浅谈交流电的向量表示法

浅谈交流电的向量表示法

开封市供电公司、电工进网作业培训班辅导教师胡慈丹

我们都知道，当我们用交流电压表测量两相对地220V 之间的交流电压时，是380 V。测量两点电压，相当于两点对地（或对公共线）电压相减，这里为什么“220-220≠0”而是380呢？这要从交流电的向量谈起。

1．什么是向量。

向量也称矢量，就是带方向的量，我们平常所用的是算术量或代数量，是不带方向的。

举个例子。某人从家中（图1中A 点）向北走3公里到 B点，

然后再向西走4公里到C

点，如果问他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，

这是算术量，但如果问他从家到停止的地方移动了多少

距离，即位移多少，那么就“3+4≠7”了。我们用比例

尺量一下AC两点的长度，是5公里。图中带箭头的线段

AB、BC、AC就是向量。

2．交流电的向量。

众所周知，交流电是随时间按正弦规律变化的，图2（a）以交流电压为例，表现了这一特性。图2左边圆形中，纵直径表示电压的比例尺，横直径从圆心O向右是开始轴。带箭头的线段，以U m为半径，以不变的角速度，以逆时针方向旋转，它与横轴的夹角跟着变化，它的垂直高度（线段在纵轴上的投影，就是正弦）代表的瞬时值也在变化，每经过一个时间t，就有相应的角度和瞬时值与之对应。如此往复下去，向右展开为一条无限长的曲线，就是正弦曲线。图中“带箭头的线段”既有长度（U m），又有方向（角度），所以就是向

量。交流电的向量是旋转向量，向量每旋转一周360º的时间称为一个周期，用T表示。每秒钟包含的周期数称为频率，用f表示。图中不同箭头表示了一个向量的不同角度。

向量旋转的角度又称为相位。向量在一个时间起点下所处的相位称为初相位。比如图2（a）中当开始（时间在0秒）时向量处在OA 位置，那么这个向量初相位就是0，对应于右边图2（a）的曲线。当开始（时间在0秒）时向量处在OB位置，那么这个向量初相位就是ψ，曲线示于图2（b）。表达式是：

u=U m sin(ωt+Ψ)

其中，u为瞬时值，U m为峰值，ω=2πf为角速度，f为频率，我国为每秒50周（50赫芝），2π相当于一周360 ，t为时间秒，Ψ为初相位。电流表示相同。ωt=2πft表示向量在旋转，向量的某一瞬间位置由时间变量t决定的相位和初相位常数Ψ之和来确定。而以下我们研究向量分析和计算时，因为各向量都以同速旋转，向量的位置就由初相位、也就是相对位置Ψ来决定了。

U m是交流电压的极大值、峰值或称振幅值，代表向量的长度。但这使用着很不方便，因为我们平时无法直接得到这个值，常将有效值用于向量中，比如220V,380V 等。

有效值我们经常在使用，有的读者未必说得清楚。概念是这样的：比如交流电压，数值每时每刻都在变化，没有一个稳定的值，那么怎样用稳定的方法表示呢？科学上让交流电和直流电分别带相同的电阻负载，当两者所发热量相等时，那么此时测到的直流电压就是交流电压，这是可以用理论计算出来的，等于交流电最大值（或峰值）的0.707倍，电流也是这样。交流电压或电流表也是按有效值原理制成的，故可以稳定地显示交流电的电压或电流有效值。我们平常非特别说明，都是指的有效值。有效值电压、电流、电动势用大写字母表示，如U、I、E等，如图2(a)曲线上的U。极大值用大写字母下脚加m表示,如U m、I m、E m等。

现在再回到向量上来。不同的交流电向量有不同的初相位，他们之间的差称为相位差。因频率相同（本文均指同频率），

这个相位差是永久不变的，可以

说是“相对静止”的。就

象几个人长跑比赛，在发令枪响

时，各处于不同的起跑线上同时

起跑，又始终坚持相同的速度，

不管跑多少圈，他们的相对位置是不变的。于是我们就能以标明初相位的方式将诸多交流电的量表示出来。图3是两个电压向量，U 1的初相位为0，U2的初相位为ψ。因逆时针方向为正方向，U2引前U1一个角度Ψ。

图4画出三相交流电压的向量图，U A初相位为0，

U B初相位240º；U C初相位120º；U A引前U B120º，U B引前U C120º，U C又引前U A120º，此顺序称为正相序。

3．交流电量（电压、电动势或电流）的相加。

交流电路中，经常遇到两个及以上交流电的量（电压、电动

势或电流）相加或相减的情况。比如两个同相位的交流电量相加，

直接将两个有效值相加就行了，但我们经常遇到的是两个不同相

位的交流电量相加，怎么办呢？一个办法是，将各瞬时值加起来，

得到一条两者之和的正弦曲线，再取有效值。不过这样太麻烦了。第二个办法就是我们要讲

的办法，只须将两者向量相加，得出向量和。因为曲线是由向量描绘的，向量按一定规则相加，也等于曲线相加，但方便多了。

4．向量的加减运算——作图法。

4．1向量的加法运算——平行四边形法。

我们以图3向量为例，U1、U2相加，作法示于图5。U1初相位为0，U2初相位为ψ1，先以U2末端为起点作U1平行线，长度与U1相等，再在U1末端作U2的平行线，长度与U2相等；然后从原点出发连接对角线，画上箭头，就是向量的和U3，ψ2是其初相位。如图5.

由平行四边形法派生出三角形法。只在U2末端作U1的

平行线，连接三角形的底边即可。

假如我们来作图3左边两向量的相加，得出向量和，

该和的幅度、相位、频率（交流电的三要素）具备，也能

据此在右边描绘出曲线，而等于前两条曲线之和，所以向量相加和曲线相加是等效的。

如果两个以上交流电量相加，先加好两个，再将这两个的和与第三量相加，依次类推。

4．2 向量的减法运算——减正等于加负。

还用图3为例，作法如图6。

U3=U1- U2= U1+（-U2）

先作U2的反向延长线，并与U2长度相等得-U2，然后再用

平行四边形法相加，得U1和U2之差U3，Ψ2是该向量差的初相位。

作图时用比例尺和量角器，最后用比例尺测量运算结果。向量的加减运算精确的方法是几何法和复数法。

5．应用实例。