用向量讨论垂直与平行

高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
板块一 知识梳理·自主学习
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[必备知识] 考点 1 直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量 直线 l 上的向量 e 或与 e 共线 的向量叫做直线 l 的方 向向量，显然一条直线的方向向量有 无数 个．
所以平面 MBC1⊥平面 BB1C1C.
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触类旁通 证明平行，垂直问题的思路
(1)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与 平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内 的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这 样就把几何的证明问题转化为向量运算．
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第7章 立体几何
第7讲 立体几何中的向量方法
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2018年全国1卷：（1）面面垂直，（2）线面所成的角 全国2卷：（1）线面垂直，（2）已知二面角30度，求 线面所成的角
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所以n1·M→B＝0， n1·M→C1＝0
⇒－x1＋x1＋2z12＝y10＝，0，
令 x1＝2，则平面 MBC1 的一个法向量为 n1＝(2,1，－
1)．同理可得平面 BB1C1C 的一个法向量为 n2＝(0,1,1)． 因为 n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以 n1⊥n2，
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板块二 典例探究·考向突破
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考向 利用空间向量证明平行、垂直 例 1 [2018·深圳模拟]如图所示，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 和侧面 AA1B1B 都是正方形且互相 垂直，M 为 AA1 的中点，N 为 BC1 的中点．求证：
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向 向量垂直，而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直 线与直线垂直证明．
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2．平面的法向量
如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则
称这个向量垂直于平面 α，记作 n⊥α，此时向量 n 叫做平面
α 的法向量． 显然一个平面的法向量也有 无数
共线 向量．
个，且它们是
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3．设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的 法向量分别为 u，v，则
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.
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(1)MN∥平面 A1B1C1； (2)平面 MBC1⊥平面 BB1C1C.
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证明 由题意，知 AA1，AB，AC 两两垂直，以 A 为坐 标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形 AA1C1C 的边长为 2，则 A(0,0,0)，A1(2,0,0)， B(0，2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．
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(1)由题意知 AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1， 又 A1B1∩A1C1＝A1，所以 AA1⊥平面 A1B1C1. 因为A→A1＝(2,0,0)，M→N＝(0,1,1)，所以M→N·A→A1＝0，即M→N ⊥A→A1.故 MN∥平面 A1B1C1. (2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为 n1＝ (x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． 因为M→B＝(－1,2,0)，M→C1＝(1,0,2)，