2019届高三数学备考冲刺140分问题15平面向量中的最值范围问题含解析20190426227
平面向量中的最值与范围问题【十大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—25年新高考数学一轮复习

平面向量中的最值与范围问题【十大题型】【题型1 定义法求最值(范围)问题】 (4)【题型2 基底法求最值(范围)问题】 (4)【题型3 坐标法求最值(范围)问题】 (5)【题型4 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题】 (6)【题型5 与数量积有关的最值(范围)问题】 (7)【题型6 与模有关的最值(范围)问题】 (8)【题型7 平面向量中参数的最值(范围)问题】 (8)【题型8 极化恒等式】 (9)【题型9 矩形大法】 (10)【题型10 等和(高)线定理】 (11)1、平面向量中的最值与范围问题平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合;其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.【知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略】1.平面向量中的最值(范围)问题的两类求解思路:(1)“形化”,即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后结合平面图形的特征直接进行判断;(2)“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.2.平面向量中的最值(范围)问题的常用解题方法:(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化,得到相应的等式关系;②运用基木不等式、二次函数求其最值(范围)问题,即可得出结论. (2)坐标法①建立适当的直角坐标系,把几何图形放在坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标;②将平面向量的运算坐标化,进行相应的代数运算和向量运算;③运用适当的数学思想方法如:二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围). (3)基底法①适当选取一组基底,利用基底转化向量;②写出向量之间的联系,根据向量运算律化简目标,构造关于设定未知量的关系式来进行求解;③运用适当的数学思想方法如:二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围),即可得出结论.【知识点2 极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+r r r r r r .证明:不妨设,AB a AD b ==uuu r r uuu r r ,则C A a b =+uuu r r r ,DB a b =-uuu r r r,()22222C 2AC A a ba ab b ==+=+×+uuu r uuu r r r r r r r ①,()222222DB DB a ba ab b ==-=-×+uuu r uuu r r r r r r r ②,①②两式相加得:()()22222222AC DB a b AB AD +=+=+uuu r uuu r r r uuu r uuu r .(2)极化恒等式:上面两式相减,得:()()2214a b a b éù+--êúëûr rr r ————极化恒等式平行四边形模式:2214a b AC DB éù×=-ëûr r .2.几何解释:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. (1)平行四边形模型:向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14,即()()2214a b a b éù+--êúëûr rr r (如图).(2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即(M 为BC 的中点)(如图).极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【知识点3 矩形大法】1.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.即:已知点O 是矩形ABCD 【知识点4 等和(高)线定理】1.等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若λ,μ∈R ),则λ+μ=1,由△OAB 与△OA'B'相似,必存在一个常数k ,k ∈R ,使得,则又x ,y ∈R ),∴x +y =kλ+kμ= k ;反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量,(λ,μ∈R ),若点P'在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,则λ+μ=k (定值);反之也成立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB 时,k =1;②当等和线在O 点和直线AB 之间时,k ∈(0,1);③当直线AB 在O 点和等和线之间时,k ∈(1,+∞);④当等和线过O 点时,k =0;⑤若两等和线关于O 点对称,则定值k 1,k 2互为相反数;⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.【题型1 定义法求最值(范围)问题】【例1】(24-25高三上·广东·开学考试)已知单位向量e 1,e 2的夹角为π3,则|e 1―t (e 1―e 2)|(t ∈R )的最小值为( )A .12B C .1D .34【变式1-1】(23-24高一下·安徽芜湖·期中)如图,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别与AB ,AC 两边交于M ,N 两点,设AM =xAB ,AN =yAC ,则x +4y 的最小值为( )A .9B .4C .3D .52【变式1-2】(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)点O 是△ABC 所在平面内一点,若OA +OB +OC =0,AM =xAB ,AN =yAC ,MO =λON ,则xy 的最小值为( )A .12B .1C .23D .49【变式1-3】(23-24高一下·上海·期末)已知向量a ,b ,c ,满足|a |=|b |=1,a ⋅b =―12,⃗c =x ⃗a +y ⃗b x 、y ∈R,y ≥0,则下列四个命题中,正确命题的个数是( ).①若x =1,则|c |②若x =1,则存在唯一的y ,使得a ⋅c =0;③若|c |=1,则x +y 的最小值为―1;④若|c |=1,则a ⋅c +c ⋅b 的最小值为―12.A .1B .2C .3D .4【题型2 基底法求最值(范围)问题】【例2】(23-24高一下·重庆巴南·阶段练习)在矩形ABCD 中,已知E,F 分别是BC,CD 上的点,且满足BE =EC ,CF =2FD .若点P 在线段BD 上运动,且⃗AP =λ⃗AE +μ⃗AF (λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为( )A .―15BCD .―15【变式2-1】(23-24高一下·浙江·期中)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD ,AB =2CD ,P 为线段CD 上一个动点(含端点),AC =mDB +nAP ,则m +n 的取值范围是( )A .(0,1]B .[2,3]C .[1,2]D .[2,4)【变式2-2】(23-24高一下·河南·阶段练习)已知□ABCD 中,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),点Q 在对角线BD 上(不包括端点B ,D ),若AP =λ1AB +μ1BC ,AQ =λ2AB +μ2BC ,记2λ21―μ1的最小值为m ,12λ2+2μ2的最小值为n ,则( )A .m =―18,n =92B .m =―14,n =92C .m =―18,n =94D .m =―14,n =94【变式2-3】(23-24高三下·云南·阶段练习)已知O 为△ABC 的内心,角A 为锐角,sin A =,若AO =μAB +λAC ,则μ+λ的最大值为( )A .12B .34C .45D .56【题型3 坐标法求最值(范围)问题】【例3】(2024·河北沧州·一模)如图,在等腰直角△ABC 中,斜边AB =D 在以BC 为直径的圆上运动,则|AB +AD |的最大值为( )A .B .8C .D .12【变式3-1】(2024·四川成都·三模)在矩形ABCD 中,AB =5,AD =4,点E 满足2AE =3EB ,在平面ABCD 中,动点P 满足PE ⋅PB =0,则DP ⋅AC 的最大值为( )A B ―6C .D .―6【变式3-2】(2024·湖南永州·三模)在△ABC 中,∠ACB =120∘,|AC |=3,|BC |=4,DC ⋅DB =0,则|AB +AD |的最小值为( )A .2B .4C .1D 2【变式3-3】(2024·贵州贵阳·一模)如图,在边长为2的正方形ABCD 中.以C 为圆心,1为半径的圆分别交CD,BC 于点E,F .当点P 在劣弧EF 上运动时,BP ⋅DP 的取值范围为( )A .1――B .[1――1]C .[―1,1D .[1――【例4】(2024·四川遂宁·模拟预测)在△ABC 中,点F 为线段BC 上任一点(不含端点),若AF =xAB +2y AC (x >0,y >0),则1x +2y 的最小值为( )A .3B .4C .8D .9【变式4-1】(23-24高一下·广西南宁·阶段练习)在△ABC 中,点O 满足BO =2OC ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N .设AM =1m AB ,AN =1n AC ,则m 2+n 的最小值是( )A .3B .1C .316D .2316【变式4-2】(23-24高一下·安徽六安·期末)在△ABC 中,已知AB ⋅AC =9, sin B =cos A sin C, S △ABC =6, P 为线段AB 上的一点,且CP =x ⋅CA|CA |+y CB|CB |,则1x +2y 的最小值为( )A .712+B C .512D【变式4-3】(2024·全国·模拟预测)如图所示,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,AG=2GM,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点.设AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),则4 x+2+1y+1的最小值为()A.34B.32C.3D.6【题型5 与数量积有关的最值(范围)问题】【例5】(2024·陕西渭南·二模)已知菱形ABCD的边长为1,cos∠BAD=13,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则DE⋅DO的最小值为()A.13B.23C.12D.16【变式5-1】(2024·重庆·模拟预测)如图,圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点,则AP⋅AB的取值范围是()A.B.1,C.1,D,1【变式5-2】(2024·陕西安康·模拟预测)如图,在平面四边形ABCD中,△ABD为等边三角形,CB=CD=2BD=2,当点E在对角线AC上运动时,EC⋅EB的最小值为()A.32B.12C.―34D.―1516【变式5-3】(2024·全国·模拟预测)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为2,对称中心为O,以O为圆心作半径为1的圆,点M为圆O上任意一点,则AD⋅CM的取值范围为()A.[―6,4]B.[0,8]C.[―8,0]D.[―【题型6 与模有关的最值(范围)问题】【例6】(2024·安徽六安·模拟预测)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a⋅b=―32,⟨a―c,b―c⟩=30°,则|c|的最大值等于()A.B C.D.【变式6-1】(2024·湖南长沙·三模)在平行四边形ABCD中,AC=2BD=4,点P为该平行四边形所在平面内的任意一点,则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最小值为()A.6B.8C.10D.12【变式6-2】(23-24高一下·天津·△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=120°,E,F分别是AB,AC边上的点,且AE=xAB,AF=yAC,且2x+y=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则|MN |的最小值为()A B C D【变式6-3】(23-24高一下·广东广州·期末)已知平面向量a,b,e,且|e|=1,|a|=2.已知向量b与e所成的角为60°,且|b―te|≥|b―e|对任意实数t恒成立,则|a+e|+|12a―b|的最小值为()A B.C+D.【题型7 平面向量中参数的最值(范围)问题】【例7】(23-24高一下·甘肃陇南·期末)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=4,|c |=2,a ⋅b =―8,若c =λa +μb ,(λ∈R,μ∈R ),则2λ+μ的取值范围是( )A .B .―C .―D .[―【变式7-1】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC 中,AB =6,AC =8,∠BAC =π3,I 是∠BAC 的平分线上一点,且AI =△ABC 内(不包含边界)的一点D 满足ID =xAB +12AC ,则实数x 的取值范围是( )A .―16B .―16C .―16,D .―16【变式7-2】(23-24高一下·四川成都·期末)在直角梯形ABCD 中,AB ⊥AD,DC //AB,AD =DC =1,AB =2,E,F 分别为 AB,AC 的中点,点P 在以A 为圆心,AD 为半径的圆弧DE 上运动(如图所示).若AP =λED +μAF ,其中λ,μ∈R ,则2λ―μ的取值范围是( )A .[―2,1]B .[―1,1]C .[―1,2]D .[―2,2]【变式7-3】(23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习)如图扇形AOB 所在圆的圆心角大小为2π3,P 是扇形内部(包括边界)任意一点,若OP =xOA +yOB ,那么2(x +y )的最大值是( )A .2BC .4D .【题型8 极化恒等式】【例8】(2024·重庆·模拟预测)已知△OAB 的面积为1,AB =2,动点P,Q 在线段AB 上滑动,且|PQ |=1,则OP ⋅OQ 的最小值为.【变式8-1】(2024·山东·模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆,MN是内切圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦MN的长度最大时,PM⋅PN的取值范围是.【变式8-2】(2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6 的可移动的线段,AD=4,AB=BC=12,则BE⋅BF的取值范围为.【变式8-3】(23-24高一下·广东潮州·阶段练习)阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a⋅b+b2;②(a―b)2=a2―2a⋅b+b2.由①-②得(a+b)2―(a―b)2=4a⋅b⇔a⋅b=(a+b)2―(a―b)24,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD=8,AB⋅AD=48,E为BD中点.(1)若cos∠BAD=1213,求△ABD的面积;(2)若2AE=EC,求CB⋅CD的值;(3)若P为平面ABCD内一点,求PA⋅PB+PD的最小值.【题型9 矩形大法】【例9】(2024·浙江绍兴·一模)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=a⋅b=2,(a―c)⋅(b―2c)=0,则|b―c|的最小值为A B C D【变式9-1】(23-24高三下·四川成都·阶段练习)已知单位向量a,b满足|2a―b|=2,若存在向量c,使得c―2a⋅c―b=0,则|c|的取值范围是()A1B C―1D.―+1]【变式9-2】(23-24高三上·四川资阳·阶段练习)已知e为单位向量,向量a满足:(a―e)⋅(a―5e)=0,则|a+e|的最大值为()A.4B.5C.6D.7【变式9-3】(23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知平面向量a,b,c,满足|a|=|b|=a⋅b=2,且(a―2c)⋅―=0,则|a―c|的最小值为()A B C D【题型10 等和(高)线定理】【例10】(23-24高一下·重庆·阶段练习)在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,BF=13BC,AF与BE交于点G,过点G的直线分别与射线BA交于点M,N,BM=λBA,BN=μBC,则λ+2μ的最小值为()A.1B.87C.97D.95【变式10-1】(23-24高三上·河南·阶段练习)对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆,P是这四个半圆弧上的一动点,若DP=λDA+μDC,则λ+μ的最大值为( )A.5B.3C.32D.52【变式10-2】(23-24高一下·四川绵阳·期中)在扇形OAB中,∠AOB=60∘,C为弧AB上的一动点,若OC=x OA+yOB,则3x+y的取值范围是.【变式10-3】(23-24高二上·上海浦东新·阶段练习)正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设AP=mAB+nAF,(m,n∈R),则m+n的取值范围是.一、单选题1.(2024·江苏泰州·模拟预测)在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=,若AP=AB+xAD(x∈R),则|AP|的最小值为()B C.1DA.122.(2024·宁夏银川·模拟预测)在△ABC中,BD=2DC,过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F,且AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,则m+2n的最小值为()A.2B C.3D.83 3.(2024·广东东莞·模拟预测)已知在同一平面内的三个点A,B,C满足|AB|=2,|CA|CA|CB|CB||≥1,则|AC+BC|的取值范围是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.4.(2024·天津河北·二模)△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,∣AB∣=1,P是△ABC所在平面内的一点,若CP=λCA+μCB(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是()A.B,1C.D.5.(2024·安徽芜湖·三模)已知⊙C:x2+y2―10x+9=0与直线l交于A,B两点,且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1:3,若D为⊙C上一点,则DA⋅DB的最大值为()A.+12B.C.D.+246.(2024·河北沧州·三模)对称美是数学美的重要组成部分,他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边△ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若BM=λAB+μAC,则λ+μ的最大值为()A .12B C .1D .327.(2024·湖北·模拟预测)向量a ,b 满足〈a ,b〉=π6,|b |=∀t ∈R ,不等式|b +ta |≥|b ―a |恒成立.函数f(x)=|xb ―a |+|xb ―12a |(x ∈R)的最小值为( )A .12B .1CD 8.(2024·四川成都·三模)已知正方形 ABCD 的边长为 1,M ,N 分别是边 AB ,AD 上的点 (均不与端点重合),记 △AMN ,△CMN 的面积分别为 S 1,S 2 . 若 S 1=|CM ⋅AB |⋅|CN ⋅AD | ,则 S 2 的取值范围是( )A B ―1C D 1二、多选题9.(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=1,|c |=3且a ⋅c =b ⋅c ,则( )A .|a +b +c |的最小值为2B .|a +b +c |的最大值为5C .|a ―b +c |的最小值为2D .|a ―b +c |10.(2024·山西晋中·模拟预测)在△ABC 中,D 为边AC 上一点且满足AD =12DC ,若P 为边BD 上一点,且满足AP =λAB +μAC ,λ,μ )A .λμ的最小值为1B .λμ的最大值为112C .1λ+13μ的最大值为12D .1λ+13μ的最小值为411.(2024·山东潍坊·二模)已知向量a ,b ,c 为平面向量,|a |=1,|b |=2,a ⋅b =0,|c ―a |=12,则( )A .1≤|c |≤32B .c ―a ⋅c ―bC .―1≤b ⋅c ≤1D .若c =λa +μb ,则λ+μ的最小值为1三、填空题12.(2024·四川宜宾·模拟预测)已知点O,A,B 在同一平面内且A 为定点,OA ⋅AB =―2,OB ⋅AB =2,C,D 分别是点B 轨迹上的点且BC =2,则BD ⋅CD 的最大值与最小值之和是.13.(2024·安徽马鞍山·模拟预测)已知△ABC 中,角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c ,∠BAC =π6,b =1,c =,若AD =m2(m+n)AB +2nm+n AC ,则|AD |的最小值为.14.(2024·天津滨海新·三模)在平行四边形ABCD 中,∠A =60°,AD =23AB ,点E 在边DC 上,满足DE =13DC ,则向量AE 在向量AD 上的投影向量为(请用AD 表示);若AB =3,点M ,N 分别为线段AB ,BC上的动点,满足BM +BN =1,则EM ⋅EN 的最小值为 .四、解答题15.(23-24高一下·江苏南京·阶段练习)如图,在△ABC 中,点P 满足BP =2PC ,过点P 的直线与AB,AC 所在的直线分别交于点M,N ,若AM =λAB ,AN =μAC,(λ>0,μ>0).(1)λ与μ的关系;(2)求λ+μ的最小值16.(23-24高一·浙江·期中)在△ABC 中,已知AB =3,AC =1,AB ⋅AC =―1,设点P 为边BC 上一点,点Q 为线段CA 延长线上的一点,且AQ =tAC(t <0).(1)当t =―1且P 是边BC 上的中点时,设PQ 与AB 交于点M ,求线段CM 的长;(2)若PA ⋅PQ +3=AP ⋅AB ,求|BQ |的最小值.17.(23-24高一下·湖南长沙·期末)如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标,记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中,若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),E,F分别是OB,BP的中点,AE,AF分别与OP交于R,T两点.(1)求:|OP|;(2)求OR,OT的坐标;(3)若点M在线段AF上运动,设OM=(x,y),求xy的最大值.18.(23-24高二上·上海虹口·期中)在ΔABC中,满足:AB⊥AC,M是BC的中点.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=,求OA⋅OB+OC⋅OA的最小值:(3)若点P是∠BAC内一点,且|AP|=2,AP⋅AC=2,AP⋅AB=1,求|AB+AC+AP|的最小值.19.(23-24高一下·江苏苏州·期中)在锐角△ABC中,cos B=O为△ABC的外心.(1)若BO=xBA+yBC,求x+y的最大值;(2)若b=(i)求证:OB+sin2A⋅OA―cos2A⋅OC=0;(ii)求|3OB+2OA+OC|的取值范围.。
2019年高考数学微专题11 与平面向量相关的最值问题【精品】

cosθ=m,sinθ=n⇒m+n=cosθ+sinθ= 2
5π 2,当且仅当 θ= 4 时取等号.
