《机械振动》张义民—第3章第1节ppt

3.1 对简谐激励的响应
如图3.1-1所示的二阶线性有阻
尼的弹簧-质量系统。这一系统
的运动微分方程为
mx cx kx F(t) F0 sint (3.1-1)
这个单自由度强迫振动微分方程
的全部解包括两部分。一是通解
x1，二是特解x2，即
x x1 x2
图 3.1-1
在小阻尼情况下，通解x1为衰减振动，称为瞬态 振动；特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫 振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。
1 2
(3.1-12)
X X 0 F0
2 cn
(3.1-13)
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在
=n处，而发生在
1 2 2n
(3.1-14)
将式(3.1-10)对ω(或λ)进行微分，令结果等于零,
即
d 4(1 2 ) 8 2 0, d (1 2 )2 (2 )2
1 2 2 2 0, 1 2 2
图 3.1-4
●生活和工程中的共振问题
■我国古代很早就对共振现象有记述，公元前4 世纪至公元前3世纪，我国《庄子·杂篇·徐无鬼》 中，就讲到了调瑟(有25根弦的古代弦乐器)时发生 共振的现象：“鼓宫(音谓名)宫动，鼓角(音调名) 角动，音律同矣。夫改调一弦，于五音无当也， 鼓之，二十五弦皆动。”它既描述了基音的共振 现象，又描述了基音和泛音的共振现象。
放大因子。
可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式
X
1
X 0 [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
1
(1 2 )2 (2 )2
(3.1-10)
tan 2 1 2
(3.1-11)
●幅频特性曲线(图3.1-2)
放大因子与频率比的关系：
◆当频率比<<1时，放大因
子接近于1，即振幅X几乎
本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条 件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。
(3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。
引入符号：
n
X0 F0 k
X X0
频率比； 振动系统零频率挠度；
共振)时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，
=n，有 mx kx F0 sint
(3.1-17)
根据微分方程理论可知：当=n时，微分方
程(3.1-17)的特解为
x
F0
2m
t
cost
F0
2m
t
sint
2
(3.1-18)
这就说明在共振时，如无阻 尼，振幅将随时间无限地增大， 如图3.1-4所示。
●相频特性曲线(图3.1-3)
相位差与频率比的关系：
◆在<<1的低频范围内， 相位差0，即响应与激励
接近于同相位。
◆在>>1时，相位差，
即在高频范围内，响应与激 励接近于反相位。
图 3.1-3
◆在=1，即共振时，相位差 /2，这时与阻尼大小无
关，这是共振时的一个重要 特征。
由式(3.1-10)可见，在=1时，有
(3.1-8)
x2
F0 k
sin t
1
n
2 2
2
n 2
(3.1-9)
这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。
•可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：
(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振
动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相位
滞后于激励相位。
(2) 强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统
与激励幅值引起的静变形X0 差不多。
◆当频率比>>1时，趋于
零，振幅可能非常小。
◆当激励频率与振动系统频
率很接近时，即≈1时，定
义为共振，强迫振动的振幅
图 3.1-2
可能很大，比X0大很多倍， 唯一的限制因素是阻尼。
1807年冬和1808年春，拿破仑率领法国军队入侵西班 牙。据说，在战争中部队行军经过一座铁链悬索桥，随 着军官雄壮的口令，队伍迈着整齐的步伐逐渐接近对岸 时，轰隆一声巨响，大桥塌毁了，士兵、军官纷纷坠水。 几十年后，俄国圣彼得堡卡坦卡河上，一支部队过桥时， 也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时， 都不允许齐步走，必须用凌乱无序的碎步通过。
设特解为
x2 X sin(t )
(3.1-2)
式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个
待定常数。
将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得
(k m 2 ) X sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
(3.1-3)
为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下 F0 sint F0 sin[(t ) ]
有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共 振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动 的现象称为共振。
据此，放大因子与振幅为
1
Baidu Nhomakorabea
1
1 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 1 2 2
1
2 1 2
(3.1-15)
X X 0 F0
2 1 2 cd
(3.1-16)
再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即
X
F0
k m 2 2 c 2
(3.1-5)
tg
k
c m 2
(3.1-6)
为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与式(3.1-6)
的分子分母同除以k，得如下变化形式
X
F0 k
1 n 2 2 2 n 2
(3.1-7)
tg
2 1
n n 2
式中n2
k ,
m
c cc
, cc
2mn
。
得特解为
■《墨子•备穴篇》还记述了共振现象的具体应 用；在城墙根下每隔几米，挖一个坑，坑内埋置 容器为 70～80升的陶瓮，瓮口蒙上皮革。若有敌 人挖地道攻城，可以根据各陶瓮声响情况，确定 敌人挖掘的位置和方向。
第三章 单自由度系统的强迫振动
●本章将主要讨论振动系统由外部持续激励所 产生的振动，称为强迫振动。
●系统对外部激励的响应取决于激励的类型， 依照从简单到复杂的次序，外部激励分为:
◆ 简谐激励；
◆ 周期性激励；
◆ 非周期性激励。
●叠加原理：对于线性系统，可以先分别求出 对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出 总响应。
F0 cos sint F0 sin cos(t )
(3.1-4)
将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得
[(k m 2 ) X F0 cos ]sin(t ) (cX F0 sin)cos(t ) 0
该方程对于任意时间t都应恒等于零，有
由此可得
(k m 2 ) X F0 cos cX F0 sin