4.2 函数的凸性与拐点

( s s ) ( s )
定理 (一阶充分条件)
若 f (x)在 [a, b] 上连续, (a , b)内可导, 且 f (x)在
(a , b)内单调增加(或减少), 则 f (x) 在[a , b]是凸函数
(凹函数 ).
证明
仅对凸函数证明
任取 x1 , x2 [a , b] , x1< x2 , 记 x0 x1 x 2 2 利用拉格朗日中值定理有
(2) 拐点也可能在二阶导数不存在的点处出现 如 f ( x ) x , 当 x <0 时, 凸 ; 当 x > 0 时, 凹 定理 (拐点的必要条件) 拐点只可能是使二阶导数为零的点或者二阶 导数不存在的点.
1 3
定理 (拐点的充分条件) 设函数 f (x)在 x0 的某个邻域 N(x0) 内有二阶
2 故在( ,0), (1, )上f ( x )是凸的，
y y

凸
/

凹
0

凸
1
在 (0, 1) 上f ( x )是凹的. 拐点 (0,1), (1,2).
π 2 例 证明: 当 0 x 时, 有 sin x x 2 π 2 π 证 令F ( x ) sin x x , 则 F (0) 0, F ( ) 0 π 2 2 y cos x F ( x ) F ( x) π F ( x ) sin x 0
F ( x ) 是凹函数
π F ( x ) min F (0), F ( ) 0 2 2 即 sin x x π
O

2
x
§4.3 平面曲线的曲率 问题 如何定量化的刻画曲线的弯曲程度
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N

弧段弯曲程度
转角相同弧段越
f '' ( x ) 0
( 或0 )
证明 任取 x(a , b) ，取 h > 0 , 使 [ x h , x h] ( a ,b) 由 f (x) 在 [ a , b] 上是凸函数 , 可知
xh xh 1 f ( x) f ( ) [ f ( x h) f ( x h)] 2 2 2
导数 (x0 处可以二阶不可导但 f (x)在 x0 处连续)，
如果在 x0 的两侧 f (x)变号, 则点 ( x0 , f(x0) )是
y =f (x)的拐点.
求拐点的步骤
(1) 求 f ( x )；
(2) 求 f ( x ) 0，f ( x ) 不存在的点；
(3) 判定左、右两侧附近的符号.
x y x y x ln x y ln y 则 ln 2 2 2 x y x ln x y ln y 即 ( x y ) ln 2
拐点 若连续曲线 y =f (x)在 x0 的近旁发生凹凸性
的改变，则称点 (x0, f (x0)) 为曲线的拐点 (也称为函数 y=f (x)的拐点)
(2 3 , )
0
11 27

凸
1
凹
故在( ,0)， (2 3 , )上f ( x ) 是凸的， 在 (0, 2 3 ) 上f ( x ) 是凹的.
4.2.3 凸函数的性质及其几何意义
性质1 f ( x )是[a , b]上二阶可导的凸函数, x与x0是[a , b]上的任意两点, 则 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 );
f '' ( x )
即有
f '' ( x ) 0
例
讨论
3 2 y 12 x 12 x ,
的凹凸区间.
解 D ( , )
36 x ( x 2 3)
时， y 0
2 (0, 0 3) 0 2 3
当 x1 0 , x2 列表
2 3
x ( ,0) y y 凸
1 f ( x1 ) 2 f ( x2 ) f ( x0 ) 1 f '( x0 )( x1 x0 )
2 f '( x0 )( x2 x0 ) f ( x0 ) f '( x0 )( 1 x1 2 x2 x0 ) f ( x0 )
即
f (1 x1 2 x2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
x1 x 2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x 2 )] 2 2
定理 (二阶充分条件)
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 则
(1) 如果在 (a , b) 内 f (x) > 0 , 则 f (x)是 [a , b] 上的 凸函数 (2) 如果在 (a , b) 内 f (x) < 0 , 则 f (x) 是 [a, b]上的
即
f ( x h) f ( x h) 2 f ( x ) 0
f ( x h) f ( x h) 2 f ( x ) 0 lim h 0 h2
洛
f '(x h) f '(x h) lim h 0 2h
定义 1 f '( x h) f '( x ) f '( x h) f '( x ) lim h 0 2 h ( h)
短弯曲程度越大
越大转角越大
曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量．
在光滑弧上自点 A 开始取弧段, 其长为 s，对应切线 转角为 ,
弧段 s 上的平均曲率
K s
点 A 处的曲率
A
B s
K lim K ＝ lim s0 s0 s
注意 直线上任意点处的曲率为 0 !
证明 不妨设 x1 < x2 , 令 x0= 1 x1+2 x2 , 则 x0(x1 , x2) , 利用性质 1 , 有
f ( x1 ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x1 x0 )
f ( x 2 ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x 2 x0 )
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的
(1)单调增 (2)单调增
o
a
b
o a
b
(3)单调减
(4)单调减
o
a
b
o a
b
定义
设 y =f (x) 在[a, b]上有定义 , 对于[a, b]上任意
y
y f ( x)
两个不同的点 x1 , x2 ， x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) (1) 若总有 f ( 2 2 则称 f (x) 在 [a, b] 上是 凸函数;
o
y
x1
y f ( x)
x2 x
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) (2) 若总有 f ( 2 2
则称f (x)在 [ a , b] 上是 凹函数
o
x1
x2
x
y
凸函数
y
凹函数
o
a
b x
o
a
b
x