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π 解法 2 如图,因为∠ABC=4, π 所以∠AOC=2,不妨设 A(1,0),C(0,1),
则直线 l:n=2 3m-t 过弧 AB 上的点,当点 l 过点 B(1,0)时 t 取得最 大值 tmax=2 3,当 l 过点
1 A , 2
3 3 , 时,t 取得最小值 tmin= 2 2
2 3 所以 x+4y= 3 t∈[1,4].
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解法 3 取 OB 的四等分点(靠近点 O)D,连接 AD 交 OC 于点 E,设此扇 → |=1,由于OC → =xOA → +yOB → ,则OC → =xOA →+ 形的半径为 1,则|OC 1→ → +4yOD → ,因为 A,E,D 共线,设OE → =λOA → +μOD →, 4y× OB = xOA 4 则 λ+μ=1,
π 0 , θ∈ 时是单调递减的,所以当 3
θ=0
2 3 π 1 2 3 3 时,tmax=4× 1- 3 × 0=4,当 θ=3时,tmin=4× 2- 3 × 2 =1,综上 所述,x+4y 的取值范围解法 1 中的直角坐标系 xOy,设此扇形的半径为 1,由于 ∠AOB=60° ,则
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→ =λOA → +μOC → ,则 λ + μ = 1 , 设OD → =kOD → (k<0),则OB → =kOD → =kλOA →+ 又因为 O,D,B 共线,设OB → |OB| 1 → → → kμOC=mOA+nOC,所以 m+n=k(λ+μ)=k=- =- , → → |OD| |OD| → |取得最小值,m+n 取得最小值- 2, 当 D 位于 AC 中点时,|OD 2 此时 x=y=- 2 . (用等和线的知识三言两语就能得出结果,用平面向量基本定理转 化需要大量篇幅)
2019届高三数学备考冲刺140分问题15平面向量中的最值范围问题含解析

问题15 平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3.坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果.上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1..2.四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2;(3)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算. 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =(02x ≤≤),将⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题.c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离;∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+,故选:D .【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键.【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】已知向量,满足,,则的取值范围是 A . B .C .[D .[【答案】D【解析】设点M 为平面中任意一点,点是关于原点对称的两个点,设,根据题意,根据椭圆的定义得到点M 的轨迹是以为焦点的椭圆,方程为. ,即.故答案为D.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则.【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为( ) A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解.【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为( ) A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.3.【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】中,,点是内(包括边界)的一动点,且,则的最大值是()A. B. C. D.【答案】C4.【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】B则(当且仅当即时取“=”).故的最小值为.5.【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形中,已知是边上的点,且, ,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C6.【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m , n 是两个非零向量,且1m =, 23m n +=,则m n n ++的最大值为C. 4D. 5 【答案】B 【解析】,,25n =-,,令,则,令()'0f x =,得x =∴当时, ()'0f x >,当时, ()'0f x <, ∴当x =时, ()f x 取得最大值,故选B.7.【2018届安徽省淮南市高三第一次(2月)模拟】已知G 是ABC 的重心,过点G 作直线MN 与AB , AC 交于点,M N ,且AM xAB =, AN y AC =, (),0x y >,则3x y +的最小值是( )A.83 B. 72 C. 52 D. 43【答案】D【解析】令故故当且仅当等号成立,故选D8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点,且满足0AB AC ⋅=,,,用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积,则123S S S ++的最大值是( ) A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B9.【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==, 2a b ⋅=-,,则c 的最大值等于( )D. 1 【答案】A【解析】由2a b ==,2a b ⋅=-, ,可得,如图所示,设则,A,O,B,C 四点共圆,23AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径,当OC 为直径时,它的模c 最大,最大为4,故选A.12.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有,则的最小值是__________.【答案】2【解析】,表示(),0P t 与的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有,故答13.【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动(包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________.【答案】[1,9]14.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上(与点,C D 不重合),若,则x 的取值范围是__________.【答案】()2,0-【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.15.【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M ,N 分别是边BC ,CD 上的两个动点,且BM +DN =MN ,则的最小值是_______.【答案】又由,设,整理得,解得,所以,所以的最小值为.11。
平面向量中的最值(范围)问题-高考数学一轮复习测试

平面向量中的最值(范围)问题【专题解读】平面向量中的最值(范围)问题的类型(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围);(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).微点1利用函数型【例1】(1)设θ为两个非零向量a,b的夹角,对任意实数t,|b-t a|的最小值为1,那么()A.假设θ确定,那么|a|唯一确定B.假设θ确定,那么|b|唯一确定C.假设|a|确定,那么θ唯一确定D.假设|b|确定,那么θ唯一确定(2)m,n是两个非零向量,且|m|=1,|m+2n|=3,那么|m+n|+|n|的最大值为()A. 5B.10C.4D.5解析(1)由|b-t a|的最小值为1知(b-t a)2的最小值为1,令f(t)=(b -t a)2,即f(t)=b2-2t a·b+t2a2,那么对于任意实数t,f(t)的最小值为4a2·b2-〔2a·b〕24a2=4a2b2-〔2|a||b|cos θ〕24a2=1,化简得b2(1-cos2θ)=1,观察此式可知,当θ确定时,|b|唯一确定,选B.(2)因为(m+2n)2=4n2+4m·n+1=9,所以n2+m·n=2,所以(m+n)2=m2+2m·n+n2=5-n2,所以|m+n|+|n|=5-|n|2+|n|.令|n|=x(0<x≤5),f(x)=5-x2+x,那么f′(x)=-2x25-x2+1.由f′(x)=0,得x=102,所以当0<x<102时,f′(x)>0时,当102<x≤5时,f′(x)<0,所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,102上单调递增,在⎝ ⎛⎦⎥⎤102,5上单调递减,所以f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102=10,应选B. 答案 (1)B (2)B【训练1】 (1)(2021·浙江卷)向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,那么|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.(2)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 为以A 为圆心,AB 为半径的圆弧(在正方形内,包括边界点)上的任意一点,那么AP →·BP→的取值范围是________;假设向量AC →=λDE →+μAP →,那么λ+μ的最小值为________.解析 (1)由题意,不妨设b =(2,0),a =(cos θ,sin θ)(θ∈[0,2π)), 那么a +b =(2+cos θ,sin θ),a -b =(cos θ-2,sin θ).令y =|a +b |+|a -b |=〔2+cos θ〕2+sin 2θ+〔cos θ-2〕2+sin 2θ=5+4cos θ+5-4cos θ,那么y 2=10+225-16cos 2θ∈[16,20].由此可得(|a +b |+|a -b |)max =20=25,(|a +b |+|a -b |)min =16=4,即|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点,分别以AB ,AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,那么易得A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,P (cos θ,sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,那么AP →·BP →=(cos θ,sin θ)·(cos θ-1,sin θ)=cos 2θ-cos θ+sin 2θ=1-cos θ,又因为0≤θ≤π2,所以AP →·BP→=1-cos θ∈[0,1].由AC →=λDE →+μAP →得(1,1)=λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-1+μ(cos θ,sin θ)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ+μcos θ,-λ+μsin θ,所以⎩⎨⎧12λ+μcos θ=1,-λ+μsin θ=1,解得⎩⎨⎧λ=2sin θ-2cos θ2cos θ+sin θ,μ=32cos θ+sin θ,那么λ+μ=2sin θ-2cos θ2cos θ+sin θ+32cos θ+sin θ=2sin θ-2cos θ+32cos θ+sin θ,当θ=π2时,λ+μ=2sin θ-2cos θ+32cos θ+sin θ=5,当θ≠π2时,λ+μ=2sin θ-2cos θ+32cos θ+sin θ=2tan θ-2+3tan 2θ+12+tan θ,设f (x )=2x -2+3x 2+12+x(x ≥0),那么 f ′(x )=⎝⎛⎭⎪⎫2+3x x 2+1〔2+x 〕-〔2x -2+3x 2+1〕〔2+x 〕2=6x 2+1+6x -3〔2+x 〕2x 2+1>0(x ≥0),所以函数f (x )=2x -2+3x 2+12+x 在[0,+∞)上单调递增,那么当tan θ=0时,λ+μ=2tan θ-2+3tan 2θ+12+tan θ取得最小值12.综上所述,λ+μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0,1] 12微点2 利用不等式型【例2】 (1)(2021·浙江名校新高考研究联盟三联)边长为1的正方形ABCD ,E ,F 分别是边BC ,DC 上的两个动点,AE→+AF →=xAB →+yAD →,假设x +y =3,那么|EF→|的最小值为________. (2)(一题多解)(2021·七彩阳光联盟三联)平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |=1,a ·b =0,那么|2c -a |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c -b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2021·浙江卷)向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.假设对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,那么a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形,以C 为坐标原点建立平面直角坐标系,那么A (1,1),B (1,0),C (0,0).设E (a ,0),F (0,b ),那么0≤a ,b ≤1.所以AE→=(a -1,-1),AF →=(-1,b -1),因为AE →+AF→=xAB →+yAD →,所以有y =2-a ,x =2-b .因为x +y =3,所以a +b =1.所以|EF→|=a 2+b 2≥〔a +b 〕22=22,所以|EF →|min =22,当且仅当a =b =12时取到最小值.(2)法一 因为|a |=|b |=|c |=1,且a ⊥b .所以通过计算有|2c -a |=|c -2a |,⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c -b =⎪⎪⎪⎪⎪⎪c -12b ,所以|2c -a |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c -b =|c -2a |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪c -12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a -12b =172,应选A. 法二 因为|a |=|b |=|c |=1,且a ⊥b ,所以可设a =(1,0),b =(0,1),c =(x ,y ),那么有x 2+y 2=1,所以|2c -a |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c -b =〔2x -1〕2+4y 2+14x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12y -12=4x 2-4x +1+4y 2+14x 2+14y 2-y +1=x 2-4x +4+y 2+x 2+y 2-y +14=〔x -2〕2+y 2+x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122≥22+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=172,应选A. (3)由可得6≥|a ·e |+|b ·e |≥|a ·e +b ·e |=|(a +b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a +b |成立.∴6≥(a +b )2=a 2+b 2+2a ·b =12+22+2a ·b .即6≥5+2a ·b ,∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2】 (1)(2021·杭州四中仿真)假设非零向量a ,b 满足a 2=(5a -4b )·b ,那么cos 〈a ,b 〉的最小值为________.(2)(2021·浙江名师预测卷一)向量a ,b 满足|b |=1,|a +b |=2|a -b |,那么|a |2-|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-89,8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-19,8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-19,19 (3)(2021·温州适应性测试)平面向量a ,b ,c 满足:a ·b =0,|c |=1,|a -c |=|b -c |=5,那么|a -b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2=(5a -4b )·b 得a ·b =15(a 2+4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2=45|a |·|b |,那么cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |=45,当且仅当|a |=2|b |时等号成立,所以cos 〈a ,b 〉的最小值为45.(2)因为|b |=1,所以|(a +b )-(a -b )|=2|b |=2.两边平方得|a +b |2+|a -b |2-2(|a |2-|b |2)=4,又|a +b |=2|a -b |,所以|a |2-|b |2=5|a -b |2-42,又因为|a +b |-|a -b |≤|(a +b )-(a -b )|≤|a +b |+|a -b |,即|a -b |≤2≤3|a -b |,故23≤|a -b |≤2,所以|a |2-|b |2=5|a -b |2-42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-89,8,应选A. (3)|a -b |2=|(a -c )-(b -c )|2=(a -c )2-2(a -c )(b -c )+(b -c )2=50-2(a ·b -a ·c -b ·c +1)=48+2(a +b )·c =48+2|a +b |cos θ(其中θ为a +b 与c 的夹角),因为|a -b |=|a +b |,所以|a -b |2=48+2|a -b |cos θ,那么由cos θ∈[-1,1],得48-2|a -b |≤|a -b |2≤48+2|a -b |,解得6≤|a -b |≤8,即|a -b |的最小值为6,此时向量a -b 的方向与向量c 的方向相反,应选B.答案 (1)45 (2)A (3)B微点3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例3】 (1)如图是蜂巢结构图的一局部,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点〞.假设A ,B ,C ,D 四点均位于图中的“晶格点〞处,且A ,B 的位置如下图,那么AB →·CD→的最大值为________.(2)|a |=2,|b |=|c |=1,那么(a -b )·(c -b )的最大值为________,最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图,因为正六边形的边长均为1,所以B (0,0),A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,92,当CD →在AB →方向上的投影最大时,AB →·CD →最大,此时取C (0,5),D (-3,0),即(AB →·CD →)max =⎝⎛⎭⎪⎫-32,-92·(-3,-5)=32+452=24.(2)设M =a ·c -a ·b -b ·c ,那么(a -b )(c -b )=a ·c -a ·b -b ·c +b 2=1+a ·c -a ·b -b ·c =1+M .而(b -a -c )2=6+2M ,M =-3+12(b -a -c )2,∴当(b -a -c )2=0时,M min =-3,∴[(a -b )(c -b )]min =1-3=-2;当b ,-a ,-c 共线且同向时,M max =-3+12(1+2+1)2=5,∴[(a-b )·(c -b )]max =1+5=6.答案 (1)24 (2)6 -2【训练3】 (1)向量a ,b ,c 满足|b |=|c |=2|a |=1,那么(c -a )·(c -b )的最大值是________,最小值是________.(2)|OA →|=|OB →|=|OC →|=2,|OP →|=1,且OA →=BO →,记P A →·PB →+PB →·PC →+PC →·P A →的最大值为M ,最小值为m ,那么M +m =( )A.6B.4C.-2D.-4解析 (1)由题意得|a |=12,|b |=|c |=1,那么(c -a )·(c -b )=|c |2-c ·b -c ·a +a ·b =|c |2+12(-a -b +c )2-12(|a |2+|b |2+|c |2)=-18+12(-a -b +c )2,那么当向量-a ,-b ,c 同向共线时,(c -a )·(c -b )取得最大值-18+12⎝ ⎛⎭⎪⎫12+1+12=3,当-a -b +c =0时,(c -a )·(c -b )取得最小值-18.(2)因为P A →·PB →+PB →·PC →+PC →·P A →=(OA →-OP →)·(OB→-OP →)+(OB →-OP →)·(OC →-OP →)+(OC →-OP →)·(OA →-OP →)=3OP →2-2OP →·OC→-4,令3OP →=OQ →,2OC →=OM →,P A →·PB →+PB →·PC →+PC →·P A →=OP →·MQ→-4,如图,设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0,π]).