函数及其表示方法第一课时的教学设计

函数及其表示方法的教学设计

一、教学内容分析

《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第24页——《习题1.2》。本节课程体现函数及其表示的基本方法知识和方法，学生通过掌握的函数的概念及其表示方法，和老师共同完成例题。学生在自己动脑处理例题的过程中，对函数的概念及其表示方法有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。

二、学生学习情况分析

该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第24页。学生通过例题的方法对习题处理顺理成章，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学知识在应用中的乐趣。

三、设计思想

《标准》强调数学基础知识的重要作用，体现数学基本知识的应用的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精

神，以及数学文明的深刻内涵。

四、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域。

(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:

函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

难点:

对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

五、教学过程

一，复习知识

知识点一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x)，x A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]；

；；

.

知识点二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.

2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点三、映射与函数

1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).

2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).

注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.

二、讲解例题

经典例题透析

类型一、函数概念

1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)

(2)

(3)

(4)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立

总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心

是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则

都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.

(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.

类型2函数定义域

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；(2)；(3).

思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. 总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.

总结升华：小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

类型3函数解析式

3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).

思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.

总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函

数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))

为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求

出倒数第二层，直到最后求出最终结果.

类型4函数值域

4. 求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4；.

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化

类型5分段函数图像求值.

5.作出下列函数的图象.

(1)；(2)；

思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段