第二讲 协整理论与误差修正模型

格尔已证明，如果变量之间存在长期均衡关系，则均衡误差将显著影
响变量之间的短期动态关系。
yt 1 b0 b1 xt 1 ut 1 yt b0 b1 xt ut (b0 b1 xt 1 ut 1 )
计消费与收入之间的长期均衡关系，还可以分析它们之间的短期动态关 系。
其残差序列是平稳序列，以它为误差修正项，可建立如下误差修正模型 表7 ECM模型回归结果
中变量的符号与长期均衡关系的符号一致，误差修正系数为负，符合反
向修正机制。回归结果表明，城镇居民人均可支配收入的短期变动对人
均消费支出存在正向影响，本期可支配收入每增加1%，本期人均消费将 增加0.884%；上期可支配收入每增加1%，本期人均消费将增加0.241%；
3．协整的检验
协整的检验分为两变量检验和多变量检验。
(1)两变量的Engle-Granger检验
表2
双变量协整检验AEG临界值
例2
检验中国城镇居民人均消费性支出与人均可支配收入
（见表3.3与图3.1）时间序列的协整关系。
表3
中国城镇居民人均收入、人均消费（单位：元）
中国城镇居民人均消费性支出与人均可支配收入，其对 数形式的时间序列见图1。从图形看，lnPC 、lnPI为非平稳序 列。而从一阶差分序列看（图2所示），lnPC、lnPI为平稳序 列。
EG、AEG检验临界值。恩格尔——尤(Engle-Yoo，1987)给 出了 2 至 5 个变量，在若干个不同样本容量条件下的 EG 、
AEG检验临界值，如表3.6所示。
表6 多变量协整检验EG或AEG的临界值
麦金农(MacKinnon,1991)利用模拟方法得到临界值的响应面函数， 从而能提供更多的协整检验临界值。麦金农协整检验临界值见附表 8。 任何样本容量条件下的协整检验临界值都可以通过附表 8提供的以样本 容量为变量的响应面函数计算得到。 下面具体介绍附表8的用法。协整检验临界值可利用附表8中提供的 参数值按下面的响应面函数计算。
3
误差修正模型(ECM)
1．误差修正模型 对于非平稳时间序列，可通过差分的方法将其化为平稳时间序列， 然后才可建立经典的回归分析模型。如当我们建立人均消费水平 (y)与 人均可支配收入(x)之间的回归模型
如果使用式(10)，即使x保持不变，y也会处于长期上升或下降的过程 中，这意味着x与y间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济 理论假说不相符。 可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因 此，需要误差修正模型加以解决。 误差修正模型 (error correction model ，ECM)是一种具有特定形式 的计量经济学模型，它的主要形式是由戴维森（Davidson），亨德里（ Hendry），Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。 假设两变量x与y的长期均衡关系如式(8)所示，由于现实经济中x与y 很少处在均衡点上，因此我们实际观测到的只是x与y间的短期的或非均 衡的关系，假设具有如下(1，1)阶分布滞后形式：
如果将式(12)中的参数与式(8)中的相应参数视为相等，则式(12) 中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。式(12)称为一阶误差修正模 型(first-order error correction model)。 模型(8)可以写成：
2．误差修正模型的建立
(1)Granger表述定理 如果变量x与y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误 差修正模型表述。即
第二步，建立短期动态关系，即误差修正方程。也就是说，若协整 关系存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模
型中，并用OLS法估计相应参数。
平稳序列。其次，对短期动态关系中各变量的滞后项，进行从一般到特殊的 检验，在这个检验过程中，不显著的滞后项逐渐被剔除，直到找出了最佳形 式为止。通常滞后期在 L=0，1，2，3中进行试验。 例3 建立中国城镇居民人均消费（数据见表3）误差修正模型 例3中验证了中国城镇居民人均消费性支出与人均可支配收入对数形式的 时间序列lnPC、lnPI为1阶单整序列，且呈（1，1）阶协整关系，即两变量 间存在长期稳定的均衡关系。下面尝试建立它们的误差修正模型。 由例3可知，lnPC、lnPI的长期稳定的均衡关系为：
当N>1时，意味着有N-1个协整参数需要估计。如果某些协整参数已事先 知道，那么计算临界值时，应相应减少N的值。作为一个极端情形，当全 部协整参数都已知时，应在附表8中N=1一栏中查找参数，计算临界值。 当N=1时，所涉及的变量只有一个。所以协整检验退化成为单整检验。 这时实际是做 ADF 检验。由此可见麦金农（ Mackinnon ）协整检验临界值 表实际上是协整检验和单整检验结合在一起，即把ADF 检验和 AEG 检验结 合在一起。所以N = 1对应的是ADF检验。N 2时，对应的是AEG 检验， 即协整检验。
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因此，建立误差修正模型，需要首先对变量进行协整分析，以发现 变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正 项。然后建立短期模型，将误差修正项看做一个解释变量，连同其他 反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。
Granger表述定理可类似地推广到多个变量的情形中去。
图1 中国1978-2003年城镇居民人均收入、人均消费及其对数序列
图2 中国1978-2003年城镇居民人均收入、人均消费一阶差分序列
表4 回归结果
的ADF检验结果
平下拒绝存在单位根的假设，表明残差项是平稳的。因此，中国城镇居 民人均消费性支出与人均可支配收入是（1，1）阶协整关系。说明了两 变量间存在长期稳定的均衡关系。
平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在协整关系。
同样地，检验残差项是否平稳的 DF与 ADF 检验临界值要
比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所 检 验 的 变 量 个 数 的 影 响 。 恩 格 尔 —— 格 兰 杰 (Engle-
Granger ，1987) 给出了二变量，样本容量 T=100 条件下的
(2)Engle—Granger两步法
建立误差修正模型一般采用 E-G两步法，分别建立区分数据长期特 征和短期特征的计量经济模型。 第一步，建立长期关系模型。即通过水平变量和OLS法估计出时间 序列变量间的关系（估计协整向量长期均衡关系参数）。若估计结果形
成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存在相互协整的关系。
协整理论与误差修正模型
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协整
经典回归模型是建立在平稳数据变量基础上的。对于非 平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归 等诸多问题。 1．协整(cointegration)的概念
2．协整理论的重要意义
(1)避免伪回归。 (2) 估计量的“超一致性”。如果一组非平稳时间序列之间存在 协整关系，可以直接建立回归模型，而且，其参数的最小二乘估计量 具有超一致性，即以更快的速度收敛于参数的真实值。 (3) 区分变量之间的长期均衡关系和短期动态关系。 格兰杰和恩
图3 误差修正模型的拟合效果
(2)多变量协整关系的检验
对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变 量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。后者需通过设 置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验 残差序列是否平稳。
如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS 估计及相应的
残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到
上一期消费支出的短期变动对本期消费支出存在负向影响，上一期消费
支出每增加1%，本期人均消费将减少0.166%；此外，由于短期调整系数 是显著的，因而它表明每年实际发生的消费支出与长期均衡值的偏差中
的66.1%(0.661)被修正。上述模型反映了PC受PI影响的短期波动规律。
误差修正模型的拟合效果见图3 。