因为MQ →=OQ →-OM →.所以MQ →·OP →|OP→|=OP →(3OP→-2OC →)=3-4cos θ,又因为cos θ∈[-1,1],所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[-1,7],即M =3,m =-5,所以M +m =-2,应选C.答案 (1)3 -18 (2)C微点4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例4】 (1)(一题多解)(2021·浙江卷)a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.假设非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b +3=0,那么|a -b |的最小值是( )A.3-1B.3+1C.2D.2- 3(2)向量|a |=3,|b |=6,a ·b =9,那么|a +t (b -a )|+|(1-t )(b -a )-13b |(其中t ∈[0,1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点,a =OA →,b =OB →=(x ,y ),e =(1,0),由b 2-4e ·b +3=0得x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3,所以不妨令点A 在射线y =3x (x >0)上,如图,数形结合可知|a -b |min =|CA→|-|CB →|=3-1.应选A.法二 由b 2-4e ·b +3=0得b 2-4e ·b +3e 2=(b -e )·(b -3e )=0.设b =OB →,e =OE →,3e =OF →,所以b -e =EB →,b -3e =FB →,所以EB →·FB →=0,取EF 的中点为C ,那么B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上,如图,设a =OA →,作射线OA ,使得∠AOE =π3,所以|a -b |=|(a -2e )+(2e -b )|≥|a -2e |-|2e -b |=|CA→|-|BC →|≥3-1.应选A.(2)由cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=12得a ,b 的夹角为60°,又因为|a |=3,|b |=6,所以△OAB 为直角三角形,B =30°.如图,令a =OA →,b =OB →,∠BOA =60°,AC→=tAB →,DB →=13OB →,那么|OA →+tAB →|=|OC →|,⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1-t )AB →-13OB →=|CD →|,问题转化为当点C 在线段AB 上运动时,求|OC→|+|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ,连接OG ,那么OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中,∠BED =90°,BD =2,B =30°,那么DE =1,DG =2DE =2,在△ODG 中,OD =4,∠ODG =120°,DG =2,由余弦定理得OG =OD 2+DG 2-2OD ·DG cos ∠ODG =27. 答案 (1)A (2)27【训练4】 (1)|a |=|b |=1,向量c 满足|c -(a +b )|=|a -b |,那么|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2021·宁波模拟)向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,|c -b |=1,那么|a +c |的取值范围为________.解析 (1)由|c -(a +b )|=|a -b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a +b 的终点为圆心,|a -b |为半径的圆,那么|c |的最大值为|a +b |+|a -b |, 又因为|a +b |+|a -b |≤2[〔a +b 〕2+〔a -b 〕2]=2〔|a |2+2a ·b +|b |2+|a |2-2a ·b +|b |2〕=22,当且仅当|a +b |=|a -b |,即a ⊥b 时等号成立,所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m =a +c ,那么问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |-|a +b ||≤|m -(a +b )|,那么|a +b |-1≤|m |≤1+|a +b |,又||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |,即1≤|a +b |≤3,故0≤|m |≤4,即|a +c |的取值范围为[0,4].法二 如图,由,作OB→=b ,分别以点O ,B 为圆心作单位圆,那么-a 的终点A 在圆O 上,c 的终点C 在圆B 上,那么AC→=c -(-a )=c +a ,故|a +c |=|AC→|表示两圆上两点连线的长,因此,由圆的性质得0≤|AC→|≤4,即|a +c |的取值范围为[0,4].答案 (1)22 (2)[0,4] 【专题集训】1.如图,在△ABC 中,点D ,E 是线段BC 上两个动点,且AD →+AE →=xAB →+yAC →,那么1x +4y 的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析 由图可设AD→=λAB →+(1-λ)AC →,AE →=μAB →+(1-μ)AC →,其中λ,μ∈(0,1),那么AD→+AE →=(λ+μ)AB →+(2-λ-μ)AC →.由题知,x =λ+μ,y =2-λ-μ,所以有x +y =2,所以1x +4y =12⎝⎛⎭⎪⎫1x +4y (x +y )=12⎝⎛⎭⎪⎫5+y x +4x y≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2y x ×4x y =92,当且仅当y =2x ,即x =23,y =43时,取等号,应选D. 答案 D2.在△ABC 中,BC =2,A =45°,B 为锐角,点O 是△ABC 外接圆的圆心,那么OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]-2,22 B.(]-22,2 C.[]-22,22D.()-2,2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R =12·BCsin 45°=2,|OA→|=2, 如下图,A 在弧A 1C 上(端点除外), OA 2→与BC →同向,此时OA →·BC →有最大值22, 又OA 1→·BC →=-2,故OA →·BC →∈(]-2,22.应选A. 答案 A3.记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥b ,b ,a <b .在△AOB 中,∠AOB =90°,P 为斜边AB 上一动点.设M =max{OP →·OA →,OP →·OB →},那么当M 取最小值时,APPB =( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时,OP →·OA →=OP →·OB →,即OP →·AB →=0,亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |=AP ·PB PB 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2,应选C. 答案 C4.(2021·浙江名师预测卷四)a ,b 是单位向量,向量c 满足|c -b +a |=|a +b |,那么|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析 由|c -(b -a )|=|a +b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b -a 的终点为圆心,|a +b |为半径的圆,那么|c |的最大值为|a +b |+|b -a |. 又因为|a +b |+|b -a |≤2[〔a +b 〕2+〔b -a 〕2]=2〔|a |2+2a ·b +|b |2+|b |2-2a ·b +|a |2〕=2 2.当且仅当|a +b |=|b -a |,即a ⊥b 时等号成立,所以|c |的最大值为2 2. 答案 B5.(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上,假设BP →=λBA →+μBC →,设λ+2μ的最大值为M ,最小值为N ,那么M -N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析 如图,以C 为坐标原点,分别以直线BC ,CD 为x ,y 轴建立平面直角坐标系,那么B (-2,0),A (-2,1),由,圆C 的方程为x 2+y 2=45,设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ,25sin θ,又BP →=λBA →+μBC →,那么⎩⎨⎧25cos θ+2=2μ, 25sin θ=λ,即λ+2μ=25(sin θ+cos θ)+2=225sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4+2,故M -N =⎝ ⎛⎭⎪⎫225+2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-225+2=4105,应选C.答案 C6.(2021·天津卷)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =120°,AB =AD =1.假设点E 为边CD 上的动点,那么AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图的平面直角坐标系,因为在平面四边形ABCD 中,AB =AD =1,∠BAD =120°,所以A (0,0),B (1,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32.设C (1,m ),E (x ,y ),所以DC → =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,m -32,AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,因为AD ⊥CD ,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32,m -32·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32=0,那么32×(-12)+32⎝ ⎛⎭⎪⎫m -32=0,解得m =3,即C (1,3).因为E 在CD 上,所以32≤y ≤3,由k CE =k CD ,得3-y 1-x=3-321+12,即x =3y -2,因为AE →=(x ,y ),BE →=(x -1,y ),所以AE →·BE →=(x ,y )·(x -1,y )=x 2-x +y 2=(3y -2)2-3y +2+y 2=4y 2-53y +6,令f (y )=4y 2-53y +6,y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3.因为函数f (y )=4y 2-53y +6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,538上单调递减,在⎝ ⎛⎦⎥⎤538,3上单调递增,所以f (y )min =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2-53×538+6=2116.所以AE →·BE →的最小值为2116,应选A. 答案 A7.(2021·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中,A =120°,BC =213,AC =2,那么AB =________;当|CB →+λCA →|取到最小值时,那么λ=________.解析 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos A ,即(213)2=22+AB 2-2×2AB cos 120°,解得AB =6,那么cos C =BC 2+AC 2-AB 22BC ·AC =〔213〕2+22-622×213×2=51326,那么|CB →+λCA →|2=|CB →|2+λ2|CA →|2+2λCB →·CA →=(213)2+λ2×22+2λ×213×2×51326=4λ2+20λ+52,那么当λ=-202×4=-52时,|CB →+λCA →|取得最小值. 答案 6 -528.假设非零向量a 和b 满足|a +b |=|b |=2,那么|a |的取值范围是________,|a -b |的取值范围是________.解析 因为||a +b |-|b ||≤|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|b |=4,又a 是非零向量,所以|a |的取值范围是(0,4],因为|a -b |+|a +b |≥2|b |=|(a +b )-(a -b )|≥||a -b |-|a +b ||,所以-4≤|a -b |-|a +b |≤4,|a -b |+|a +b |≥4,又|a +b |=2,解得|a -b |的取值范围是[2,6]. 答案 (0,4) [2,6]9.(2021·杭州三校三联)如图,圆O 是半径为1的圆,OA =12,设B ,C 为圆上的任意2个点,那么AC →·BC→的取值范围是________.解析 设a =OA →,b =OB →,c =OC →,那么有|a |=12,|b |=|c |=1,那么AC →·BC →=(c -a )·(c -b )≤|c -a |·|c -b |≤(|c |+|a |)·(|c |+|b |)=32×2=3,当且仅当a ,b 同向共线,且与c 反向共线时,等号成立,所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →=(c -a )·(c -b )=1-c ·(a +b )+a ·b ≥1-|c |·|a +b |+a ·b =1-|a +b |+a ·b =1-54+2a ·b +a ·b ,令a ·b =t ,那么易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12,AC →·BC →=(c -a )·(c -b )≥1-54+2t +t ,设f (t )=1-54+2t +t ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12≤t ≤12,那么f ′(t )=1-154+2t.易得当t =-18时,f (t )=1-54+2t +t 取得最小值-18.综上所述,AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-18,3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-18,310.平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,|c -a |=|c -b |,那么|c |的最小值为________,此时a ·b =________.解析 由|c -a |=|c -b |,得c 2-2a ·c +a 2=c 2-2b ·c +b 2,即2b ·c -2a ·c =b 2-a 2=3,那么(b -a )·c =32≤|b -a |·|c |≤(|b |+|a |)·|c |=3|c |,所以|c |≥12,当且仅当a 与b 方向相反且a ,b ,c 共线时等号成立,所以|c |的最小值为12,此时a ·b =|a ||b |cos π=-2. 答案 12 -211.正三角形ABC 的边长为4,O 是平面ABC 内的动点,且∠AOB =π3,那么OC →·AB→的最大值为________. 解析 如图,圆E 2为△ABC 的外接圆,圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称,由题意知O 在圆E 1,E 2的优弧AB ︵上(圆E 1,E 2半径相等),设AB 的中点为D ,OC →·AB →=(DC →-DO →)·AB →=BA →·DO →=|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ,易知当∠ADO 为锐角,且DO →在BA →方向上的射影最大时,OC →·AB→取得最大值,易知DO→在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径,故所求最大值为4×42sin π3=1633.答案 163312.(2021·浙江卷)正方形ABCD 的边长为1,当每个λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|的最小值是________,最大值是________.解析 如图,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,那么AB→=(1,0),AD →=(0,1). 设a =λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD → =λ1AB →+λ2AD →-λ3AB →-λ4AD →+λ5(AB →+AD →)+λ6(AD →-AB →) =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB →+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD → =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6).故|a|=〔λ1-λ3+λ5-λ6〕2+〔λ2-λ4+λ5+λ6〕2. ∵λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1,∴当λ1-λ3+λ5-λ6=0,λ2-λ4+λ5+λ6=0时,|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5-λ6,λ5+λ6有相关性,要确保所求模最大,只需使|λ1-λ3+λ5-λ6|,|λ2-λ4+λ5+λ6|尽可能取到最大值,即当λ1-λ3+λ5-λ6=2,λ2-λ4+λ5+λ6=4时可取到最大值,∴|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|的最大值为4+16=2 5.答案 0 25。
平面向量中的最值问题0

平面向量中的最值问题1.求向量的模的最值或取值范围.2.求平面向量的夹角的最值或取值范围.3.求平面向量数量积的最值或取值范围.【复习指导】本讲复习时,应结合平面向量数量积的定义及其几何意义,将有关的量表示出来,代数或几何方法求解最值与取值范围.基础梳理求最值的方法小结㈠.几何方法⑴.平面几何方法:两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值⑵.解析几何方法利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值;先求轨迹,后求最值㈡.代数方法⑴.函数方法:首先分析要求的量的变化和什么因素有关,从而选定变量,建立函数关系式,利用函数有关知识求解最值问题,另外有些问题需结合导数知识求解;⑵.利用基本不等式求解;⑶.利用三角函数求解.双基自测㈠.求模的最值或范围1.平几法求最值【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3π,||4,||1OA OB ==,若点M 在直线OB 上,则||OA OM -的最小值为________.23练习1.⑴.(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602a b a b a c b c ==⋅=-<-->=,则||c 的最大值等于________.【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形,然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时,||c 最大. 解:如图,构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=,60BCD ∠=,所以,,,A B C D 四点共圆,分析可知当线段AC 为直径时,||c 最大,最大值为2.⑵.已知向量,||1a e e ≠=,对任意t R ∈,恒有||||a te a e -≥-,则下列结论正确的是________.①a e ⊥ ②.()a a e ⊥- ③.()e a e ⊥- ④.()()a e a e +⊥-解法一:由||||a te a e -≥-知,22||||a te a e -≥-,即222||2||21a ta e t a a e -⋅+≥-⋅+,化简得,22(1)1t a e t -⋅≤-,当1t ≤时,即212a e t ⋅≥+≤恒成立,故1a e ⋅≥;当1t >时,即212a e t ⋅≤+>,故1a e ⋅≤.故1a e ⋅=,故③成立.解法二:22(1)1t a e t -⋅≤-,即22210t a et a e -⋅+⋅-≥任意t R ∈恒成立,故24()a e ∆=⋅-840a e ⋅+≤,即1a e ⋅=,故③成立.解法三:由几何意义可知,在所有的向量a te -中,以a e -的模最小,故()e a e ⊥-.【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足:()()0a c b c -⋅-=,则||c 的最大值是___________.解法一:由()()0a c b c -⋅-=可得,2||()||||cos c a b c a b c θ=+⋅=+(其中θ为a b +与c 的夹角),即||()||cos 2cos 2c a b c a b θθ=+⋅=+=≤,故||c 的最大值是2.解法二:作四边形OABC ,设,,OA a OB b OC c ===,则由已知得,90,90AOB ACB ∠=∠=,故,,,O A B C 四点共圆,故||c 最大为圆的直径为2.练习2.(08浙江)已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足()0b a b ⋅-=,则||b 的取值范围是 ________ .解法一:由()0b a b ⋅-=得,2||0b a b ⋅-=,即2||||cos ||0b a b θ-=,故||cos b θ=,即||b 的取值范围是[0,1].解法二:也可以借助于几何意义求解,当0b =时,||0b =;当a b =时,||1b =.当0b ≠且a b ≠时,b 与a b -互相垂直,0||1b <<,即||b 的取值范围是[0,1].2.代数法求最值⑴.通过线性运算求最值【例3】已知G 为ABC ∆的重心,若120A =,2AB AC ⋅=-,则||AG 的最小值为 .