概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布
I 教学基本要求
1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；
2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；
3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；
4、会求简单随机变量函数的分布.
II 习题解答
A 组
1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为
1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=
以X 表示两个产品中的合格品数.
(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；
(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；
(2) 1
2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.
2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？
(1) 021()2021
x F x x x <-⎧⎪⎪
=-≤<⎨
⎪≥⎪⎩； (2) 2
1
()1F x x =
+ ()x -∞<<+∞. 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；
(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.
(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为
(1)0
()00
x A e x F x x -⎧-≥=⎨
<⎩
求常数A 及(13)p X <≤？
解：由()1F +∞=和lim (1)x
x A e A -→+∞
-=得
1A =；
(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.
4、设随机变量X 的分布函数为
2
00()0111
x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩
求常数A 及(0.50.8)p X <≤？
解：由(10)(1)F F +=得
1A =；
(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.
5、设随机变量X 的分布列为
()a
p X k N
==
(1,2,,)k N =L 求常数a ？
解：由
1
1i
i p
+∞
==∑得
1
1N
k a
N ==∑ 1a ⇒=.
6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、
5，且
0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090
5100
(3)C C p X C ==、
4110905100(4)C C p X C ==、50
1090
5100
(5)C C p X C ==
于是X 的分布列为
51090
5
100
()k k C C p X k C -== (0,1,,5)k =L . 7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求
(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数？
解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且
84(1)105p X ==
=、288(2)10945p X ==⨯=、2181
(3)109845
p X ==⨯⨯=
于是X
(2) 由(1)可知的分布函数为
01412
5()44234513
x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨
⎪≤<⎪⎪≥⎩
.
8、设随机变量X 的分布函数为
010.211
()0.3
120.5231
3
x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列？
解：
X 9、求在同一时刻
(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？
解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为
2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；
(2) 至少有3个设备被使用的概率为
(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=
33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；
(3) 至多有3个设备被使用的概率为
(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=
44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.
10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为
00521
1515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+
0.0001279=.
11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？
解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率
20.3
0.3(2)0.03332!
p X e -===；
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率
00.3
0.3(1)1(0)10.2590!
p X P X e -≥=-==-=.
12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =？ 解：由(1)(2)p X p X ===得
2
2
e
e λ
λλλ--=
2λ⇒=
42
2(4)0.09024!
p X e -⇒===.
13、一批产品的不合格品率为，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：
(1) 用二项分布作精确计算；
(2) 用泊松分布作的似计算？
解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为
(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=
00401
13940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=；
(2) 由于400.020.8λ=⨯=，于是拒收的概率为
(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.
14、设随机变量X 的密度函数为
201
()0
x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它
求X 的分布函数？
解：由()()x
F x f t dt -∞
=⎰
得
当0x <时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞
===⎰⎰
当01x ≤≤时
2200
()()02|x x
x
F x f t dt dt tdt t x -∞
-∞
==+==⎰⎰⎰
当1x >时
012100
1
()()020|1x x
F x f t dt dt tdt dt t -∞
-∞
==++==⎰
⎰⎰⎰
于是所求分布函数为
2
00()0111
x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
. 15、设随机变量X 的密度函数为
2
12(1)12
()0
x f x x
⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
求X 的分布函数？
解：由()()x
F x f t dt -∞
=⎰
得
当1x <时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞
===⎰
⎰
当12x ≤≤时
1121
111()()02(1)2()|2(2)x
x
x F x f t dt dt dt t x t t x
-∞
-∞
==+-
=+=+-⎰
⎰⎰ 当2x >时
12
2
121
211()()02(1)02()|1x
x F x f t dt dt dt dt t t t
-∞
-∞
==+-+=+=⎰
⎰⎰
⎰
于是所求分布函数为
011()2(2)
1212
x F x x x x x <⎧
⎪⎪
=+-≤≤⎨⎪
>⎪⎩. 16、设随机变量X 的密度函数为
cos ()2
20
A x x f x π
π
⎧
-
≤≤
⎪=⎨
⎪⎩其它
求(1) 常数A ；(2) X 的分布函数；(3) (0)4
p X π
<≤
？
解：(1) 由
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
得
2
2
2
2
2
2
0cos 0sin |21dt A xdx dt A x A π
π
π
πππ-+∞
--∞
-++===⎰
⎰⎰
1
2
A ⇒=
； (2) 当2
x π
<-
时
()()00x
x
F x f t dt dt -∞
-∞
===⎰
⎰
当2
2
x π
π
-
≤≤
时
2
2
21111()()0cos sin |sin 2222
x x
x
F x f t dt dt tdt t x πππ---∞
-∞
-==+==+⎰
⎰⎰
当2
x π>
时
2
2
2
2
2211()()0cos 0sin |122
x
x F x f t dt dt tdt dt t π
πππππ---∞
-∞
-==++==⎰
⎰⎰
⎰ 于是所求分布函数为
02
1
1()sin 2
22
2
12
x F x x x x π
π
π
π
⎧
<-⎪⎪
⎪=+
-
≤≤
⎨⎪⎪
>
⎪⎩
；
(3) (0)()(0)()(0)4
44
p X p X p X F F π
π
π
<≤
=≤
-≤=-
1111sin sin 0242224
π=+--=. 17、设随机变量X 的分布函数为
1()ln 11x F x x
x e x e
<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<；(2) X 的密度函数？
解：(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=
(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===
5
(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4
p X p X F F <<=<≤=-=-=；
(2) 由于在()F x 的可导点处，有()()f x F x '=，于是X 的密度函数为
11()0
x e
f x x
⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
.
