多项式定理

多项式定理

n 个有区别的球放到两个有区别的盒子里，若第一个盒子放k 个球，第二个盒子放n-k

个球（k=0，1，2…，n ）方案数应是n x x )(21+中k n k x x -21项的系数k n

C 。依据加法法则有 n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++

可把上面的讨论推广到n 个有区别的球放到m 个有区别的盒子里，要求m 个盒子放的球数分别是1n ，2n ，…，m n （m n n n n +⋅⋅⋅++=21）的情况，其不同的方案数用

m n n n n C ⋅⋅⋅21

表示

从n 个有区别的球中取1n 个放到第一个盒子里去，其方案数为),(1n n C ；当第一个盒子的1n 个球选定后，第二个盒子里的2n 个球则是从1n n -个中选取的，其方案数为)n , (21n n C -；第3个盒子的3n 个球则是从21n n n --中选取，其方案数为),(321n n n n C --，以此类推，根据成法则可得

m n n n n C ⋅⋅⋅21=m m n n n n n n n n n n n n n n C C C C 121321211--⋅⋅⋅------⋅⋅⋅ =)!(!)!()!(!)!()!(!!321321212111n n n n n n n n n n n n n n n n n n ---------…!

!!!!0!21m m m n n n n n n ⋅⋅⋅= n 个有区别的球，放到m 个有标志的盒子的问题，也可以考虑把n 个有区别的球进行全排列，对于每一个排列依次取1n 个放到第一个盒子里，取2n 个放到第二个盒子里，…，最后m n 个放到第m 个盒子里。然而，放到盒子里的球不考虑球的顺序，故的不同的方案数为 m

n n n n ⋅⋅⋅21! 称m

n n n n ⋅⋅⋅21!为多项式n m x x x x )(321+⋅⋅⋅+++的系数。 n m x x x x )(321+⋅⋅⋅+++展开式中的一般项m n m n n x x x ⋅⋅⋅212

1表示第一个盒子里有1n 个球，第二个盒子里有2n 个球，等等。所以m n m n n x x x ⋅⋅⋅2121的系数为m

n n n n ⋅⋅⋅21! m m n m n n n n n n m

n m x x x n n n n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++∑=+⋅⋅⋅++2121212121!!!!)(

定理：n m x x x x )(321+⋅⋅⋅+++展开式的项数等于n m n C 1-+，而且这些系数之和等于n

m

（n n m n m C H 1-+=）。 证明：n m x x x x )(321+⋅⋅⋅+++展开式中的m n

m n n x x x ⋅⋅⋅2121项（n n n n m =+⋅⋅⋅++21）和从m 个元素1x ，2x ，…，m x 中取n 个作允许重复的组合一一对应。故得

n m x x x x )(321+⋅⋅⋅+++展开的项数等于n m n C 1-+。从m 个中取n 个作允许重复的组合的全体，对于每一个球都有m 个盒子可供选择，根据乘法法则有 n n n n n m m n n n n m =⋅⋅⋅∑=+⋅⋅⋅++21!

!!21 例1.展开4)(z y x ++

解：展开后一共有1546414343===-+C C H 项。

4)(z y x ++=4x +

y x 3134！！！+z x 3134！！！+！！！！1124yz x 2+！！！22422y x +！！！22422z x +！

！！3143xy + ！！！3143xz +！！！！21142xyz +！！！！1214z xy 2+！！！22422z x +！！！134z y 2+！！！134y z 3+4y +4z =