解:由120A =,2AB AC ⋅=-得,||||4AB AC =,由平几知识可知,1()3AG AB AC =+,故2222211114||[()][()](||2||)(||||)33999AG AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC =+⋅+=+⋅+=+-14844(2||||)99999AB AC ≥-=-=,即||AG 的最小值为23,不等式当且仅当||||2AB AC ==时取得最小值23.练习3.(10浙江)已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足:||1β=,并且α与βα-的夹角为120,则||α的取值范围是____________.解析:利用题设条件及其几何意义表示在三角形中,即可迎刃而解,本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题. 解法一:易知在ABC ∆中,60,1ABC AC ∠==.设ACB ϕ∠=,由正弦定理得,||||sin sin 60αβϕ=,故||33a ϕϕ==≤||a 的取值范围是. 解法二:由正弦定理得,OACOCOCA OA ∠=∠sin sin ,即||1sin sin 60OCA α=∠︒,故1||sin sinsin 60OCA OCA α=⨯∠=∠︒,因为︒<∠<︒1200OCA ,故1sin 0≤∠<OCA ,所以230||3α<≤. 解法三:如图中圆的半径为||1β=,当︒=∠90OCA 时,max 123||sin 603OA α===︒(如图1),当C B →时,||0a →(如图2).【例4】(11辽宁)若,,a b c 均为单位向量,且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤,则||a b c +-的最大值为____________.解:由()()10a c b c a b b c a c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤可得,即()1a b c +⋅≥,而22||||a b c a b +-=+-22()||32()a b c c a b c +⋅+=-+⋅,由()1a b c +⋅≥可知,||1a b c +-≤,故||a b c +-的最大值为1.练习4:(09安徽)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是____________.解析:设AOC α∠=,则,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩,即1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩,故2[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤.⑵.通过向量的坐标运算求解最值【例5】在ABC ∆中,90,1A AB AC ∠=︒==,点P 在边BC 上,则|2|PB PC +的最大值为 . 解:以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则(0,0)A ,(1,0)B ,(0,1)C ,易知BC 的方程为1x y +=,故可设(,1)0,1P t t t -≤≤,易知(1,1)PB t t =--,(,)PC t t =-,则2(13,31)PB PC t t +=--,故|2|2|31|[0,22]PB PC t +=-∈,即|2|PB PC +的最大值为22.练习5.(11天津)已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90ADC ∠=︒,2AD =,1BC =,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .解法1.以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,建立如图的直角坐标系.由题设,(2,0)A ,设(0,)C c ,(0,)P y ,则(1,)B c .(2,)PA y =-,(1,)PB c y =-.3PA PB += (5,34)c y -.2|3|55PA PB +=≥,当且仅当34c y =时,等号成立,于是,当34cy =时,|3|PA PB +有最小值5.解法2.以相互垂直的向量DP ,DA 为基底表示PB PA 3+,得33PA PB DA DP PC +=-++53(3)2CB DA PC DP =+-.又P 是腰DC 上的动点,即PC 与DP 共线,于是可设DP PC λ=,有DP DA PB PA )13(253-+=+λ.故222255|3|||[(31)](31)42PA PB DA DP λλ+=+-+⨯-DA DP ⋅,即222225|3|||[(31)]25|(31)|4PA PB DA DP DP λλ+=+-=+-.由于P 是腰DC 上的动点,显然当31=λ,即DP PC 31=时,故|3|PA PB +有最小值5.解法3.如图,3PB PF =,设E 为AF 的中点,Q 为AB 的中点,则12QE BF PB ==,PA + 32PB PA PF PE =+=,①因PB PQ PE +=,PB PQ QB -=.则22||||PB PQ PB PQ ++-= 22222||2||||||PB PQ PE QB +=+.②(实际上,就是定理:“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”)设T 为DC 的中点,则TQ 为梯形的中位线,13()22TQ AD BC =+=.设P 为CT 的中点,且设,CP a PT b ==,则22||1PB a =+,229||4PQ b =+,221||()4QB a b =++,代入式②得2222||2||2(1)PB PQ a +=+222912()||()44b PE a b ++=+++,于是222525||()44PE a b =+-≥,于是2||5PE ≥,当且仅当a b =时,等号成立.由①式,|3|2||5PA PB PE +=≥,所以|3|PA PB +有最小值5.小结:问题12---17中,首先要结合图形和已知条件选择几何方法(视为几何图形中的某些量)或者代数方法来表示向量的模,然后选择适当的解决范围或最值问题!F㈡.求角的最值或取值范围【例6】(11浙江)若平面向量,a b 满足:||1a =,||1b ≤,并且以向量,a b 为邻边的平行四边形的面积为12,则a 与b 的夹角θ的取值范围是 . 解:由平行四边形的面积为12知,则1||||sin ||sin 2S a b b θθ===,故1sin 2||b θ=,由||1b ≤知,1sin 2θ≥,故a 与b 的夹角θ的取值范围是5[,]66ππ. 练习6:㈢.求数量积的最值⑴.通过线性运算求最值 基本不等式求最值【例7】(05江苏)在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是_________.解析:()(2)22||||(1)2||||2(OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅=⨯-=-≤-2||||)22OA OM +=-.练习7.(09全国I )设,,a b c 是单位向量,且0a b ⋅=,则()()a c b c -⋅-的最小值为___________. 解:因为,,a b c 是单位向量,所以2()()()1||||12a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+=-cos ,12a b c <+>≥-.【例8】已知菱形ABCD 中,对角线3AC =1BD =,P 是AD 边上的动点,则PB PC ⋅的最小值为 ____ .解法一:由已知可知,菱形ABCD 的边长为1,3BAD π∠=,故()()PB PC AB AP AC AP ⋅=-⋅-=222311||||2||(||1)222AB AC AC AP AB AP AP AP AP AP ⋅-⋅-⋅+=-+=-+≥,故PB PC ⋅的最小值为12. 解法二:以AC 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则1(0,)2B -,BP2C,易知AD 所在直线的方程为132y x=+,故设1(,),0322P t t +-≤≤,则331(,1),(,)322PB t t PC t =---=--,故2411322PB PC t ⋅=+≥,当且仅当0t =即点P 与点D 重合时,PB PC ⋅的最小值为12.练习8:如图ABC ∆为正三角形,边长为2,以点A 为圆心,1为半径作圆,PQ 为圆A 的任意一条直径.⑴.若12CD DB =,求||AD ; ⑵.求CP BQ ⋅的最小值.⑶.判断CQ BP ⋅+CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化,请说明理由.解:⑴.因13AD CD CA CB CA =-=-,故221||()3AD CB CA =- 221242128224939329CB CB CA CA =-⋅+=-⨯⨯⨯+=,故27||3AD =.⑵.设PAB θ∠=,则120CAQ θ∠=︒-,()()BQ CP AQ AB AP AC AQ AB ⋅=-⋅-=⋅-1112cos(120)12cos 221cos2AQ AC AB AP AB AC θθθ=--⨯⨯︒--⨯⨯+⨯⨯=⋅-⋅+⋅--12sin()6πθθ=-+,当sin()16πθ+=时,即2,3k k Z πθπ=+∈时,CP BQ ⋅有最小值为1-.⑶.BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化!因()()1cos 12sin()6BP CQ BA AP CA AQ πθθθ⋅=+⋅+=+=++,由⑵知,BQ CP ⋅= 12sin()6πθ-+,故2BP CQ BQ CP ⋅+⋅=,故BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化.⑵.通过向量的坐标运算求解最值①.通过线性规划求最值【例9】在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形(含边界)的任意一点,则AM AN ⋅的最大值___.解:以A 为原点,以AB 所在的为x 轴,因正方形ABCD 的边长为2,则(0,0),(2,0),(0,2)A B D ,设(,)N x y ,则(2,1),(,)AM AN x y ==,则,x y 满足条件(*):02,0 2.x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则2AM AN x y ⋅=+,由(*)知,AM AN ⋅的取值范围是4[1,]3.练习9.已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2,点,M N 分别为线段,BC CD 上的两个不同点,且||1MN ≤,则OM ON ⋅的取值范围是 ________ .解:以A 为原点,以AB 所在的直线为x 轴,因正方形ABCD 的边长为2,则(1,1)O ,设(2,),(,2)M s N t ,则(1,1),(1,1)OM s ON t =-=-,则由已知条件可知,,s t 满足条件(*):2202,02(2)(2) 1.s t t s ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪-+-≤⎩(2s =与2t =不能同时成立!),则2OM ON s t ⋅=+-,由(*)知,OM ON ⋅的取值范围是[22 2)-,. ②.函数法求最值【例10】(12上海)在平行四边形ABCD 中,3A π∠=,边,AB AD 的长分别为2,1.若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AN AM ⋅的取值范围是_________. 【解析】如图建系,则1353(0,0),(2,0),(),(22A B D C .设||||[0,1]||||BM CN t BC CD ==∈,则||,||2BM t CN t ==,故3(2,)22t M +, 53(2,22N t -,故22533(2)(2)25(1)6()2222t AM AN t t t t t f t ⋅=+-+⋅=--+=-++=,因为[0,1]t ∈,故()f t 递减,故max min ()(0)5,()(1)2AM AN f AM AN f ⋅==⋅==.[评注]当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 练习10.如图,半径为1圆心角为23π圆弧AB 上有一点C . ⑴.当C 为圆弧AB 中点时,D 为线段OA 上任一点,求||OD OC +的最小值.⑵.当C 在圆弧AB 上运动时,,D E 分别为线段,OA OB 的中点,求CE DE ⋅的取值范围. 解:⑴.以O 为原点,以OA 为x 轴正方向,建立如图坐标系,设22(,0)(01),(22D t t C ≤≤-,xy ABC DMN故22(,)22OC OD t +=-+,故22211||221(01)22OC OD t t t t t +=-++=-+≤≤,当22t =时,最小值为22.⑵.设3(cos ,sin )(0)2OC πααα=≤≤,故CE OE OC =-11(0,)(cos ,sin )(cos ,sin )22αααα=--=---,又1(,0)2D ,1(0,)2E -,故11(,)22DE =--,故1(cos sin )2CE DE αα⋅=+21sin()244πα=++,因7444πππα≤+≤,故1212[,]4242CE DE ⋅∈-+. 【例11】如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 为以A 为圆心,AB 为半径的圆弧上的任意一点,设向量AC DE AP λμ=+,则λμ+的最小值为________________.考点:平面向量的基本定理及其意义.分析:建立坐标系,设正方形ABCD 的边长为1,求出向量(cos 2AC DE AP λλμμθ=+=+,sin )(1,1)λμθ-+=,用cos ,sin θθ表示λ和μ,根据cos ,sin θθ的取值范围, 求出λμ+=32sin 2cos 2cos sin θθθθ+-+的最小值.解:以A 为原点,以AB 所在的为x 轴,建立坐标系,设正方形ABCD 的边长为1,则1(,1)2E ,(1,1),(0,1),(0,0)C D A ,设(cos ,sin )P θθ,则(1,1)AC =.再由向量(2AC DE AP λλμ=+=+cos ,sin )μθλμθ-+,所以cos 1,sin 12λμθλμθ+=-+=,所以2sin 2cos ,2cos sin θθλμθθ-==+ 32cos sin θθ+,故32sin 2cos 2cos sin θθλμθθ+-+=+.由题意得,02πθ≤≤,故0cos 1,0sin θθ≤≤≤1≤,当cos θ取最大值1时,同时,sin θ取得最小值0,这时λμ+取最小值12.练习11:如图在Rt ABC ∆中,E 为斜边AB 的中点,,1CD AB AB ⊥=,则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 .解法一:记A θ∠=,则()()[cos (cos sin )sin ]CA CD CA CE θθθθ⋅⋅=422223111122(cos cos )cos sin cos cos sin ()2244327θθθθθθθ==≤=, CADE BA E D CB故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是227. 或设2sin t θ=,易知(0,1)t ∈,则421()()cos sin 2CA CD CA CE θθ⋅⋅== 23211(1)(2)22t t t t t -=-+,记321()(2)2f t t t t =-+,则'211()(341)(31)(22f t t t t t =-+=-- 1),由导数知识易知,max 12()()327f t f ==,故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是227. 解法二:以C 为原点,以CA 所在的直线为x 轴,因1AB =,则(0,0)C ,设A θ∠=,则(cos A θ,10),(cos sin sin ,cos sin cos ),(2D E θθθθθθ 1cos ,cos )2θθ,则2()()(cos CA CD CA CE θ⋅⋅=⋅ 224211sin )(cos )cos sin 22θθθθ=(下略).【例12】如图,点P 是单位圆在第一象限上的任意一点,点(1,0)A -,点(0,1)B -,PA 与y 轴交于点N ,PB 与x 轴交于点M ,设PO xPM yPN =+,(,)x y R ∈,(cos ,sin )P θθ. ⑴.求点M 、点N 的坐标,(用θ表示);⑵.求x y +的取值范围. 解:⑴.cos (,0)1sin M θθ+,sin (0,)1cos N θθ+.⑵.由已知得,cos (cos ,sin ),(1sin PO PM θθθθ=--=+sin cos cos,sin )(,sin ),(cos 1sin PN θθθθθθ---=-=-+,sin sin cos sin )(cos ,)1cos 1cos θθθθθθθ--=-++,代入PO =xPM yPN +,得sin cos cos (cos )1cos x y θθθθθ-=-+-+,整理得,sin (1sin )1sin x y θθθ++=+,sin sin x θθ-=--sin cos 1cos y θθθ+,整理得,(1cos )x θ+ cos 1cos y θθ+=+,将上两式相加可得:2sin cos 1111sin cos 1sin cos x y θθθθθθ+++==+=+++++112)4πθ+,由02πθ<<可知,2sin()124πθ<+≤,故1+ 2)(2,12]4πθ+∈,即1[1)212x y +∈++,故3[2,)2x y +∈.练习12.(10全国I )已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ⋅的最小值为 .小结:首先要选择合适的形式表示数量积,然后是如何选择适当的量来表示数量积,再次是如何解决范围或最值问题!【解析1】如图所示:设(0),PA PB x x APO ==>∠=α,则2,APB PO αα∠===,22422222(1)||||cos 2(12sin )11x x x x PA PB PA PB x x x αα--⋅==-==++,令y PA PB =⋅,则4221x x y x -=+,即42(1)0x y x y -+-=,由2x R ∈,故2[(1)]41y ∆=-+-⨯⨯ ()0y -≥,即2610y y ++≥,故3y ≤--3y ≥-+min ()3PA PB ⋅=-+.此时x =或:设21t x =+,则4221x x y x -=+可变形为2(1)(1)233t t y t t t---==+-≥,当且仅当t =,即x =min ()3PA PB ⋅=-+【解析2】设,0APB θθπ∠=<<,则222cos 12||||cos ()cos (1tansin 22PA PB PA PB θθθθθ⋅===-2222(1sin )(12sin )222sin )2sin 2θθθθ--=,设2sin 2x θ=,则01x <≤,故(1)(12)x x PA PB x --⋅== 1233x x+-≥.【解析3】建系得,圆的方程为221x y +=,设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -,则10(,PA PB x x ⋅=-222110111001)(,)2y x x y x x x x y ⋅--=-+-,又OA PA ⊥,故11101(,)(,)0x y x x y ⋅-=,即2110x x x -+210y =,故101x x =,故22222222110011011022(1)23PA PB x x x x y x x x x x ⋅=-+-=-+--=+-≥3.③.轨迹法求最值【例13】在周长为16的PMN ∆中,6MN =,则PM PN ⋅的取值范围是_______________. 解:易知点P 在以MN 为焦点,长轴的长为10的椭圆上,以MN 所在直线为x 轴,线段MN 的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则(3,0),(3,0)M N -,设(,)P x y ,则2212516x y +=,那么(3,),(3,)PM x y PN x y =+=-,故22222169916972525x x PM PN x y x ⋅=+-=+--=+,由已知可知2[0,5)x ∈,故PM PN ⋅的取值范围是[7,16).练习13:(09安徽)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为90.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是_____. 解:以O 为原点,以OA 为x 轴正方向,建立如图坐标系,设(0,0),(1,0),(0,1)O A B ,设(,)C x y ,则已知2201,01,1.x y x y ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩,则由(,)OC xOA yOB x y =+=,由可行域可知,x y +.变题:22)1(y x +-的最大值为 .[0,2].④.放缩法求最值【例14】在平面直角坐标系xOy 中,设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点,若存在正实数,λμ,使得OC OA OB λμ=+,则22(3)λμ+-的取值范围是 .解:由存在正实数,λμ,使得OC OA OB λμ=+,故向量OA 与向量OB 的夹角的范围是(0,)π,则向量OB 与向量OC 的夹角θ的范围是(0,)π,由OC OA OB λμ=+可知,OA OC OB λμ=-,故2222222||()||2||12cos OA OC OB OC OB OC OB λμμμμμθ=-=-⋅+=+-,则2(λμ+-22223)22(3cos )1028102(4)22μμθμμμ=-++>-+=-+≥,故22(3)λμ+-的取值范围是(2,)+∞.练习14.在面积为2的ABC ∆中,,E F 分别是,AB AC 的中点,点P 在直线EF 上,则PC PB ⋅+2BC 的最小值是______________.分析:根据ABC ∆的面积为2,可得PBC ∆的面积为1,从而可得2||||sin PB PC BPC=∠,故2cos ||||cos sin BPCPB PC PB PC BPC BPC∠⋅=∠=∠,由余弦定理得,222||||||2||BC BP CP BP =+- ||cos CP BPC ∠,进而可得,2||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠,从而PC PB ⋅+24cossin BPC BC BPC -∠≥∠,易得4cos sin BPCBPC-∠∠的最小值为从而可得2PC PB BC ⋅+的最小值为解:因,E F 分别是,AB AC 的中点,故PBC ∆的面积为1,又PBC ∆的面积为:1||||2BP PC sin BPC ∠,则2||||sin BP PC BPC =∠.即2cos ||||cos sin BPCPB PC PB PC BPC BPC∠⋅=∠=∠,由余弦定理得,222||||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC =+-∠.