18、设~(1,6)K U ，求方程2
10x Kx ++=有实根的概率？ 解：由~(1,6)K U 得K 的密度函数为
116
()5
k f k ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它
又由于方程2
10x Kx ++=有实根等价于2
40K -≥，即||2K ≥，于是方程有实根的概率为
2
2
(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞
-∞
≥=≤-+≥=+⎰
⎰
6
2
1455
dk ==⎰
. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟)
服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率
(1) X 至多3分钟； (2) X 至少4分钟；
(3) X 在3分钟至4分钟之间； (4) X 恰为3分钟？
解：(1) X 至多3分钟的概率为
0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -⨯-≤==-=-；
(2) X 至少4分钟的概率为
0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -⨯-≥=-<=-=--=；
(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为
(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=- 0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -⨯-⨯--=---=-；
(4) X 恰为3分钟的概率为
(3)0p X ==.
20、设~(0,1)X N ，求下列事件的概率( 2.35)p X ≤；( 1.24)p X ≤-；
(|| 1.54)p X ≤？
解：( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=；
( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=； (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ- (1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=⨯-=.
21、设~(3,4)X N ，(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >；(2) 确定c ，使得()()p X c p X c >=≤；(3) 若d 满足()0.9p X d >≥，则d 至多为多少？
解：(1) 23353
(25)(
)222
X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=
23323
(||2)1(||2)1(
)222
X p X p X p ---->=-≤=-≤≤
1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ
10.69150.99380.6977=+-= 333
(3)1(3)1(
)22
X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=；
(2) 由()()p X c p X c >=≤得
1()()p X c p X c -≤=≤
333
0.5()()()222
X c c p X c p ---⇒=≤=≤=Φ 3
032
c c -⇒
=⇒=； (3) 由()0.9p X d >≥得
333
0.9()1()1()1()222
X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33(
)0.11()0.122d d
--⇒Φ≤⇒-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622
d d d --⇒Φ≥⇒≥⇒≤.
22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值为4h ，标准
差为20min 的正态分布.
(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率； (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；
(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率？ 解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为
240260240240
(260)(
)1(1)202020
X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=；
(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为
240250240
(250)(
)(0.5)0.69152020
X p X p --≤=≤=Φ=； (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为
220240240260240
(220260)(
)202020
X p X p ---≤≤=≤≤
(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.
23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从2
(72,)N σ，已知96分以上的人数占总数的%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率？
解：设考生的外语成绩为X ，则2
~(72,)X N σ 由96分以上的人数占总数的%得
0.023(96)p X =>
72
9672
24
0.977(96)()(
)X p X p σ
σ
σ
--⇒=≤=≤
=Φ
24
2σ
⇒=12σ⇒=
于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为
6072728472
(6084)(
)121212
X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.
24
求cos Y X =的分布列？
解：由X
于是Y
25
求2
Y X =的分布列？
解：由
26、设随机变量的密度函数为
2311
()2
X x
x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它
求随机变量3Y X =+的密度函数？
解：由题意知，当2y ≤时，有
()()0Y F y p Y y =≤=
当24y <<时，有
()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-
当4y ≥时，有
()()1Y F y p Y y =≤=
即Y 的分布函数
02()(3)
2414
Y X y F y F y y y ≤⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=(3)24
0X F y y '-<<⎧=⎨
⎩
其它
2
3(3)24
20y y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩
其它
.
