空间直角坐标系点面距离

已知四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，且AB =1，AC =2，AD =4，则点A 到平面BCD 的距离为( )

A.

法一(常规方法)：由题可知，四面体ABCD 的体积为1

416

33

BCD A BCD AB AD AC S d -== ，

又CB CD BD =

=====，由

余弦定理可得2222CBD

CBD CB BD CD C S CB BD ∠∠+-=== ，故BCD S

等于1122CBD CB BD S ∠==

4133BCD d S =÷÷=

法二(特殊解析方法)：类比平面直角坐标系中直线的方程0Ax By C ++=，猜想空间直角坐标系中的平面方程：

0Ax By Cz D +++=，

又类比在平面直角坐标系中的表示某个点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=

的距离公式

d =

，可以猜想出表示在空间直角坐标系中的某个点000(,,)P x y z 到平面

0Aa Bb Cc D +++=的距离的公式：

d =

如图，由题意建立空间直角坐标系，

由直线的截距式方程猜想平面BCD 的方程为：

1(10)142142

x y z x y z

++=++-= 将(0,0,0)A

代入公式d =

得：点A 到平面BCD 的距离为：

d ===.

参照此方法，解答下面的问题：

将一副三角板拼成直二面角A BC D --，其中90,,90,BAC AB AC BCD ∠=︒=∠=︒

30CBD ∠=︒，若2CD =，求C 到平面ABD 的距离。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

由图像易得：A ，(1,0,0)E

，(0,B

所以平面ABD

的方程为

110,11x x =⇒--=

故点C

到平面:101x ABD -=的距离为

d =

=

=

B