显然,||,||BP PC 都是正数,故22||||2||||BP PC BP CP +≥,即2||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠,则PC PB ⋅+24cos ||||cos 2||||2||||cos sin BPCBC BP PC BPC BP PC BP PC BPC BPC-∠≥∠+-∠=∠,令y =4cossin BPC BPC -∠∠,易得4cos sin BPCy BPC-∠=∠的最小值为2PC PB BC ⋅+的最小值为作业1.设向量(1,0),(sin θ,cos θ),0θπa b ,则||a b 的取值范围是 _______.解:易知(1sin ,cos )ab,则||22cos[0,2]ab .2.已知O 为坐标原点,,A B 是圆221x y +=分别在第一、四象限的两个点,(5,0)C 满足:3OA OC ⋅=,4OB OC ⋅=,则()OA tOB OC t R ++∈模的最小值为________.解:设(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ,则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==,由OA OC ⋅=3及4OB OC ⋅=知,34cos ,cos 55αβ==,因为,A B 分别为在第一、四象限的两个点,所以43sin ,cos 55αβ==-,即3443(,),(,)5555OA OB ==-,则42843(,)55t tOA tOB OC +-++=,故2||OA tOB OC t ++==≥4.已知两个单位向量a 与b 的夹角为︒120,若||1a b λ+<,则实数λ的取值范围是 .)1,0(5.在ABC ∆中,AB 边上的中线2OC =,动点P 满足22sin cos ()AP AO AC R θθθ=+∈,求()PA PB PC +⋅的最小值.解:由22sin cos ()AP AO AC R θθθ=+∈知,2sin PC OC θ=,由20sin 1θ≤≤知,即动点P在线段OC 上,又O 为AB 的中点,故2PA PB PO +=,故()22||PA PB PC PO PC PO +⋅=⋅=-22||||||||2()2()222PO PC OC PC +≥-=-=-,当且仅当||||1PO PC ==时,()PA PB PC +⋅的最小值2-.6.若正方形ABCD 边长为1,点P 在线段AC 上运动,则()AP PB PD ⋅+的取值范围是 . 解:以A 为坐标原点,以AB 所在的直线为x 轴,因为正方形ABCD 的边长为1,则(0,0),(1,0)A B ,(0,1)D ,设(,)P t t ,则(,),(1,),(,1),[0,1]AP t t PB t t PD t t t ==--=--∈.故()AP PB PD ⋅+ 224t t =-,由01t ≤≤知,()AP PB PD ⋅+的取值范围是1[2]4-,.6.已知平面向量,,a b c 满足|1,|2a b ==||,,a b 的夹角等于π3,且()()0a c b c -⋅-=,则||c 的取值范围是 .解:设,,CA a CB b CD c ===,由|1,|2a b ==||,,a b 的夹角等于π3及正弦定理可知,2CAB π∠=,设BAD θ∠=,则||3cos BD θ=,由余弦定理得,22||13cos cos()12c πθθθ=++=+3535(1cos 2)cos cos 22)22222θθθθθθϕ++=+=++,其中sin ϕ=,cos 77ϕ=255||[22c -+∈,即||c 的取值范围是. 7.已知A 为单位圆与x 轴正半轴的交点,点P 在单位圆上,,(0)AOP θθπ∠=<<,OQ =OA OP +,四边形OAPQ 的面积为S .⑴.求OA OQ S ⋅+的最大值及此时θ的值0θ.⑵.设点B 的坐标为34(,),55AOB α-∠=,在⑴的条件下,求0cos()αθ+的值.8.已知(1,1),(1,1),(2cos )a b c αα==-=,实数,m n 满足:ma nb c +=,则22(2)m n -+的最大值为 .解:由ma nb c +=知,故,.m n m n αα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,则221m n +=,易知22(2)[1,9]m n -+∈.9.边长为1的正方形ABCD 的顶点,A D 分别在,x y 轴的正半轴上(含原点)滑动,则OB OC ⋅有最大值为 .解:设OAD θ∠=,故(cos ,0)A θ,则(cos sin ,cos )B θθθ+,同理(sin ,sin cos )C θθθ+,故(cos sin ,cos )(sin ,sin cos )1sin 2OB OC θθθθθθθ⋅=+⋅+=+,即OB OC ⋅有最大值为2.10.在直角梯形ABCD 中,AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在BCD ∆(含边界),设(,)AP AB AD R αβαβ=+∈,则αβ+的取值范围为____ ___.解:以AB 为所在直线为x 轴,以AD 为y 轴,建立平面直角坐标系,则(0,0),(3,0),(0,1)A B D ,(1,1)C ,设点(,)P x y ,则,x y 满足:330,230,0 1.x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩,由AP AB AD αβ=+知,(3,0)(0,1)(3,)AP AB AD βαβαβα+=+==,故3,x y αβ==,则10,3230,0 1.αβαββ+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩,设z αβ=+,由可行域知,当点P 为点1(,1)3E 时,z αβ=+取最大值43,故αβ+的取值范围为4[1,]3.。
【高考数学解题指导】重难点突破:平面向量中最值问题全梳理

重难点突破:平面向量最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 数量积的最值问题例题1: 平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==,则a b ⋅最小值是______分析:本题条件中有1e =,而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2,通过作图可发现能够以e 的起点为原点,所在直线为x 轴建立坐标系,则,a b 起点在原点,终点分别在1,2x x ==的直线上,从而,a b 可坐标化,再求出a b ⋅的最值即可 【解析】如图建系可得:()()1,,2,a a b b ==由2a b -=()223a b =⇒-=而2a b ab ⋅=+,由轮换对称式不妨设a b >,则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭,()min54a b∴⋅=例题2:已知点M为等边三角形ABC的中心,2AB=,直线l过点M交边AB于点P,交边AC于点Q,则BQ CP⋅的最大值为.【分析】本题由于l为过M的任一直线,所以:,:AP AB AQ AC的值不确定,从而不容易利用三边向量将,BQ CP进行表示,所以考虑依靠等边三角形的特点,建立直角坐标系,从而,,,A B C M坐标可解,再借助解析几何的思想设出直线l方程,与,AB AC方程联立解出,P Q坐标,从而BQ CP⋅可解出最大值【解析】以,BC AM为轴建立直角坐标系,()()(1,0,1,0,,0,3B C A M⎛-⎝⎭设直线:3l y kx=+,由()()(1,0,1,0,B C A-可得:)):1,:1AB y x AC y y x=+==-):31y kxPy x⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩得:xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;):31y kxQy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩得:xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩((53353,,kBQ CP⎛⎫⎛⎫+∴==(()()22222257593162239333k k kBQ CPkk k--+∴⋅=+=+=---()222226221618401406333333k kk kk⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭若直线与,AB AC相交,则33k⎡∈-⎢⎣⎦;21401402266333039BQ CPk⎛⎫⎛⎫∴⋅=-≤-=-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭例题3: 如图,半径为1的扇形AOB 中,23AOB π∠=,P 是弧AB 上的一点,且满足OP OB ⊥,,M N 分别是线段,OA OB 上的动点,则PM PN ⋅的最大值为( )A .2B C .1 D例题4: 在矩形ABCD 中,3AB =,1AD =,若M ,N 分别在边BC ,CD 上运动(包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________.例题5: 已知圆C 的方程22(1)1x y -+=,P 是椭圆22143x y +=上一点,过P 作圆的两条切线,切点为A ,B ,则PA PB ⋅的取值范围为( )A .3[,)2+∞ B.3,)+∞ C.563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(,)P x y ,设222221,(1,0),||||1(1)1244CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=-+ 2222122114sin cos 212sin 11||242444x x PC x x x x θθθ-+⇒==⇒=-=-+-+, 设221124(4)44t x x x =-+=-,又2min (2)2||cos 2(1)3223,2,()t PAPB PA t t t PA PB t tθ-•==-=+-≥-=•=max563,9,()9t PA PB =•=⇒PA PB ⋅的取值范围为563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选C例题6: 已知△ABC 中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-(R λ∈)的最小值为P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是【解析】令()f λ=22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅=216λ+24(22)λ-+2(22)8cos A λλ-⋅=216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ=221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C , 设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-, 所以PB PC ⋅=(4)x x --=2(2)4x --; 当cos 0A ≠时,()f λ=2116[(22cos )()2A λ--+1cos ]2A+≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅=(4)(1)x x --=259()24x --. 综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-题型二 向量模长的最值问题例题7: 已知,a b 为单位向量,且a b ⊥,向量c 满足2c a b --=,则c 范围为【解析】如图,,()OA a b OB c AB c a b =+=⇒=-+,又||||222||22OA a b c =+=⇒-≤≤+例题8: 向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为( )【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点(向量),确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设c OC b OB a OA ===,,;以OA 所在直线为x ,O 为坐标原点建立直角坐标系 ∵4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A (4,0),B (2,2),设C (x ,y ) ∵()()1c a c b -⋅-=-,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A ,C 的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离. ∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=-+-,∴c a -的最大值为12+4224681051015A BO例题9: 已知向量,a b 夹角为3π,2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________.【解析】()()1,0,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫+-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,表示(),0P t 与11,48M N ⎛⎛⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有22MN ==.题型三 向量夹角的最值问题例题10:已知非零向量,a b 满足2a b =,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】()'2f x x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例题11:非零向量满足=,,则夹角最小值是【解析】由题意得2212a b a b ⋅=,()24a b+=,整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅,即1a b ⋅≤,11cos ,22a b a b a b a b⋅==⋅≤,,3a b ππ∴≤≤,夹角的最小值为3π例题12:已知向量满足,且关于的函数在实数集R上单调递增,则向量a,b 的夹角的取值范围是( ) A .π[0,]6 B .π[0,]3 C .π[0,]4 D .ππ[,]64b a ,b a ⋅222b a 2||||=+b ab a 与a,b |a|=22|b|0≠x 32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅题型四 平面向量系数的最值问题例题13:已知()2,λ=,()5,3-=,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形.【解析】由于与的夹角为锐角,0>⋅∴,且与不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ.例题14:已知G 是ABC 的重心,过点G 作直线MN 与AB ,AC 交于点,M N ,且AM xAB =,AN y AC =,(),0x y >,则3x y +的最小值是【解析】如图M N G ,, 三点共线,MG GN λ∴=,AG AM AN AG λ∴-=-(), ∵G 是ABC 的重心,13AG AB AC ∴=+(), 1133AB AC x AB y AC AB AC λ∴+-=-+()(())1133{ 1133x y λλλ--∴-=,= 解得,31311x y --=()();结合图象可知111122x y ≤≤≤≤,; 令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤,,(,); 故11133m nmn x y ++===,,;故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=,当且仅当m n ==例题15:如右图所示,已知点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且,AM x AB AN y AC ==,则2x y +的最小值为【解析】因为,,M N G 三点共线,所以(),MG GN AG AM AN AG λλ=-=-, 因为G 是ABC ∆重心,所以()13AG AB AC =+()()1133AB AC xAB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭,所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 化简得()()31311x y --=,解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤. 由基本不等式得()()23162231622x y x y -+-⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭即()332323x y x y ++-≥+≥.当且仅当3162x y -=-,即x y ==例题16:直角梯形ABCD 中,CB CD ⊥,AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形,P 是平面上的动点,1CP =,设AP AD AB λμ=+(λ,R μ∈),则λμ+的最大值为________【解析】以C 为原点,CD 为x 轴,BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系,1CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-,(,,AC =-(cos 2,,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--1223{{1122sin cos sin cos λαλμααμαα=+--=-⇒==-+,()133cos =26232sin λμαααϕ+=-++-+ 332≤+=96+, 即λμ+.例题17:已知向量,,.(1)若,求的值;(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【解析】(1)因为,,,所以.若,则,与矛盾,故.于是,所以.(2). 因为,所以,从而于是,当,即时,取到最大值3;当,即时,取到最小值(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =⋅a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56x π=π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +=0x =()f x π6x +=π5π6x =()f x -例题18: 在平面直角坐标系中,已知点,,,是轴上的两个动点,且,则的最小值为______.【解析】设,,所以,当时,取得最小值.例题19: 在四边形ABCD 中,//AD BC ,2AB =,5AD =,3BC =,60A ∠=︒,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,点M 在边CD 所在直线上,则AM ME ⋅的最大值为( ) A .714-B .24-C .514-D .30-【分析】如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据AE BE =求出E 的坐标,求边CD所在直线的方程,设(,M x +,利用坐标表示,AM ME ,根据二次函数性质求最大值.【解析】依题意,如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,由2AB =,5AD =,3BC =,60A ∠=︒,()0,0A ∴,(B,(C ,()5,0D ,因为点E 在线段CB的延长线上,设(0E x ,01x <AE BE =,()222001x x +=-解得01x =-,(E ∴-,(4,3C ,()5,0D ,CD ∴所在直线的方程为y =+,因为点M 在边CD所在直线上,故设(,M x +(,AM x ∴=+,(1E x M -=--, ()1AM ME x x -∴⋅=--++242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME ⋅=-故选:A【小结】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题(10)A -,(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ⋅(0,)E t (0,2)±F t (1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t 222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t 1=±t AE BF⋅3-题型七 平面向量与基本不等式相结合的最值问题例题20: 若平面向量,满足:;则的最小值是.【解析】,例题21: 在等腰梯形中,已知,,,.动点和分别在线段和上,且,,则的最小值为 . 【解析】 因为,,,,,当且仅当即时的最小值为a b 23-≤a b ⋅a b _____2223494a b a b a b -≤⇔+≤+2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-ABCD AB DC ∥2AB =1BC =60ABC ∠=E F BC DC BE BC λ=19DF DC λ=AE AF ⋅19DF DC λ=12DC AB =119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+=2192λλ=23λ=2918BA例题22: 已知点A 在线段BC 上(不含端点),O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=,则221a ba b b+++的最小值是___________【分析】本题根据条件构造21a b +=,研究的式子分别加1后变形,即可形成所需条件,应用均值不等式. 【解析】由20OA aOB bOC --=可得, 2OA aOB bOC =+,根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=,且0,0a b >>, 所以()2222222112221222a b a b a a b b a ba b a b b a b a b b a b a b+++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为2,故填2.题型八 平面向量与圆相结合的最值问题例题23: 在平面直角坐标系中,为原点,动点满足,则的最大值是 .【解析】设(,)D x y ,由||1CD =,得22(3)1x y -+=,向量OA OB OD ++(1,x y =-+,故||(OA OBOC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值,其最大值为圆22(3)1xy -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径,11=+例题24: 已知是单位向量,.若向量满足,则的最大值为ABCD 【解析】建立平面直角坐标系,令向量的坐标, 又设,代入,又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值, 即圆心(1,1).O (1,0),(3,0),A B C -D ||1CD =||OA OB OD ++,a b 0⋅a b =c 1--=c a b c 112,a b ()()1,0,0,1==a b (),x y =c 1--=c a b 1=c ()()22111x y -+-=1例题25: 若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点,则OA OB ⋅取值范围______【解析】本题中因为,OA OB 位置不断变化,所以不易用数量积定义求解,可考虑利用投影,即过B 作直线OA 的垂线,垂足为D ,通过旋转AB 可发现,当OB OA ⊥时,0OA OB ⋅=,AB 位于其他位置时,D点始终位于OA 的反向延长线上,OA OB OA OD ⋅=-⋅,故0OA OB ⋅<,故()max0OA OB⋅=,下面寻找最小值,即DO 的最大值,可得当B 在OA 上的投影与C 重合时,DA 最大,即为AC ,此时直线OP 即为直线AB 。
