否存在2阶幻方？
cd
– 假设存在2阶幻方
a, b, c, d是[1，4]的各不相同的整数
– 2阶幻方的幻和为5
n*(n2+1)/2 = 2×5/2=5
a + b =5 c + d =5 a + d =5 c + b =5
b - d = 0; 与假设矛盾。 不存在2阶幻方！
大约30年前德国数学家L. Bieberbach证明了： 「对于任意大于等于3的数n，都存在一个n阶的幻方。」
组合数学的应用
• 著名的组合数学家 Thomas Tutte(1917-2002) 在组合数学界 是泰斗级的大师。直到最近人们 才知道，原来他对提前结束“二 战”有着突出贡献。
• Tutte 从德军的两条情报密码出 发，用组合数学的方法，重建了 敌人的密码机，确定了德军密码 的内部结构，从而获得了极为重 要的情报。
• 定义行/列的整数和为该幻方的幻和。
– {1, 2, 3…. n2}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和为
• 1+2+3+….+n2 = n2× (n2+1)/2
– n阶幻方共有n行，每行的和为s
• ns = n2× (n2+1)/2 s = n× (n2+1)/2
12
存在性问题
[ ] • 是不是所有1到n2的数字都可以构成幻方呢？