凸函数的切线斜率 f (x) 单调增加 凹函数的切线斜率 f (x) 单调减少
凹函数 说明 可放宽成 f (x) 0 及 f (x)=0 的点不形成区间 或 f (x) 0 及 f (x)=0 的点不形成区间
定理 (凸或凹函数的必要条件）
设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 且
f (x) 是 [a , b] 上的凸(或凹)函数 , 则在 (a , b) 内恒有
例
证明: 对 x > 0, y > 0 x y , 有
证
f (t) 在 t >0 上是凸函数, 据杰森不等式有 x y f ( x) f ( y) f( ) 2 2
x y ( x y ) ln x ln x y ln y 2 设 f ( t ) t ln t 1 f ( t ) 0 则 f ( t ) ln t 1, t
y
y f ( x)
N
问题
如何计算拐点 ?
o a
x0 b
x
定理(二阶可微函数拐点的必要条件) 设 y = f (x)在 x0 的某邻域 N( x0 )上有二阶导数, 如果 ( x0 , f (x0) ) 是拐点 f ( x0 ) = 0
说明 (1) 满足 f ( x0 )=0 的点 ( x0 , f (x0) ) 不一定是拐点 如 f ( x ) x 4 , f ''(0) 0 (0, 0) 不是拐点
x1 x2 f ( x1 ) f ( x0 ) f ' (1 ) ( x1 x0 ) f '(1 ) , x1 1 x0 2
x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ' ( 2 ) ( x2 x0 ) f '( 2 ) , x0 2 x 2 2 相加得 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) [ f ' ( 2 ) f ' (1 )]( x 2 x1 ) 2 由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
y=f ( x)
任一子区间，x是[ x1 , x 2 ]上任一点，则
y
O
Fra Baidu bibliotek
x
性质 2 (杰森不等式) 设 f (x) 是 [ a , b]上二阶可导 的凸函数, 则对[ a , b ]内任意两点 x1 、x2 ,以及 任意两个正数 1 、2 , 1+ 2 =1 , 则有
f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 )
y
杰森不等式的几何意义
y
凸函数
y f ( x)
凹函数
y f ( x)
o
x1
x0
x2 x
o
x1
x0
x2 x
说明
(1) 对于二阶可导的凹函数, 性质1 和性质2 中
不等式反号.
(2) 若在[a , b]上 f (x) > 0, 则性质 1和性质 2 中
不等式当 x x0 和 x1 x2 时为严格不等式 .
y
y=f ( x)
O
x
性质 1 设 f (x)是 [a , b]上二阶可导的凸函数,
x, x0 是[a , b]上的任意两点 , 则
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
证明 利用泰勒公式 , 有
f ' ' ( ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! y 其中 介于 x0 与 x 之间. 凸函数
下面考虑如何计算曲率 K.
例 求半径为R 的圆的平均曲率与曲率
则 S R 解 设 AB S， 由于 = A R


B
1 K S R R
1 1 曲率 K lim K lim R S 0 S 0 R
即圆在任一点处的曲率都相等(即弯曲程度 每一点都相等)且与半径 R 呈倒数关系.
由于 f () 0 , 可知
o
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
x0
x
性质2
f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数,[ x1 , x2 ]是[a, b]的
f ( x) x x2 x x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
利用下对应关系:
y
B
B A
s
s A ( s )

s s
A
设 s 对应于点 A, s + s 对应于B , 则 AB = s
0
x
切线上沿弧 s 增加的方向叫做切线的正方向(正切向) 记切线 A与 x 轴正向的夹角为 (s), 切线 B 与 x 轴正向的夹角为 (s+ s)，
4 1 例 求 y x x 1 的凹凸区间和拐点. 5 5 3 12 52 8 5 解 D ( , ), y x + x , 25 25
24 57 x ( x 1) 125
3 5
8 5
y不存在; 当 x 1 时， y 0. 当 x 0 时， 列表 x ( ,0) 0 (0, 1) 1 (1, )