平面向量中的最值范围(偏难带答案)

第1页(共4页)e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量 a 与e 的夹角为;,向量b 满足b 2- 4e b + 3= 0,则|a -b |的最小值是(A M —1平面向量中的最值范围(偏难 带答案)1、设A , B , C 是半径为1的圆O 上的三点,且03丄0B ,则(OC -0O ?)(-■QC -0O B )的最大值是()B.1-V 2C.*—1 解答:如图,作出 OD ,使得 O ?+0I E I =—OD , (OC — I O ?)(-OC -OE3)= GS 2—0? -OC -OE3 6C 十0? 63 =1-( OA + 66)O (C = 1-7)D -OC ,由图可知,当点 C 在OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时, O[D OC 取得 最小值,最小值为- 寸此时(OC — OA )(OC — OB )取得最大值,最大值为 1+^2,故选 A. 2、如图,在平面四边形 ABCD 中,AB 丄BC , AD 丄CD , / BAD = 120° AB = AD = 1若点E 为边CD 上的动 点,则03 03的最小值为() 21 A— A. 16 3 B.3C.?5解答:如图,以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系,连接 AC.由题意知/ CAD =/ CAB = 60° / ACD = / ACB = 30°则 D(0,0), A(1,0), eg ,申]C(0,73).设 E(0, y)(O W y ^/3),则 AE = (- 1, •••当y =密时f ly),03=(- 2, y -当03 03=2+y2—23 *y = (r 当)+磊03 03有最小值1i.选AB.V 3 + 1 D . 2 —需3、已知a , b ,4、如图,菱形ABCD 的边长为2, / BAD = 60° M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM -AN 的最大值为B.2衍 C . 6 D . 9 A 解析: 由平面向量数量积的几何意义知, —MM -AT N 等于A iW 与 石N 在A lvt 方向上的投影之积,所以 (AM AN )m a x = AM -- C -- C 、——C ——C 1——C 2 ——C 2 3——C ——C AB + AD J(A B + AD) = Q AB + AD + Q AB -AD = 9. 5、已知△ ABC 是边长为 2的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,贝y "P A ("P B +代)的最小值是() 3 B.- 2 5解答:选B 如图,以等边三角形 ABC 的底边BC 所在直线为x 轴,以BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直 设 P(x , y),则-A = (— x,V 3 — y), _3^ = (— 1 — x ,— y), _C = (1 —X ,— y),所以 _3 (_C +—C )= (— X , — y) (-2x ,— 2y)= 2x 2+ 2 (y —当)—O ,当 X =0,y =^ 时,-C ( P 3 角坐标系,则 A (0,寸3),B ( — 1, 0), C (1,0), ——P3 P C )取得最小值,为—3. 6、2 2_C _C若点O 和点F 分别为椭圆X + y= 1的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,求 OP —P 的最大值.4 3由题意,得 F( — 1,0),设 P(X 0, y 0),2 2 『2, ____________________________________________ C________________ C 则有X 0+ y 0= 1,解得 y 2= 3(1 —眷丿,因为 _c= (X 0 + 1, y 0), OP = (X 0, y 。
数学-平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等,解题思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足=m +n (m ,n 均为正实数),求+的最小值.AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,所以=+=-,AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以=m +n AP → AB → AD → =m +n AB→ (AC → -14AB →)=+n ,(m -14n )AB → AC → 由P ,B ,C 三点共线得,m -n +n =m +n =1(m ,n >0),1434所以+=1m 1n (1m +1n )(m +34n )=++≥+2743n4m mn 743n 4m ·mn=+=(当且仅当3n 2=4m 2时取等号),7437+434即+的最小值为.1m 1n 7+434反思感悟 利用向量的概念及基本运算,将所求问题转化为相应的等式关系,然后用基本不等式求最值.跟踪训练1 如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若=m +n ,则m +n 的取值范围是________.OC → OA → OB→答案 (-1,0)解析 由点D 是圆O 外一点,可设=λ(λ>1),BD → BA→ 则=+λ=λ+(1-λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ,O ,D 三点共线,令=-μ(μ>1),OD → OC→ 则=--(λ>1,μ>1),所以m =-,n =-,OC → λμOA → 1-λμOB→ λμ1-λμ则m +n =--=-∈(-1,0).λμ1-λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中,M 为边BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12,2][0,32]C.D .[0,1][12,32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E (x ,0),0≤x ≤1.则M,C (1,1),(1,12)所以=,=(1-x ,1),EM → (1-x ,12)EC → 所以·=·(1-x ,1)=(1-x )2+.EM → EC → (1-x ,12)12因为0≤x ≤1,所以≤(1-x )2+≤,121232即·的取值范围是.EC → EM → [12,32]反思感悟 建立适当的坐标系,将平面向量数量积的运算坐标化,然后利用二次函数,基本不等式等求最值或范围.跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且=λ,=,则·的最小值为________.BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意,可知DC =1,·=(+)·(+)=(+λ)·=AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → +19λDC → )·+·+λ·+·=1++-≥1+2-=,当且仅当λ=时,AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立.三、向量模的最值问题例3 向量a ,b 满足|a |=1,a 与b 的夹角为,则|a -b |的最小值为________.π3答案 32解析 |a -b|2=(a -b )2=a 2-2a·b +b 2=1-2×1×|b|cos +|b|2π3=|b|2-|b|+1=2+≥,(|b |-12)3434所以|a -b|≥,当|b|=时取得最小值.3212跟踪训练3 已知|a +b |=2,向量a ,b 的夹角为,则|a |+|b |的最大值为________.π3答案 433解析 将|a +b |=2两边平方并化简得(|a |+|b |)2-|a ||b |=4,由基本不等式得|a ||b |≤2=(|a |+|b |2),故(|a |+|b |)2≤4,即(|a |+|b |)2≤,即|a |+|b |≤,当且仅当|a |=|b |=时,(|a |+|b |)2434163433233等号成立,所以|a |+|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |=1,向量b 满足2|b -a |=b ·a ,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ的最小值为________.答案 255解析 ∵|a |=1,∴设a =(1,0),b =(x ,y ),∴b -a =(x -1,y ),由2|b -a |=b ·a 得,2=x ,则x >0,(x -1)2+y 2∴4(x -1)2+4y 2=x 2,∴y 2=-x 2+2x -1,34∴cos θ=====a ·b|a ||b |xx 2+y 2xx 2-34x 2+2x -1x14x 2+2x -11-(1x )2+2x +14=,1-(1x -1)2+54∴当=1即x =1时,cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小,利用函数求最值或范围.跟踪训练4 已知向量a ,b 满足a =(t ,2-t ),|b |=1,且(a -b )⊥b ,则a ,b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a -b )⊥b ,所以(a -b )·b =0,a ·b =b 2,cos 〈a ,b 〉====a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |=,12t 2-42t +8又因为2t 2-4t +8=2[(t -)2+2]≥2[(-)2+2]=4,2222所以0<cos 〈a ,b 〉≤,所以a ,b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1.已知向量m =(a -1,1),n =(2-b ,2)(a >0,b >0),若m ∥n ,则m ·n 的取值范围是( )A .[2,+∞) B .(0,+∞)C .[2,4) D .(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ,所以2a -2=2-b ,所以2a +b =4,所以b =4-2a >0,所以0<a <2,所以m ·n =2a +b -ab =4-ab =4-a (4-2a )=2a 2-4a +4=2(a -1)2+2∈[2,4).2.如图,在△ABC 中,点D 是线段BC 上的动点,且=x+y ,则+的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A .3 B .4 C .5 D .9答案 D解析 由图可知x ,y 均为正,且x +y =1,∴+=(x +y )=5++1x 4y (1x +4y )y x 4xy≥5+2=9,当且仅当=,y x ·4x y y x 4x y 即x =,y =时等号成立,1323则+的最小值为9.1x 4y3.在△ABC 中,AB =,BC =2,∠B =150°,点D 是AC 边上的一点(包括端点),点M 3是AC 的中点,则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D .[0,1](0,12)[0,12][12,1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点,所以=+,BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点),所以=λ,λ∈[0,1],CD → CA→ -=λ-λ,=λ+(1-λ),BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·=·[λ+(1-λ)]BM → BD → (12BA → +12BC →)BA → BC → =λ2+·+(1-λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB =,BC =2,∠B =150°,3所以2=3,·=-3,2=4,BA → BA → BC → BC → 所以·=-λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1,则0≤-λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0,12]4.设O (0,0),A (1,0),B (0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,=λ,AP → AB→ 若·≥·,则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B .1-≤λ≤11222C.≤λ≤1+ D .1-≤λ≤1+12222222答案 B解析 ∵=λ,=(1-λ)+λ=(1-λ,λ),=λ=(-λ,λ),·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ,PB →∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥(λ,-λ)·(λ-1,1-λ),∴2λ2-4λ+1≤0,解得1-≤λ≤1+,因为点P 是线段AB 上的一个动点,所以22220≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1-≤λ≤1.225.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD =,AB =2,AD =1,若M ,N 分别是边AD ,CD π3上的点,且满足==λ,其中λ∈[0,1],则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A .[-3,-1] B .[-3,1]C .[-1,1] D .[1,3]答案 A解析 以A 为原点,AB ,垂直于AB 所在的直线分别为x ,y 轴建立平面直角坐标系(图略),则B (2,0),A (0,0),D .(12,32)∵满足==λ,λ∈[0,1],MDAD NCDC ∴=+=+(1-λ)=+(1-λ)=+(1-λ)(2,0)=,AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12,32)(52-2λ,32)=+=-+(1-λ)=(-2,0)+(1-λ)=,BM → BA → AM → AB → AD → (12,32)(-32-12λ,32(1-λ))·=·AN → BM → (52-2λ,32)(-32-12λ,32(1-λ))=+×(1-λ)(52-2λ)(-32-12λ)3232=λ2+λ-3=2-.(λ+12)134∵λ∈[0,1],二次函数的对称轴为λ=-,12则函数在[0,1]上单调递增,故当λ∈[0,1]时,λ2+λ-3∈[-3,-1].6.设0≤θ<2π,已知两个向量=(cos θ,sin θ),=(2+sin θ,2-cos θ),则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C .3 D .22323答案 C解析 ∵=-=(2+sin θ-cos θ,2-cos θ-sin θ),P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||==≤3.P 1P 2——→ (2+sin θ-cos θ)2+(2-cos θ-sin θ)210-8cos θ2当cos θ=-1时,||有最大值3.P 1P 2——→ 27.已知△ABC 的三边长AC =3,BC =4,AB =5,P 为AB 边上任意一点,则·(-)CP→ BA → BC → 的最大值为________.答案 9解析 根据题意,建立直角坐标系,如图,∴A (0,3),B (4,0),C (0,0),∴=(4,-3),AB→ =+=+λ=(0,3)+(4λ,-3λ)=(4λ,3-3λ),λ∈[0,1],CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(-)=·=(4λ,3-3λ)·(0,3)=9-9λ∈[0,9],CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(-)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8.若a =(2,2),|b |=1,则|a +b |的最大值为________.答案 2+12解析 因为|b |=1,设b =(cos θ,sin θ),则a +b =(2+cos θ,2+sin θ),则|a +b|===(2+cos θ)2+(2+sin θ)24(cos θ+sin θ)+9≤==2+1,当且仅当sin=1时取等号.42sin (θ+π4)+99+42(22+1)22(θ+π4)9.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a ·(a +b )=2.求|a -λb |的最小值.解 由|a |=1,a ·(a +b )=2,可知a ·b =1,根据向量求模公式得|a -λb |=,4λ2-2λ+1易知,当λ=时,|a -λb |取得最小值为.143210.△ABC 中,AB =2,AC =2,∠BAC =45°,P 为线段AC 上任意一点,求·的取2PB→ PC → 值范围.解 设=t (0≤t ≤1),PC→ AC → 则=(1-t ),AP → AC → 因为=-=-(1-t ),PB → AB → AP → AB → AC → 所以·=[-(1-t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → =t ·-t (1-t )2AB → AC → AC → =2×2t ·cos 45°-t (1-t )×(2)222=8t 2-4t =82-.(t -14)12因为0≤t ≤1,所以-≤·≤4,12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [-12,4]11.如图,在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,∠BAC =θ,点D 为BC 的三等分点.则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(-113,133)(13,73)C.D.(-53,73)(-53,553)答案 C解析 ∵=+=+AD → AB → BD → AB → 13BC→=+(-)=+,AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·=·(-)AD → BC → (23AB → +13AC →)AC → AB → =-||2+||2+·23AB → 13AC → 13AB → AC →=-×4+×9+×2×3cos θ=2cos θ+.23131313∵-1<cos θ<1,∴-<2cos θ+<.531373∴·∈.AD → BC → (-53,73)12.如图,延长线段AB 到点C ,使得=2,D 点在线段BC 上运动,点O ∉直线AB ,满AB → BC→ 足=λ+μ,则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[-32,0][-2,23]C.D .[-1,1][-34,0]答案 C解析 不妨设AB =2BC =2,BD =x ,x ∈[0,1],由平面向量三点共线可知,= + ,OB → 22+x OD → x2+x OA→ ∴=-,OD → 2+x 2OB → x 2OA → ∴λ=-,μ=,x ∈[0,1],x22+x2则λμ=-=-(x 2+2x ),(2+x )x414∴λμ∈.[-34,0]13.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |=1,若a ·b =,则(a +b )·(2b -c )的取值范围是( )12A .[1,2+]B .[1,3+]33C .[3-,2+]D .[3-,3+]3333答案 D解析 因为a ·b =,设a 与b 的夹角为θ,12则a·b =|a|·|b|cos θ=,解得θ=,而|a|=|b|=|c|=1,则可设a =(1,0),由θ=可得b =12π3π3.(12,32)由|c |=1,设c =(sin α,cos α),则(a +b )·(2b -c )=2a·b +2b 2-a·c -b·c=1+2-sin α-(12sin α+32cos α)=3-=3-sin.(32sin α+32cos α)3(α+π6)所以当α=时取得最大值为3+,当α=时取得最小值为3-,所以(a +b )·(2b -c )的4π33π33取值范围为[3-,3+].3314.已知|a |=|b |=a ·b =2,c =(2-4λ)a +λb ,则(c -a )·(c -b )的最小值为________.答案 -4952解析 ∵c -a =(1-4λ)a +λb ,c -b =(2-4λ)a +(λ-1)b ,∴(c -a )·(c -b )=[(1-4λ)a +λb ]·[(2-4λ)a +(λ-1)b ]=(16λ2-12λ+2)a 2+(-8λ2+7λ-1)a ·b +(λ2-λ)b 2,代入|a |=|b |=a ·b =2,原式=52λ2-38λ+6,∴当λ=时,原式取得最小值,为-.1952495215.已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置,AB =4,点A ,B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动,则·的最大值是________.OA → OC →答案 12解析 设∠OAB =θ,θ∈,(0,π2)则A (4cos θ,0),C ,(4cos θ+4cos (2π3-θ),4sin (2π3-θ))所以·=4cos θ·OA → OC → [4cos θ+4cos (2π3-θ)]=4cos θ(2cos θ+2sin θ)3=4cos 2θ+4+4sin 2θ3=8sin +4,θ∈,(2θ+π6)(0,π2)故当2θ+=,即θ=时,·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16.已知向量a =(,-1),b =.3(12,32)(1)求与a 平行的单位向量c ;(2)设x =a +(t 3+3)b ,y =-k ·t a +b ,若存在t ∈[0,2],使得x ⊥y 成立,求k 的取值范围.解 (1)设c =(x ,y ),根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c =或c =.(32,-12)(-32,12)(2)∵a =(,-1),b =,3(12,32)∴a·b =0.∵x ⊥y ,∴-kt |a |2+(t 2+3)|b |2=0.∵|a |=2,|b |=1,∴t 2-4kt +3=0.问题转化为关于t 的二次方程t 2-4kt +3=0在[0,2]内有解.令f (t )=t 2-4kt +3,则当2k ≤0,即k ≤0时,∵f (0)=3,∴方程t 2-4kt +3=0在[0,2]内无解.当0<2k ≤2,即0<k ≤1时,由Δ=16k 2-12≥0,解得k ≤-或k ≥,∴≤k ≤1.323232当2k >2,即k >1时,由f (2)≤0得4-8k +3≤0,解得k ≥,∴k >1.78综上,实数k 的取值范围为.[32,+∞)。
