第五章 常见概率分布(Npoisson分布)

流 统 志 胡
Poisson分布的特点
• Poisson分布的均数和方差相等。 λ＝σ2 • Poisson分布的可加性
流 统 志 胡
坚
流 统 志 胡 坚
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的可加性
• 观察某一现象的发生数时，如果它呈Poisson分布，那么 把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈 Poisson分布。 • 如果X1∼P（λ1）, X2∼P（λ2）,… XK∼P（λK），那么
流 统
胡志坚
统 志 胡 坚
第五章
流
常见概率分布
志 胡
坚
流
统
志 胡
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的意义
• 盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子，在 一次抽样中，抽中白棋子的概率1/1000 • 在100次抽样中，抽中1，2，…10个白棋子 的概率分别是……
流
统
坚
志 胡
流
统 志 胡 坚
坚
流 统 志 胡
流
统
坚
志 胡
流 统 志 胡 坚
坚
流 统
统
志 胡
坚
流
谢谢!
志 胡
坚
流
统
志 胡
坚
菌落数大于1个的概率：
P(X
1 )
= 1 − p ( x = 0 ) − p ( x = 1) e
(−
6
流
统
坚
志 胡
流
= 1 −
)
6
0
0!
−
e
(−
6
)
6
1
统
1!
坚
志 胡
= 0 . 983
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的应用
1.概率估计 • 例如果某地新生儿先天性心脏病的发病概 率为8‰，那么该地120名新生儿中有4人患 先天性心脏病的概率有多大？ λ=nπ=120×0.008=0.96
表5-2 某地每年出生肢短畸形儿概率分布
统
志 胡
0 1 2 3 4 P（X） 0.607 0.303 0.076 0.013 0.002
流
统
坚
志 胡
X
5 0.000
流
统 志 胡
P( X = 0 ) =
坚
λX
X!
e −λ
0 . 5 0 (− 0 . 5 ) = e 0!
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的条件
1.概率估计 例5-7 实验显示某100cm2的培养皿中平均菌 落数为6个，试估计该培养皿菌落数为3个 的概率。
流
统
坚
志 胡
流 统
P( X = 3 ) =
λ
X
X!
e
−λ
6 (− 6 ) = e 3!
3
坚
志 胡 坚
流 统 志 胡
Poisson分布的应用
2.累计概率计算 例5-9 在例5-7中，估计该培养皿菌落数小于3 个的概率？大于1个的概率？
4 4
e−0.96 0.960 e−0.96 0.961 e−0.96 0.962 e−0.96 0.963 e−0.96 0.964 = + + + + = 0.997 0! 1! 2! 3! 4!
统
坚
志 胡
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的应用
2.累计概率计算 • 例4-8 例4-7中，至多有4人患先天性心脏病的概 率有多大？至少有５人患先天性心脏病的概率有 多大？ 至少有５人患先天性心脏病的概率为
X=X1+ X2+… +XK ，
流
统
坚
志 胡
流
λ＝ λ1 ＋ λ2 ＋ … ＋ λk ,则X∼P（λ）。
• 例如某放射物质每10分钟放射脉冲数呈Poisson分布，５ 次测量结果分别为35,34,36,38,34次,那么50分钟脉冲数为 177,也呈Poisson分布
统
坚
志 胡
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的应用
常见Poisson分布实例
• 单位体积内粉尘的计数
• 放射性物质单位时间内的放射次数
• 血细胞或微生物在显微镜下的计数 • 单位面积内细菌计数 数
流
统
坚
志 胡
流
• 人群中患病率很低的非传染性疾病的患病
统
坚
志 胡
特点：罕见事件发生数的分布规律
坚
流
主要内容
• • • • Poisson的概念 Poisson分布的条件 Poisson分布的特点 Poisson分布的应用
• 由于Poisson分布是二项分布的特例，所以，二
项分布的三个条件也就是Poisson分布的适用条 件。(独立、两个结果、率稳定） • Poisson分布还要求π或（1- π）接近于0或1
流
统
坚
志 胡
流
• 另外，单位时间、面积或容积、人群中观察事件 的分布应该均匀，才符合Poisson分布。
统
坚
志 胡 坚
统
志 胡
流
统
坚
=
( )0.00008 (1 − 0.00008)
500 6 6
()
k
志 胡
流 统 志 胡
( X =6 )
500−6
Poisson分布的计算方法： 6 ( λ6 −λ 500 × 0 . 00008 ) = = P e
6! 6!
坚
e ( − 500
× 0 . 00008
)
坚
流
例题
• 某地20年间共出生肢短畸形儿10名，则平均 每年出生肢短畸形儿0.5名。
坚
志 胡
流
统
X ! λ 是 总体均数 e = 2.71828
坚
志 胡 坚
流
例题：
• 一般人群食管癌的发生率为8/10000。在该 人群中随机抽取500人，结果6人患食管癌的 概率为多少？ • 分析题意，选择合适的统计量计算方法。 n k n−k 二项分布计算方法： P ( X = 6 ) = π (1 − π )
菌落数小于3个的概率：
P(X =
≺ 3 )
=
6
∑
6
0
2
流
P (x) = + e
(−
6
统
坚
志 胡
∑
2
e e
− 6
x = 0
x = 0
6 X X !
6
流
统
坚
e
(−
)
)
6
1
0! = 0 . 062
1!
+
(−
)
6
2
志 胡
2!
坚
流 统 志 胡
Poisson分布的应用
2.累计概率计算 例5-9 在例5-7中，估计该培养皿菌落数小于3 个的概率？大于1个的概率？
统 志 胡
流
统
坚
志 胡
流
统 志 胡 坚
坚
流 统 志 胡
Poisson的概念
• 常用于描述单位时间、单位平面或单位空 间中罕见“质点”总数的随机分布规律。 • 罕见事件的发生数为X，则X服从Poisson 分布。 记为：X∼P（λ）。 λ X e −λ X的发生概率P(X)： P ( x ) =
流
统
流
统
坚
志 胡
流
统 志 胡 坚
坚
流 统 志 胡Pois来自on分布的应用2.累计概率计算 • 例4-8 例4-7中，至多有4人患先天性心脏病的概 率有多大？至少有５人患先天性心脏病的概率有 多大？ 至多有4人患先天性心脏病的概率
流
统
坚
志 胡
流
e−0.96 0.96 X P( X ≤ 4) = ∑ P( X ) = ∑ X! X =0 X =0