高分子物理习题册 (10)

第十章

例10－1：如果原子的核电荷为1.6×10-19库仑，原子半径为10-10米，计算原子核在价电子处的原子内电场。试与一般外电场场强加以比较，并讨论电子极化的大小。

解：已知均匀带电球外某点的场强为

可见原子内电场远比一般外电场大得多，电子极化显得是比较小的。

例10-2试推导Debye色散方程式，并求出复介电常数的实部和虚部以及，等特征值表达式。

解：已知

联立以上三个方程式。

将（2）式减（3）式，得

————（4）

将（3）、（4）式带入（1）式得：

从而

则

————（5）

这就是Debye色散方程式。

将（5）式右边通分，并上下同乘

∴————（6）

————（7）

————（8）求，应当令

∴

舍去负根

代入（7）式

∴

同样，要求，令

∴

代入（8）式

∴

例10-3导出在交变电场中单位体积的介质损耗功率与电场频率的关系式，并讨论当ω→∞时介质的损耗情况。

解：

又，

∴

当时，

所以时介质的损耗功率趋于定值。

例10－4假定某种高聚物的电导率为10-9欧姆-1米-1，载流子迁移率借用室温下烃类液体中离子载流子的数值10-9米2/伏·秒，计算高聚物的载流子浓度，并估算高聚物中重复单元的数量密度（假定重复单元相对分子质量为100，高聚物的密度为1），比较所得结果并加以讨论。

解：

已知电导率

载流子迁移度

每个载流子电量库仑

∴

假定高聚物密度为1，重复单元相对分子质量为100。

则每m3中含有的重复单元数为

可见每109个重复单元才出现一个载流子，载流子是很少的，说明该高聚物有很好的电

绝缘性能。

例10-5聚合物的介电系数，可从组成大分子链中各基团摩尔极化度的加和性，根据Debye公式求得：

式中，V为链节的摩尔体积，一些常见基团的摩尔极化度（Pi）值如表10-2（单位m3·mol-1）：

表10-2 一些常见基团的摩尔极化度（Pi）值

基团106Pi(m3mol-1) 基团106Pi(m3mol-1)

－CH3 5.64 －COO 15

－CH2－ 4.65 －CONH 30

3.62 －OCOO 22

2.58 －F (1.8)

25.5 －Cl (9.5)

25.0 －CN 11

O 5.2 －S－ 6

(10) －OH

醇 (6) 酚 (～20)

根据以上数据，试计算聚碳酸酯（双酚A）的介电系数（ε）。已知PC的密度ρ=1.19×103kg·m-3，摩尔体积V25℃＝2.15×10-4m3·mol-1。

解：聚碳酸酯：

∴

实验值＝3.05

例10－6 将非晶态极性聚合物的介电系数和介电损耗的变化值，对外电场的频率作图，在图上标出ε0、ε∞以及临界频率ωmax，并说明这些曲线的意义；将这些曲线与介电系数和介电损耗对温度关系的曲线进行比较。

解：不同温度下（T2 >T1）的ε和tanδ对ω作图10-2(a)，和不同频率下（ω2 >ω1）的ε和tanδ对T作图10-2(b)。

(a)图的意义：

ω→0时得静电介电系数ε0，ω→∞时得光频介电系数ε∞。此两种情况下介电损耗 tanδ均很小，当ωmax＝1/η时tanδ有峰值，此时ε的变化也最大；当温度T2 >T1时，出现tanδ峰值（tanδmax）的频率也变大（ω′max >ωmax）

(b)图的意义：

介电系数随着温度升高而增大，当T很低时tanδ或ε′都很小，T很高时tanδ也很小，在ε′随温度变化的最快处，tanδ出现峰值；频率低的（ω1 <ω2）比频率高的，出现

tanδ峰值（tanδmax）的温度也低（T max< T′max）。

1.图和(b)图都说明，升温和降低外电频率，对于极性聚合物的偶极极化有相同的效果。

例10－7 由Clausius-Mosotti方程

导出Debye方程：

若测定了不同温度下的摩尔极化度p，就可计算得到诱导极化率及永久偶极矩。试简述求得的步骤。

解：由Clausius-Mosotti方程

式中，N为单位体积的分子数；α为总的极化率。上式两边乘M0/ρ（M0为相对分子质量，ρ为密度），

则

而（Avogadro常数），

∴

令和

则上式为：

作图(图10-3)，由图上截距（A）可求出诱导极化率；由斜率（B）可求出永久偶极矩（）。

例10－8 已知化合物的摩尔折射度(R)有基团加和性，某些基团的摩尔折射度如表10-3：

表10-3.某些基团的摩尔折射度

C－H C－C C＝C C C C－Cl C－F 键

R Da) 1.705 1.209 4.15 6.025 6.57 1.6

a) R D 表示用钠谱线D所测定的折光率值。

根据摩尔折射率与介电系数的关系，试分别计算PP、PVC的介电系数ε。

解：由和

∴

已知PP的，

解得

实验值（时）

PVC的，

解得

实验值（时）

例10－9 考虑一个PVC大分子，若C－C键角均为90o，而C链为维持此键角的自由旋转链时，则该链的平均偶极矩为多大？若键角为109.5o其它条件相同时，结果又怎样？

解：PVC大分子链示意图如图10-4。

设：链节偶极矩，链均方偶极矩，链节数＝N，每个链节平均电荷， C－C键的键长＝b，则，（链段相关因子）

当键角为90o时，C－C直线距离，则

∴

当键角为109.5o时，

则

∴

例10－10 各种高聚物感受介电加热的性能不同，如表10-4（频率：20～30MHz）

表10-4几种高聚物感受介电加热的性能

高聚物功率损耗因数

感受能力

好相当好不好无

PVC（软）0.4 √

聚酰胺0.16 √

天然橡胶0.13 √

PMMA 0.09 √

聚酯0.05 √PC 0.03 √ABS 0.025 √