数学元素的“三性”及其应用

集合解题八项注意

解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，对集合解题时提出“八项”注意，希望引起同学们的重视。

1. 注意集合中元素的互异性

集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解。

例1.已知{}1,2,3,A a ={}

23,B a =,A B A = ，求实数a 的值。 错解：由题意知：

即

错因：，这与集合元素的互异性相矛盾，应舍去。

2. 注意集合元素的含义

集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误。

例 2. 设，，则A B = ___________。 错解：由方程组解得：

故{}1,2A B = 错因：没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}(1,2)A B =

3. 注意∅的特殊性

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，与任何集合的交集等于∅，忽视它的特殊性，会造成解题错误。

例3. 已知集合，若，求实数a 的集合C 。 错解：因为 所以即所以

分析：导致错误的原因是漏掉A =∅的情形，当

时，A =∅亦满足条件，可得：

4. 注意“求字母的取值范围”的问题中分类讨论思想的应用

含字母参数往往引起问题结论的不确定性，分类讨论思想应植根于大脑，避免错解。

例4. 已知集合

，且A B = {}3-，求实

数a 的值。

错解：由A B = {}3-，知

分析：当时，

此时A B = {}1,3-与A B = {}3-矛盾，应舍去。

例5. 已知集合

，若A B A = ，求实数a 和b 的值。 分析：因为A B A = ，故，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：

5. 注意取等的可能性

例 6. 已知，，且C C B = ，求实数a 的取值范围。

分析：由已知得：{}21|+<<-=a y a y B ,{}40|<≤=z z C

由C C B = 知C B ⊆

又由21+<-a a 知≠B ∅

故⎩

⎨⎧≤+≥-4201a a 解得41≤≤a 注：不要忽略的情况。

6. 注意隐含条件

例7. 全集

，求实数a 的值。 错解：因为所以 从而解得：

分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以

。 当，符合题意；

当时，，不符合题意，故。

注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）。

7.注意数形结合在解题中的应用

集合的一种直观表示法——venn 图，具有形象直观的特点，将集合问题图形化，有助于准确地显示出各集合间的关系，捕捉有用的解题信息，启发解题思路。

解数学中两个重要的集合“数集”和“点集”是我们研究的主体。在解题时若借助数轴、平面直角坐标系等，注意数形结合在解题中的应用，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

例8．若I 为全集，I N M ⊆,，且M ∩N =N ，则（ ）。

A.N C M C I I ⊇

B.N C M I ⊆

C. N C M C I I ⊆

D. N C M I ⊇

提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C 。

例9．设全集},|),{(R y x y x I ∈=，集合

}123|),{(=--=x y y x M ，}1|),{(+≠=x y y x N ,那

么)(N M C I ⋂等于（ ） .A Φ )3,2.(B )}3,2.{(C D }1|),.{(+=x y y x

分析:该题各集合中的元素显然都是“点”，我们有理由用“数形结合”的思想解之。

解：易知集合M 是直线1+=x y 上除去)3,2(点构成的集合，集合N 是直线1+=x y 外的一切点构成的集合, 所以集合N M ⋂是整个平面除去点)3,2(构成的.从而)(N M C I ⋂=)}3,2{(故选C .

评注：本题首先要清楚各集合中的元素是什么？是函数的自变量，还是因变量，还是曲线上的点。值得一提的是这里)3,2(是元素，不是集合,容易误选B .集合运算的结果是集合，而不是元素。

8．补集思想的恰当应用

补集思想是一种间接思考问题的方法。即：已知全集为I ，若直接求其子集A 困难，可先求出A C I ，再利用I C （A C I ）A =从而间接求出集合A 。这种正向思维受阻后而改用逆向思维的思想，就是补集思想。它是通过两次否定实现一次肯定的方法。

例10．已知抛物线a ax x y 222-+=，a a x y -+=2，a ax x y 442--=中至少有一条与x 轴相交,求实数a 取值的集合M .

分析：首先应抓住两点:①“相交”即”两个公共点”. ②“至少有一条与x 轴相交”是指与

x轴只有一条相交；只有两条相交；三条都相交。共三大类7种情形。显然正面解决是十分复杂和困难的，而其反面（补集）只有一种:三条都不与x轴相交.因此有下列解法。

解：设R是全集，若三条抛物线与x轴均不相交，则有⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

-

-

-

=

∆

<

-

-

=

∆

<

-

-

=

∆

)

4

(4

)

4

(

)

(4

)

2

(4

)

2(

2

3

2

2

2

1

a

a

a

a

a

a

解得：

=

M C

R

}0

1

|

{<

<

-a

a，故=

M}0

1

|

{≥

-

≤a

a

a或即为所求。

评注：正面进攻很难取胜，应该攻其反面。这种“正难则反”的思想，体现了灵活机智的解题策略。