数学分析课件

1 π bn = ∫−π f ( x)sinnxdx ( n = 1,2,3,L) π
傅里叶系数
1 π ) an = π ∫−π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L bn = 1 π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L ) ∫−π π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
4
π
sint
1 (sint + sin3t ) 3 π
4
1 1 (sint + sin3t + sin5t ) π 3 5
4
1 1 1 (sint + sin3t + sin5t + sin7t ) 3 5 7 π
4
1 1 1 1 (sint + sin3t + sin5t + sin7t + sin9t) π 3 5 7 9
1 sin mx sin nx = [cos( m − n) x − cos( m + n) x ] 2 π 0, m ≠ n ∫−πcos mx cos nxdx =πδ mn = π , m = n, 1 cos mx cos nx = [cos( m − n) x + cos( m + n) x ] 2
a0 = ⋅ 2π , 2
1 π a0 = ∫−π f ( xFra Baidu bibliotekdx π
( 2 ) 求a n .
∫
π −π
a0 π f ( x ) cos nxdx = ∫− π cos nxdx 2
+ ∑ [ak ∫− π cos kx cos nxdx + bk ∫− π sin kx cos nxdx ]
k =1 ∞ π π
a0 ∞ 若有 f ( x ) = + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 (1) 求a0 . ∫
π −π ∞ a0 π f ( x )dx = ∫ dx + ∫− π [ ∑ (a k cos kx + bk sin kx )]dx 2 k =1 π −π
π ∞ π ∞ a0 = ∫−π dx + ∫−π ∑ ak cos kxdx + ∫−π ∑ bk sin kxdx 2 k =1 k =1 π
π
=−
=−
∫−π ϕ ( − x ) sin nxdx π
∫−π ψ ( x ) sin nxdx = − β n π
bn = − β n .
π
( n = 1,2,L)
an = α n ,
一、问题的提出
简谐波： x 简谐波： ( t ) = a sin(ωt + ϕ )
T= 2π
ω ϕ－－初相； a－－振幅 . －－初相 初相； －－振幅
－－周期； ω－－频率； －－周期； －－频率； 周期 频率
x1 ( t ) = sin t , x 2 ( t ) = sin 3t， x1 ( t ) + x 2 ( t ) ?
1
1
1
π
1
−π
ϕ ( − t ) cos( − nt )d ( − t )
∫−π ϕ ( − x ) cos nxdx π
∫−π ψ ( x ) cos nxdx = α n π
π
π
( n = 0,1,2,L)
bn = =
∫−π ϕ ( x ) sin nxdx π ∫π π
1
1
1
π
1
−π
ϕ ( − t ) sin( − nt )d ( − t )
π = a n ∫− π cos 2 nxdx = an π,
1 π an = ∫−π f ( x)cos nxdx π
( 3) 求bn .
( n = 1,2,3,L)
∫−π
π
a0 π f ( x ) sin nxdx = ∫−πsin nxdx 2
∞ π π k =1
+ ∑ [ak ∫− π cos kx sin nxdx + bk ∫− π sin kx sin nxdx ] = bn π,
u
1
−π
o
−1
π
t
写出它的Fourier级数？ 写出它的 级数？
解
1 π an = ∫ u(t)cos ntdt π −π
=
∫ π (−1)cos ntdt + π ∫ 1cos ntdt π
− 0
1
0
1
π
=0
(n = 0,1,2,L )
1 π bn = ∫ u(t)sinntdt π −π
=
∫ π (−1)sinntdt + π ∫ 1sinntdt π
− 0
1
0
1
π
2 2 [1 − ( −1) n ] = (1 − cos nπ ) = nπ nπ
4 , n = 2k − 1, k = 1,2,L = ( 2k − 1)π 0, n = 2k , k = 1,2,L
4 sin(2n −1)t ∴u(t) ~ ∑ ) n=1 (2n −1 π
n =1 ∞ n =1
a0 令 = A , an = A sinϕn , bn = A cos ϕn , ωt = x, n n 0 2
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
三角级数
2.三角函数系的正交性 2.三角函数系的正交性 三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,Lcos nx , sin nx ,L
问题
f ( t ) = A0 + ∑ An sin( nωt + ϕ n ) ?
n =1
∞
− 1, − π ≤ t < 0 非正弦周期函数:矩形波 非正弦周期函数 矩形波 u( t ) = 0≤ t <π 1,
u
−π
o
−1
π
t
不同频率正弦波的叠加
4 4 1 4 1 4 1 sin t , ⋅ sin 3t , ⋅ sin 5 t , ⋅ sin 7 t , L π π 3 π 5 π 7
∫−πsin mx cos nxdx = 0.
π
(其中m , n = 1,2,L)
1 cos mx sin nx = [sin( m + n) x − sin( m − n) x ] 2
三、函数的傅里叶级数
若能展开, 是什么? 问题: 若能展开 问题: 1.若能展开 a n , bn是什么 2.展开的条件是什么 (下节课介绍 展开的条件是什么? 下节课介绍 下节课介绍) 展开的条件是什么 1.傅里叶系数 1.傅里叶系数
4
4 1 1 1 u(t ) = (sint + sin3t + sin5t + sin7t +L ) 3 5 7 π
(−π < t < π, t ≠ 0)
二、三角级数
1.三角级数 1.三角级数
∞
三角函数系的正交性
f ( t ) = A0 + ∑ An sin( nωt + ϕ n ) = A0 + ∑ ( An sin ϕ n cos nωt + An cos ϕ n sin nωt )
正交 : 任意两个不同函数的乘 积在 [ −π , π ]上的 积分等于零 .
∫−πcos nxdx = 0,
π
∫−πsin nxdx = 0,
π
δ mn
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n , = 1, m = n
∫ πsin mx sin nxdx = πδ
−
π
mn
0, m ≠ n , = π , m = n
∞
作业
习题11.1 习题 1、2. 、
思考题
若函数ϕ ( − x ) = ψ ( x ) ，问：ϕ ( x ) 与ψ ( x )
b β 的傅里叶系数a n 、 n 与α n 、 n ( n = 0,1,2,L)
之间有何关系？ 之间有何关系？
思考题解答
an = = =
=
∫−π ϕ ( x ) cos nxdx π ∫π π
第11章 11章
傅立叶级数
法国数学家、 法国数学家、物理学家 1807年，《热的传播》 年 热的传播》 热传导方程 指出任一周期函数都可以 展成三角函数的无穷级数
，
Fourier 1768.3.21-1830.3.16 1817年当选为科学院院士 年当选为科学院院士
周期函数的Fourier Fourier级数 §12.1 周期函数的Fourier级数
2. 傅里叶级数
积函数， 若 f 是以 2π为周期的可积或绝对可 积函数，
? ?
a0 ∞ + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑(an cos nx + bn sinnx) 2 n=1
例 1 以 2π 为周期的矩形脉冲的波形
− 1, − π ≤ t < 0 u( t ) = 0≤ t <π 1,