专题：应用性问题

2011届文科数学专题复习资料-------应用性问题

一、数学建模分析的步骤：

1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。

“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；

“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；

“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；

“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。

2. 建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。

3. 求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。

4. 检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。

二、解题指导：

1．要注意应用性总是的实际意义；

2．解决函数应用题的基本方法是先建立函数关系式，再利用二次函数、基本不等式、换元法、导数法或函数的单调性等方法求函数的最值；

3．解决不等式应用题，主要是利用基本不等式或线性规划知识，借助不等式与方程的相互关系求解会使问题化难为易；

4．解答数列应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差数列、等比数列或递推数列等模型来解决问题；

5．解决立体几何应用题，重在对空间想象能力和阅读能力的考查；

6．解决解析几何应用题，就是将实际问题的数量关系转化为平面上的代数关系，然后用数学的方法求解代数问题，圆锥曲线的定义对解题的作用是不可忽视的；

7．解答三角应用题，应充分运用正弦定理和余弦定理。其主要题型有测量问题和航海问题等，根据题意正确画出示意图是解题的关键。

三、例题：

第一讲函数与不等式类型

业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一

块占地1800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土

堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为

2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米，其中:1:2

a b . (Ⅰ) 试用

,x y表示S；(Ⅱ) 若要使S最大，则,x y的值各为多少？

例2．某公司是一家志做产品A 的销售企业，第一批产品A 上市销售后40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，发现：市场的每天销售量（单位：百件）与上市时间t （单位：天）的关系是一条折线（如图一），每件产品A 的销售利润（单位：元/件）与上市时间t （单位：天）的关系也是一条折线（如图二）。

（1） 写出市场每天的销售量f(t)与产品A 上市时间t 的关系式（不需求解过程）； （2） 第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过30万元？ y y

60 60

t （天） t （天） 30 40 20 40 图一 图二

例3．上海某玩具厂生产x 套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P 元，且

211000510P x x =++

，而每套售出的价格为Q 元，其中x

Q=a+b

()a , b R ∈， （Ⅰ）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？

（Ⅱ）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a , b 的值．（利润 = 销售收入 — 成本）

例4（2010广东文数）（本题满分12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64

销售量（单位：百件） 利润（单位：元/件）

个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

练习：

1．某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对（t ，P ），点（t ，P ）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示。 （1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交

易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？

2．某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年A 型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p ％ (0100p <<，即销售100元要征收p 元) 的税收，于是该产品的出厂价上升为每件

8000

100p

-元，预计年销售量将减少p 万件.

(Ⅰ) 将第二年政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ) 要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p ％的范围是多少?

(Ⅲ) 在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少?

第t 天

4

10 16 22 Q （万股） 36

30

24

18