2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

（6月14日上午8:3011:30--）

一、 填空题

1

、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字

和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．

答案：13个． 解

：可顺次列举出：

100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961

．

2

、函数

2281448

y x x x x =---的最大值

是 ．

答案：3 解：(8)(6)(8)86y x x x x x

x x =

---=--686

x

x x -=

+-

其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为3

3

、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360

x y ++=所截得的线段长为

2

，则直线l 的方程

为 ．

答案：715x y +=或者75x y -=．

3

解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与

4310

x y ++=及4360x y ++=联立，解得交点坐标3758,3434

k k A k k --+⎛⎫

⎪++⎝

⎭

与312108,3434

k k B k k --+⎛⎫

⎪++⎝

⎭

，据2AB = 得

22

5523434k k k ⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

()

22

25(1)

2

34k k +=+，所以17

k

=，2

17

k

=-

，

分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=．

4

、0

13

sin10

-

= ．

答案：4． 解

：00

000000000

13cos1013sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=⋅=

sin 2044sin 20

=⋅=．

5

、满足21x x

-≥的实数

x

的取值范围

是 ．

答案：

21,⎡-⎢⎣⎦

．

解：用图像法：令2

1y x =

-圆，它与直线y x =交点22，半圆位于交点左侧的

4

5

被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 ．

答案：95个．

解：对于每个满足条件的数n ，数2n 应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n -应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n -是105的奇倍数，而当{}

1,2,

,10000n ∈时，

{}

211,2,

,19999n -∈，由于在{}

1,2,

,19999中，共有190个数是105

的倍数，其中的奇倍数恰有95个．

8

、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，1

1

1

,,A B C

分别是棱,,DA DB DC 的中点，

以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧

1111

,A B B C ，并将两弧各分成五等分，

分点顺次为

112341

,,,,,A P P P P B 以及

112341

,,,,,B Q Q Q Q C ，

一只甲虫欲从点1

P 出发，沿四面体表面爬行至点4

Q ，则其

爬行的最短距离为 ．

答案：0

2sin 42．

6

解：作两种展开，然后比较；

由于11

A B 被1

1

2

3

4

1

,,,,,A P P P P B 分成五段等弧，每段弧对

应的中心角各为0

12，11B C 被112341

,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等

弧，每段弧对应的中心角也各为0

12，

若将DBC ∆绕线段DB 旋转，使之与DAB ∆共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，半径为1的圆周，1

4

PQ 对应

的圆心角为0

812

96⨯=，此时，点1

4

,P Q 之间直线距离为

2sin 48，

若将DAB ∆绕线段DA 旋转，DBC ∆绕线段DC 旋转，

使之皆与DAC ∆共面，在所得图形中，1

4

PQ 对应的圆心

角为0

712

84⨯=，此时，点1

4

,P Q 之间直线距离为0

2sin 42，

所以最短距离是0

2sin 42．

二、解答题

9

、正整数数列{}n

a 满足：2

1

12,1

n n n a

a a a +==-+；证明：

数列的任何两项皆互质．

证：改写条件为 11(1)

n n n a a a +-=-，从而111(1)

n

n n a

a a ---=-，

等等，据此迭代得

1111221

111

1

1(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-=

=-=，