平面向量中的最值问题及求解策略

37图4ab 于是,当a I 2解:由已知有I a + tb2 cos 2^ 三2 cos 202 sin 20例2 已知丨石丨=3, I ACI = 5,则丨呢丨的a + tb)1例 1 已知a = (2,1),6 = (1,2),要使 Ib I cos 。
+ I a I 22019年第6期中学数学研究平面向量中的最值问题及求解策略广东省深圳市南头中学(518052) 田彦武b I ,则z = % + y.于是问题转化为:已知x,y 满足 rX 2 + y 2 = 10,|1W%W3,求z 的最大值和最小值.1 W y W 3,不等式组所确定的区域直线的距离等于半径,即汀阿所以—6^\a + b\ +1 a-b\的最小值是4,最大值是2点.解法8:同解法3或解法6可得丨a + b\ +\a-b I = 丿5 + 4cos0 + /5 - 4cos0,设% =/5 + 4cos0 ,y = /5 - 4cos0,贝Q x + y 2 = 10,且lW%W3,lWyW3,设z=l a + 6 I +1 a - b \,则z = % +y,下同法6用线性规划思想方法求解,略.最值问题,因为其题型的多样性,解决方法的 灵活性和题目难度的综合性而受到高考的青睐,是 高考考察的重点和热点问题.平面向量是高中数学教材中的新增内容,它的引入,不仅给高中数学教学 带来了无限生机,而且给高考数学命题注入了新的活力,这是因为向量具有代数与几何形式的双重身份,它能将数学的很多知识联系起来,成为数学知识 的一个交汇点•本文主要探讨平面向量中的最值问题,和大家共享.1.向量模的最值问题(t +■,所以当 f = - -时,1 a +tb \ 最小,且最小值为点评:本题利用向量模的定义及向量数量积的坐标运算,转化为关于t 的二次函数来求模的最小 值.取值范围是_________•解:当為与花方向相同时,I BC\取最小值为2;当石与花方向相反时,I BC\取最大值为8,故I BC\的取值范围是[2,8],点评:本题利用模不等式I I a I -I 6 I I ^1 a -b \ ^\a\ +\b\来求最值,其中当:与了同向时,有\ a -b\ =\\a\ -\b\ \ ,即此时丨:-X 丨取得最小值;当a 与6反向时,有丨a - b \ = I a I +1 6 I,即此时丨a -b \取得最大值.例3已知了是两个给定的向量,它们的夹角为0,向量C 二a + tb(t w R),求I c I 的最小值,并求此时向量了与c 的夹角.解:因为 c = a + tb ,所以丨 c I 2 = I a + tb \ 2 =\ a \ 2 + 2ta • b + t 2 \ b I 2 =丨 b \2t 2 + 2t \ a I •遊=0,即 t = 一3 cose 时,I b 是图4中的劣弧忑,其中A(3,1),B(1,3).由图知当直线y 二_%+z 与直线4B 重合时,截距Z 二4最小;当直线y=-X + Z 与弧相切于点C时,截距z 最大,此时圆心到tb I 最小,则实数£的值为_________•=1 加(“3 cose ' + i ;|2I b38QO图24图即2.2aPQ\-\BCa • ba I I sin0 I ,此时有疋所以菇• CQ = (AP - AB) ■ (AQ - AC) = AP•AQ-AP-AC-AB-AQ-AB-AC = - a -AP -AC + AB - AP = - a +AP • (AB - AC)x , - y - b) ,BCcos (120° - aex - by .---- =^cx - by a2 +APOB = x OA • OB + y OB • OBQ( - x , - y),且丨 PQ I = 2a , I BC I = a,BP = (%c,y) ,CQ中学数学研究2019年第6期I c I 2取得最小值I a I 2 sin 20,即I c I 取得最小值¥ f v 严 I a I cos0 f 、 b ■ c = b ・(a — b )I b 1 a ' C °S0)b-b=\a\-\b\ cos 。
高考冲刺平面向量中范围、最值等综合问题

平面向量中的范围、最值问题一.方法综述平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,也是难点,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)的最值或应用基本不等式,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.二.解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】(2020·天津高考模拟)如图,在ABC ∆中,3BAC π∠=,2AD DB =u u u r u u u r,P 为CD 上一点,且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ,若ABC ∆的面积为||AP uuu r的最小值为( )AB .43C .3D【解析】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u uv u u u v()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ,得到211,32k k m -==,所以14m =, 结合ABC ∆的面积为12AC AB u u uv u u u v ⋅=,得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ,所以AP ==u u u v D . 【点睛】三点共线的一个向量性质:已知O 、A 、B 、C 是平面内的四点,则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在一对实数λ1、λ2,使OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ1OC ⃑⃑⃑⃑⃑ +λ2OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,且λ1+λ2=1.【举一反三】1.(2020·天津南开中学高考模拟)如图,在等腰三角形ABC 中,已知2AB AC ==,120,,A E F ∠=︒分别是,AB AC 上的点,且AE AB =uu u r uu u rλ,AF AC μ=u u u r u u u r(其中λ,()0,1μ∈),且41λμ+=,若线段,EF BC的中点分别为,M N ,则MN u u u u r的最小值为________.【分析】由向量的数量积公式求出2AB AC ⋅=-u u u r u u u r,连接,AM AN ,利用向量加法的运算法则得出,AM AN u u u u r u u u r ,再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得222161MN μμ=-+u u u u r ,结合二次函数的性质可得2MN u u u u r 的最小值,进而可得结果. 【详解】连接,AM AN ,Q 等腰三角形ABC 中,2,120AB AC A ===o,||||cos1202AB AC AB AC ︒∴⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r,AM Q 是AEF ∆的中线, 11()()22AM AE AF AB AC λμ∴=+=+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r同理,可得1()2AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r,由此可得11()()22MN AN AM AB AC AB AC λμ=-=+-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22AB AC λμ=-+-u u u r u u u r ,2211(1)(1)22MN AB AC λμ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u r 2222111(1)(1)(1)(1)424AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r()22(1)(1)1(1)λμλμ=----+-41λμ+=Q ,可得14λμ-=, ∴代入上式得222(4)4(1)(1)MN μμμμ=--+-u u u u r 22161μμ=-+, ,(0,1)λμ∈Q , ∴当17μ=时, 2MN u u u u r 的最小值为47,.2.(2020·浙江高考模拟)已知平面向量,a b rr 不共线,且1a =r,1a b ⋅=rr ,记b r与2a b +rr的夹角是θ,则θ最大时,a b -=rr ( )A .1BCD .2【分析】把cos θ表示为|b|r 的函数,利用函数的性质求出当θ最大时|b|r 的值,进而可求出|a-b|r r的值.【详解】设|b|=x r ,则()22·22?2b a b a b b x +=+=+r r r r r r,|2+a b =r r所以()2·2cos 2b a b b a b θ+==+r r r r r r 易得cos 0θ>, ()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭, 当24x =时,2cos θ取得最小值,θ取得最大值,此时|a b -==r r 故选C.3.已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点(向量),确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设;以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵与的夹角为,则A (4,0),B (2,2),设C (x,y ) ∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,以1为半径的圆,表示点A,C 的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离;∵圆心到B 的距离为,∴的最大值为.【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键.,,a b c r r r 4,22,a b ==r r a r b r 4π()()1c a c b -⋅-=-r r r rc a -r r ===,,4,a b ==r r a r b r 4π()()1c a c b -⋅-=-r r r rc a -r r2)01()43(22=-+-c a -r r12+类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________.【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解.【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以.【举一反三】1.已知非零向量,在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为【解析设和夹角为,因为有极值,所即2.非零向量满足=,,则的夹角的最小值是.【解析】由题意得2212a b a b⋅=r r r r,()24a b+=r r,整理得22422a b a b a b+=-⋅≥⋅r r r r r r,即1a b⋅≤r11cos,22a ba b a ba b⋅==⋅≤r rr r r rr r,,3a bππ∴≤≤r r,夹角的最小值为3π.3.已知向量OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为θ,|OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=1,|ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2,OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =t ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,(0≤t≤1).|PQ⃑⃑⃑⃑⃑ |在t=t0时取得最小值.若0<t0<15,则夹角θ的取值范围是______.【解析】OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =tON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,(0≤t≤1)∴PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OP⃑⃑⃑⃑⃑ =tON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,∴|PQ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=4t2+(1−t)2−2t(1−t)ON⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(5+4cosθ)t2−(2+4cosθ)t+1,∵在t=t0时取得最小值,∴0<t0=1+2cosθ5+4cosθ<15解可得:−12<cosθ<0,则夹角θ的取值范围→OA→OBθ→→→→→→→-====PQOBtOQOAtOPOBOA,)1(,,1,2t在015t<<θPQu u u rt PQu u u r1)cos42()cos45(2+--++=ttθθθθcos45cos210++=t15t<<θθθcos2cos12=⨯⨯=⋅→→OBOA→→→→→--=-=OAtOBtOPOQPQ)1(2222222(1)2(1)(1)44(1)cosPQ t OB t OA t t OA OB t t t tθ=-+--⋅=-+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1)cos42()cos45(2+--++=ttθθθθcos45cos210++=t51cos45cos210<++<θθcos21<<-θ322πθπ<<,a br rarbrarbrθ()f xbaϖϖ,baϖϖ⋅222baϖϖ2||||=+baϖϖbaϖϖ与(π2,2π3)类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】(2020天津模拟)设1,2OA OB ==u u u v u u u v , 0OA OB ⋅=u u u v u u u v , OP OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ,且1λμ+=,则OAu u u v在OP uuu v上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B.⎤⎥⎝⎦ C. ⎤⎥⎝⎦ D. ⎛⎤⎥ ⎝⎦当λ0=时, 0,x =当1λ0x >===,故当λ1=时,1x 取得最小值为1,即1101x x≥∴<≤,当λ0<时, 1x ====,即1x <05x ∴-<<,综上所述]( ,15x ∈-故答案选D 【举一反三】1.若平面向量e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 满足|e 1⃑⃑⃑ |=|3e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=2,则e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影的最大值为( ) A .−4√23B .−3√24C .8√2D .48√2【解析】因为|e 1⃑⃑⃑ |=|3e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=2,所以|e 1⃑⃑⃑ |2=4,9|e 1⃑⃑⃑ |2+|e 2⃑⃑⃑ |2+6e 1⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑ =4,e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影为e 1⃑⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑⃑ |e2|=2cosθ,其中θ为e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 的夹角.又36+|e 2⃑⃑⃑ |2+12|e 2⃑⃑⃑ |cosθ=4,故|e 2⃑⃑⃑ |2+12|e 2⃑⃑⃑ |cosθ+32=0.设t =|e 2⃑⃑⃑ |,则t 2+12tcosθ+32=0有非负解,故{cosθ≤0144cos 2θ−128≥0,故cosθ≤−2√23,故e 1⃑⃑⃑⃑ ·e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2|≤−4√23,故选A . 2.(2020·北京高考模拟)在同一平面内,已知A 为动点,B ,C 为定点,且∠BAC=3π,2ACB π∠≠,BC=1,P 为BC 中点.过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ,则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是( ) A .13B .12CD .23建立如图所示的平面直角坐标系,则B (-12,0),C (12,0),P (0,0), 由BAC 3π∠=可知,ABC 三点在一个定圆上,且弦BC 所对的圆周角为3π,所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上,且圆心到直线BC的距离为126tan 3BCπ=,即圆心为,=所以点A的轨迹方程为:22163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭,则213x ≤ ,则03x -≤< , 由AQ uuu r 在BC uuu r 方向上投影的几何意义可得:AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影为|DP|=|x|,则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是C . 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例4】(2020·天津高考模拟)已知边长为2的菱形ABCD 中,点F 为BD 上一动点,点E 满足2BE EC =u u u r u u u r,23AE BD ⋅=-u u u r u u u r ,则AF EF ⋅u u u r u u u r 的最小值为( )A .23-B .43- C .15275-D .7336-【详解】由题意知:23BE BC =u u u r u u u r,设DAB θ∠=()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8824cos 4cos 333θθ=-+-=-1cos 2θ∴= 3πθ⇒=以AC 与BD 交点为原点,AC 为x 轴,BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系:()A ∴,13E ⎫-⎪⎪⎝⎭,设()0,F t则)AF t =u u u r,13EF t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r当16t =-时,()min11732361836AF EF⋅=--=-u u u r u u u r ,本题正确选项:D 【举一反三】1.(2020·四川高考模拟)已知ABC ∆是边长为EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径,M 为ABC ∆的边上的动点,则ME FM ⋅u u u r u u u u r的最大值为( ) A .3B .4C .5D .6如图所示,以AB 边所在直线为x 轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形ABC 的边长为())()()(),,0,3,0,1,0,3A BC E F ∴-,当点M 在边AB 上时,设点()0,0M x ,则()()000,1,,3,x ME x FM x u u u r u u u u r ≤≤=--=-∴ 203,ME FM x ⋅=-+u u u r u u u u rQ 0x ME FM≤≤∴⋅u u u r u u u u r 的最大值为3;当点M 在边BC 上时,因为直线BC的斜率为所以直线BC 的方程为30y +-=,设点()00,3M x ,则00x ≤≤()()20000004,,2ME x FM x ME FM x =--=∴⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ,00x ME FM ≤≤∴⋅u u u r u Q u u u r的最大值为0;当点M 在边AC 上时,因为直线AC,所以直线AC的方程为30y -+=,设点()00,3M x ,则()()000000,,4,,x ME x FM x ≤≤=--=∴u u u r u u u u r Q 2004,ME FM x ⋅=--u u u r u u u u r Q00,x ≤≤∴ME FM ⋅u u u r u u u u r的最大值为3;综上,最大值为3,故选A.2、(2020辽宁省鞍山市高三一模)△ABC 中,AB =5,AC =4,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<λ<1),且AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =16,则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值等于( ) A .