27、设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量X
Y e =的密度函数？ 解：由题意知，当1y ≤时，有
()()0Y F y p Y y =≤=
当1y e <<时，有
()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=
当y e ≥时，有
()()1Y F y p Y y =≤=
即Y 的分布函数
1()(ln )
11Y X y F y F y y e y e
≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=(ln )
10X
F y y e
'<<⎧=⎨⎩其它
110y e
y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
其它
.
28、随机变量X 的密度函数为
()0
x
X e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩ 求随机变量2Y X =的密度函数？
解：由于2
0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；
当0y ≥时，有
2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤≤
0()1x X f x dx dx e -===-
即Y 的分布函数
10()0
Y e y F y y ⎧-≥⎪=⎨
<⎪⎩
于是，Y 的密度函数
0()()00
Y Y y f y F y y >'==≤⎩
.
29、设随机变量~(0,1)X N ，试求随机变量||Y X =的密度函数？ 解：由于||0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当0y ≥时，有
()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-
即Y 的分布函数
2()1
0()00
Y y y F y y Φ-≥⎧=⎨
<⎩
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=2()
00
y y y 'Φ>⎧=⎨
≤⎩
2
2000
y
y y ->=≤⎩
.
B 组
1、A
2、B
3、D
4、B
5、B
6、B
7、C
8、C
9、C
10、C
11、设随机变量X 的分布函数为
0111()2
1232
x a x F x a x a b x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎪⎩
且1
(2)2
p X ==
，求常数a 、b ？ 解：由()1F +∞=及()()(0)p X a F a F a ==--得
()121(2)(2)(20)()()32F a b p X F F a b a +∞=+=⎧⎪
⎨
==--=+--=⎪⎩
1726a b a b +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩
1656a b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩
.
12
求常数a ？
解：由
1
1i
i p
+∞
==∑得
20.5121a a +-+=
12
a ⇒=±
再由1
1202
a a -≥⇒≤
，可得
12
a =-
. 13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
(1) 求X 的分布列； (2) 求X 的分布函数？
解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且
22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、2
4356
(5)10
C p X C ===
于是X
(2) 由(1)可知的分布函数为
030.134()0.4451
5
x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨
≤<⎪⎪≥⎩.
14、设随机变量X 的密度函数为
||
()x a
f x Ce -= (0)a >
求(1) 常数C ；(2) X 的分布函数；(3) (||2)p X <？
解：(1) 由
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
得
||0
()2221x x a
a
f x dx C e dx C e dx aC +∞
+∞
+∞
---∞
====⎰
⎰⎰
1
2C a
⇒=； (2) 当0x <时 ||111()()222t t x
a a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞
-∞-∞====⎰
⎰⎰
当0x ≥时
||||
0011()()22t t a a x
x F x f t dt e dt e dt a a
---∞-∞==
+⎰
⎰⎰ 001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-⎰⎰
于是10
2
()110
2
x
a x a e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨
⎪-≥⎪⎩；
(3) 222
11(||2)(22)(2)(2)1122
a a a p X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-. 15、设随机变量X 的密度函数为
201
()0
x
x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它
以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2
X ≤出现的次数，求(2)P Y =？
解：由题意知：事件1{}2
X ≤在一次观察中出现的概率为
11
1
2
2
2
200
1()02|4
p f x dx dt xdx x -∞
-∞==+==
⎰
⎰⎰ 且~(3,)Y b p ，于是
223139
(2)()()4464
P Y C ===
. 16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为
510()5
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求(1)p Y ≥？
解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为
5521010
10
1()|5
x x p f x dx e dx e e +∞
+∞
--+∞
-===-=⎰
⎰
且~(5,)Y b p ，于是
02025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=.
17、设随机变量2
~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=，求(0)p X <？ 解：由2
~(2,)X N σ得
22
42
42
(24)(
)(
)(0)0.3p X p X σ
σ
σ
---<<=<<
=Φ-Φ=
2
()0.8σ
⇒Φ=
02
22
(0)()()1()10.80.2p X p X σ
σσ
-⇒<=<
=Φ-=-Φ=-=.
18、设随机变量X 的分布函数为()F x ，试求随机变量()Y F X =的密度函数？ 解：由于0()1F X ≤≤，故当0Y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当01y ≤≤时，有
11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==
当1y >时，有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数
00()0111
Y y F y y
y y <⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
于是，Y 的密度函数
()()Y Y f y F y '=1
01
y <<⎧=⎨
⎩其它
即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.。