概率的加法公式与乘法公式

对任意两个事件A、B有
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
证明：因为 A B A B A A (B AB) 且 A(B AB) , AB B
故 P(A B) P(A) P(B AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A B) P(A) P(B).
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
性质4 P(A B) P(A) P(AB)
若事件A, B满足A B，则有
P(A B) P(A) P(B) P( A) P(B)
证明 性质3
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
证明： 因为 A A 且 AA 由性质2可得
2 规范性 对必然事件,有P() 1
3 可列可加性 若A1, A2 ,是两两互不相容的事件
则P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
二.概率的加法法则
性质1 P() 0
性质2（有限可加性）
若事件A1, A2 ,, An两两互不相容，则
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
1 P() P(A A) P(A) P(A)
P(A) 1 P(A)
证明 性质4 P(A B) P(A) P(AB)
证明：因为 A A A(B B) AB AB 且 AB AB 所以 P(A) P(AB) P(AB), 又 P(A- B) P(AB), 于是 P(A- B) P(A) P(AB)
而 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
所以 P(A B) P(B) P(A) P(AB)
于是 P(AB) 0.6 0.3 0.3
例5 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.
解：因为A、B、C 都不出现的概率为
经济数学基础
概率论与数理统计
第三讲 概率的运算法则
第三节 概率的运算法则
一、概率的加法公式 二、条件概率 三、概率的乘法公式
一、概率的公理化定义
设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一
个事件A，将其对应于唯一实数，记为P(A )，称为事件
A的概率，如果集合函数P(•)满足下列条件：
1 非负性 对任一个事件A有P(A) 0
P(B A ) P(AB) P( A)
(3)
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
可以验证，条件概率P(•|A)满足概率公理化定义中的 三条公理
=
C
51C
2 95
+
C
52C
1 95
+
C
53C
0 95
?
0.1440
C3 100
C3 100
C3 100
法二. A表示“任取三件全是正品”，而
P( A)
C935 C3
100
0.8560
P(A) 1 P(A) 1 0.8560 0.1440
例2 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一只， 有放回地抽三次，求三次抽取“颜色全同”、“至 少一只红球”的概率．
已知事件A发生的条件下，求事件B发生的概率。
解：(1)事件A发生这个条件告诉我们，试验的结果{TT} 不能出现，而只出现{HH，HT ，TH}，这时B要发生只能出现 结果{HH}。从而
def
P(“事件A发生的条件下事件B发生”)=1/3 P(B | A)
def
P(“事件A发生的条件下事件B不发生”)=2/3 P(B | A)
定理1可以推广到多个事件的情形。 推论1 若A1, A2, A3为任意三个事件，则
P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2) P(A3) P(A1A2) P(A2A3) P(A1A3) P(A1A2 A3)
一般地，对任意n个事件A1, A2 ,, An可由归纳法证得。
例3 在例2中，求“取到的三个球里没有红球或 没有黄球”的概率．
解 P("颜色全同") P("全红""全黄""全白")
P(全红) P(全黄) P(全白)
1 1 1 1 33 33 33 9
P("至少一只红球") P("无红球")
1 P("无红球")
23 19 1
33 27
若A,B互不相容，有 P(A B) P(A) P(B). 一般地， 定理1（加法公式）
(2)如果没有事件A发生这个条件则事件B发生的概率为：
P(B) 2 1 P(B | A) 1
42
3
(3) 事件A与事件B同时发生的概率为：
P( A) 3 , P( AB) 1
4
4
从而有公式：
P(B | A) P( AB) 1 P( A) 3
定义1 设A, B是两个事件，且P(A) 0，称
P(ABC) 1 P(A B C)
= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC) = 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12
二、条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中 可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如：
(1)已知某人艾兹检查为阳性，求他患艾兹的概率；
(2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求 第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了x岁， 求他能再活y岁的概率。
例6：E：将一枚硬币抛二次，观察正反面出现的情况。
Ω={HH，HT，TH，TT} A=“至少有一次为H”={HH，HT TH}
B=“两次为同一面”={HH，TT}
解 P("无红或无黄") P("无红""无黄") P("无红") P("无黄") P("无红"且"无黄") 8 8 1 5 27 27 27 9
例4 设 A 、B 为两事件，
且设 P(B) 0.3，P(A B) 0.6求 P) P(A) P(AB)
例1 设有一批产品共100件，其中5件是次品，任 取3件，求：至少有一件是次品的概率。
解 法一.
设A为“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取
三件恰好有i件次品”，则 A B1 B2 B3,且B1, B2,
B3两两互不相容。于是
P(A) = P(B1 热B2 B3) = P(B1) + P(B2) + P(B3)