圆锥曲线中的四心

圆锥曲线中的“四心”

云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武

摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用．

关键词：思维流程内心外心重心垂心解题能力

正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考．例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)

A-、

(2,0) B、

3

1,

2

C

⎛⎫

⎪

⎝⎭

三点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)

F H

-，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；

思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解题过程：

（Ⅰ）设椭圆方程为122=+ny mx ()0,0>>n m

将(2,0)A -、(2,0)B 、3

(1,)2

C 代入椭圆E 的方程，得

41,

9

14

m m n =⎧⎪

⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==. ∴椭圆E 的方程22

143

x y +

= ．

（Ⅱ）||2FH =，设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯=

∆22

1

当点D 在椭圆的上顶点时，h ，所以DFH S ∆ 设ΔDFH 的内切圆的半径为R ，因为ΔDFH 的周长为定值6．所以，

62

1

⨯=

∆R S DFH 所以R 的最大值为

3．所以内切圆圆心的坐标为.

点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯=

r S 2

1

例2、椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且

1=⋅，1=．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程：

（Ⅱ）

→

解题过程：

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,则1c =

又∵1=⋅即 22()()1a c a c a c +⋅-==- ∴22a =

故椭圆方程为2

212

x y += （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则

设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ， 于是设直线l 为 y x m =+，由22

22

y x m

x y =+⎧⎨

+=⎩得 2234220x mx m ++-=

∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+- 又(1,2)i i y x m i =+= 得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即

由1AF FB •=，1OF = 0MP FQ •=

212122()(1)0x x x x m m m ++-+-= 由韦达定理得 222242(1)033

m m m m m -⋅--+-=

解得43m =-

或1m =（舍） 经检验4

3

m =-符合条件． 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例3、在椭圆C ：13

42

2=+y x 中，21F F 、分别为椭圆C 的左右两个焦点，P

为椭圆C 上的且在第一象限内的一点，21F PF ∆的重心为G ，内心为I ． （Ⅰ）求证：21F F λ=；

（Ⅱ）已知A 为椭圆C 上的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于N M ,两点，若AN AM ,的斜率21,k k 满足2

1

21-=+k k ，求直线l 的方程． 思维流程：

解题过程：

（Ⅰ）设),(00y x P ，重心),(y x G ，由已知可知)0,1(1-F ，)0,1(2F 则31)1(0+-+=

x x ，3000++=y y )3

,3(00y

x G ∴ 由00212121y y F F S F PF ==

∆ 又内切圆r F F PF PF S F PF )(2

1

212121++=∆ 0321y r S F PF ==∴∆内切圆 ∴内心I 的纵坐标为

3

y IG ∴∥21F F 即21F F IG λ=．

（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，显然120k k +=不合题意； 则直线l 的斜率存在．

设直线l 为)1(-=x k y ，直线l 和椭交于11(,)M x y ，22(,)N x y 。 将:1243)1(22中得到代入=+-=y x x k y

01248)43(2222=-+-+k x k x k

依题意：110992-<>>-=∆k k k 或得

由韦达定理可知：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=+22

112

22143124438k k x x k k x x 又)2

121(2222112211+-++-=+++=

+x x x x k x y x y k k AN AM 1211[23(

)]22

k x x =-+++