−754B .−214C .−94D .−21【解析】由题意知,向量AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<λ<1),且AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =16, 可得点D 在边BC 上,|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠DAC =16, 所以|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠DAC =4,则cos∠DAC =1,即BC ⊥AC , 所以ΔABC 时以C 为直角的直角三角形.如图建立平面直角坐标系,设A(x,4),则(x −3,0),则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x(x −3),(0<x <3),当x =32时,则DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑ 最小,最小值为−94.故选:C .3、已知圆O 的半径为2,P,Q 是圆O 上任意两点,且∠POQ =600,AB 是圆O 的一条直径,若点C 满足OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ−1)OP⃑⃑⃑⃑⃑ +λOQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (λ∈R ),则CA ⃑⃑⃑⃑⃑ •CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为( ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】(2020·河南高考模拟)在ABC ∆中,点P 满足2BP PC =u u u r u u u r,过点P 的直线与AB ,AC 所在直线分别交于点M ,N ,若AM mAB =u u u u r u u u r ,(0,0)AN nAC m n =>>u u ur u u u r ,则2m n +的最小值为( )A .3B .4C .83D .103【解析】分析:用AM u u u u v ,AN u u u v 表示出AP u u u v,根据三点共线得出,m n 的关系,利用基本不等式得出2m n +的最小值.()21212,33333AP AB BP AB AC AB AB AC AM AN m n =+=+-=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u Q u u v u u u u v u u u u v,,M P N Q 三点共线,121,,3332nm m n n ∴+=∴=-则()()225232326333322,323232n n n n n m n n n n n -+-+-+=+==--- ()()215253223,332333n n ⎡⎤=-++≥⨯+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 当且仅当()()13232n n -=-即1m n ==时等号成立.故选A.【举一反三】1.(2020·安徽高考模拟)已知G 是ABC V 的重心,过点G 作直线MN 与AB ,AC 交于点,M N ,且AM xAB =uuur uu u r ,AN yAC =uuur uu u r ,(),0x y >,则3x y +的最小值是( )A .83B .72C .52D .43+如图M N G Q ,, 三点共线, MG GN λ∴=u u u u v u u u v,AG AM AN AG λ∴-=-u u u v u u u u v u u u v u u u v(),∵G 是ABC V 的重心, 13AG AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v (),1133AB AC xAB y AC AB AC λ∴+-=-+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()(()), 11331133x y λλλ⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩=,= 解得,31311x y --=()(); 结合图象可知11 1122x y ≤≤≤≤,;令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤,,(,); 故11133m nmn x y ++===,,;故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=+当且仅当3m n ==D 2.在矩形ABCD 中, 12AB AD ==,,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,若AP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ+的最大值为( )A. 3B.22 C.5 D. 23.(2020云南省昆明市云南师范大学附属中学)已知正方形ABCD 的边长为1,动点P 满足|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PC ⃑⃑⃑⃑ |,若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则λ2+μ2的最大值为( ) A .2√2B .√5C .7+2√10D .√5+√2解:以A 为原点建立如图所示的直角坐标系:则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设P(x,y),PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x,−y ),PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x,1−y ) ,则由|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PC ⃑⃑⃑⃑ |得√(x −1)2+y 2=√2√(x −1)2+(y −1)2,化简得:(x −1)2+(y −2)2=2,又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,∴(x,y)=λ(1,0)+μ(0,1),∴x =λ,y =μ,∴λ2+μ2=x 2+y 2表示圆(x −1)2+(y −2)2=2上的点到原点的距离得平方,其最大值等于圆心(1,2)到原点的距离加半径的平方,即λ2+μ2=x 2+y 2≤(√(1−0)2+(2−0)2+√2)2=7+2√10,故选:C . 类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】(2020·吉林高考模拟)如图所示,已知点G 是的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点,且,则x y +的最小值为( )A .2B .C .43D . 【解析】由题意得:223323AB AC AB ACAG AQ ++==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ,又,(1)AG AM AN x AB y AC λμλμλμ=+=++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以111111133333x y x y x y λμ==⇒+=⇒+=,,因此111114()()(2)(22)3333y x y x x y x y x y x y x y +=++⋅=++≥+⋅=,当且仅当时23x y ==取等号,所以选C . 【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.ABC ∆,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r1334CMNA BGQ【举一反三】1.如图,O 为ΔABC 的外心,AB =4,AC =2,∠BAC 为钝角,M 是边BC 的中点,则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为2.已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O , ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且()222c b b =-,则AO BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________.【解析】如图,延长AO 交△ABC 的外接圆与点D ,链接BD ,CD ,则∠ABD =∠ACD =90°,所以111()()cos cos 222AO BC AO AC AB AD AC AB AC AD CAD AB AD BAD ⋅=⋅-=⋅-=∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r221()2b c =-① 又222(2)42c b b b b =-=-,②把②代入①得221322(34)2233AO BC b b b ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,③又22(2)0c b b =->,所以02b <<④ 把④代入①得AO BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是2,23⎛⎫-⎪⎝⎭3.(2020大连模拟)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心,若OC mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v(m , n R ∈),则( ) A. 2m n +≤- B. 21m n -≤+<- C. 1m n +<- D. 10m n -<+<【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心,∴O 在三角形内部,不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1,又OC mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v ,∴|OC u u u v |=| mOA nOB +u u u v u u u v|,可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v+2mn OA u u u v ⋅OB uuu v,而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v |⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v |=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n ++2mn , ∴m n + <−1或m n + >1,如果m n + >1则O 在三角形外部,三角形不是锐角三角形, ∴m n + <−1,故选:C.三.强化训练1.(2019·辽宁高考模拟(理))已知12,e e r r是两个单位向量,且夹角为3π,则12e te +r r 与12te e +r r 数量积的最小值为( ) A .32-B.C .12D【解析】由题意:()()()222112122211te e te t e e t t e e e ⋅=++++⋅+r r r rrr r r()22221122111cos 2322t e t e e t e t t π=+++=++r r r r∴当2t =-时,最小值为:11344222⨯-+=-,本题正确选项:A2.(2018·四川高考模拟)已知ABC ∆是边长为2的正三角形,点P为平面内一点,且CP =u u u r,则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围是( )A .[]0,12B .30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[]0,6D .[]0,3以点B 为坐标原点, BC 所在直线为x 轴,过点B 与BC 垂直的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则()00B ,、(A 、()20C , 设() P x y ,因为CP =u u u vP 点轨迹为()2223x y -+=令2x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()1PA θθ=-u uu v()2,PB θθ=-u u u v,()PC θθ=u u u v则()16666cos 26PC PA PB sin πθθθ⎫⎛⎫⋅+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭故选A3.(2020·山东高考模拟)如图所示,两个不共线向量,OA OB u u u r u u u r的夹角为θ,,M N 分别为OA 与OB 的中点,点C 在直线MN 上,且(),OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ,则22x y +的最小值为( )AB .18CD .12【解析】由题意,设NC tNM =u u u r u u u u r(01)t ≤≤,则()OC ON NC ON tMN ON t OM ON =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r =(1)t ON tOM -+u u u r u u u u r =122t t OA OB -+u u u r u u u r ,所以12{2t x t y -==,所以222221111()()()22228t t x y t -+=+=-+,则当12t =时,22x y +取得最小值18,故选B .4.(2020·河北高考模拟)已知两点(1,0)M -,(1,0)N ,若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r,则实数m 的取值范围是( ) A .(][),55,-∞-+∞U B .(][),2525,-∞-+∞U C .[]5,5-D .[]25,25-【详解】设(),P x y ,则()()1,,1,,PM x y PN x y =---=--u u u u v u u u v由PM PN ⊥u u u u r u u u r得221x y +=,因P 在直线340x y m -+=上,故圆心到直线的距离1d =≤,故[]5,5m ∈-,故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”,常规的处理办法是找出动点所在的轨迹(通常为圆),常见的“隐形圆”有:(1)如果,A B 为定点,且动点M 满足()1MA MB λλ=≠,则动点M 的轨迹为圆; (2)如果ABC ∆中,BC 为定长,A 为定值,则动点A 的轨迹为一段圆弧.5.(2020·浙江高考模拟)如图,在△ABC 中,点,D E 是线段BC 上两个动点,且AD AE +u u u r u u u r x AB y AC =+u u u r u u u r ,则14x y+的最小值为( )A .32B .2C .52D .92【分析】根据题意求出x,y 满足的等式,然后利用基本不等式中“1”的代换,求解14x y+最小值【详解】如图可知x ,y 均为正,设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,:,,,B D E C 共线, 1,1m n λμ∴+=+=,()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ,则2x y m n λμ+=+++=,141141419()5(52222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则14x y +的最小值为92,故选D.6、(2020宁夏六盘山一模)如图,矩形ABCD 中边AD 的长为1,AB 边的长为2,矩形ABCD 位于第一象限,且顶点A,D 分别位于x 轴、y 轴的正半轴上(含原点)滑动,则OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OC⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为( )A .5B .6C .7D .8如图,设A(a,0),B(b,0),∠BAx =θ则B(a +2cosθ,2sinθ),C(2cosθ,b +2sinθ) 因为AD =1所以a 2+b 2=1则OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ(a +2cosθ)+2sinθ(b +2sinθ) =4+2acosθ+2bsinθ =4+√4a 2+4b 2sin (θ+φ)=4+2sin (θ+φ)所以OB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为4+2=6 所以选B 7.(2020·山东高考模拟)已知△ABC 中,22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r,.点P 为BC 边上的动点,则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为( )A .2B .34-C .2-D .2512-【详解】以BC 的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得()()1010B C -,,,,设()()0P a A x y ,,,, 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r,可得()()120222x y x +⋅=+=-,,,即20x y =-≠,, 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r,, ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,当16a =时,()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-.故选D .8.(2020·四川高考模拟)已知圆1C :22(5)1x y ++=,2C :22(5)225x y -+=,动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切,若M 为1C 上的动点,且10CM C M ⋅=u u u u r u u u u r,则CM u u u u v 的最小值为( )A .B .C .4D .∵圆1C :()2251x y ++=,圆2C :()225225x y -+=, 动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切,设圆C 的半径为r ,由题意得1211516CC CC r r +=++-=()(), ∴则C 的轨迹是以(()()505,0,,- 为焦点,长轴长为16的椭圆,∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ,即CM 为圆1C 的切线,要CM u u u u v 的最小,只要1CC 最小,设()00,M x y ,则CM ===u u u u v088,x =-≤≤Qmin CM ∴===u u u u v ,选A.9.(2020·天津市滨海新区高考模拟)已知ABC V 是边长为a 的正三角形,且,(,,1)AM AB AN AC R λμλμλμ==∈+=.设函数()f BN CM λ=⋅,当函数()f λ的最大值为2-时,a =()A .BC .D 【详解】,BN AN AB CM AM AC =-=-u u u v u u u v u u u v u u u u vu u u u v u u u v,因为ABC ∆是边长为a 的正三角形,且AM AB λ=u u u u v u u u v ,AN AC u u u v u u u vμ=所以()f BN CM λ=⋅u u u v u u u u v ()()AN AB AM AC =-⋅-u u uv u u u v u u u u v u u u vAN AM AM AB AN AC AB AC =⋅-⋅-⋅+⋅u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22221122a a ua a λμλ=--+ 又因1λμ+=,代入1μλ=-得()()()2222111122f a a a a λλλλλ=----+()22112a λλ=-+-所以当12λ=,最大值为21328f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以2328a -=-,解得a =.故选D 项. 10.在ABC ∆中, 3AB =, 5AC =,若O 为ABC ∆外接圆的圆心(即满足OA OB OC ==),则·AO BC u u u v u u u v的值为__________.【解析】设BC 的中点为D ,连结OD ,AD ,则OD BC ⊥u u u v u u u v,则:()()()()()2222111538222AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+-=-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v。
高考数学一轮复习第五章专题五平面向量中的范围与最值问题课件

答案:D
【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目,可考虑通 过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点 相关,则可求出已知直线的方程后,利用直线方程表示已知直线 上动点的坐标;若题目的设问与已知圆上的动点相关,则可利用 圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如,若点 P 为⊙M:(x-a)2 +(y-b)2=r2 上的动点,则点 P 的坐标可表示为(a+r cos θ,b+ r sin θ).
4 t
cosθ+
4-t2sin θ=16-8sin (θ+φ),其中 cos φ=
42-t2,
sin φ=2t ,
又 θ∈0,2π,t∈[0,2],∴cos φ,sin φ∈[0,1], ∴φ∈0,2π,∴φ+θ∈[0,π], ∴sin (φ+θ)∈[0,1], ∴-sin (φ+θ)∈[-1,0], ∴P→E·P→F∈[8,16],∴P→E·P→F的最小值为 8.故选 B.
A.3
B.3 2
C.1
D.3
解析:由题意知,A→P=A→B+B→P=A→B+B→3C=A→B+A→C-3 A→B= 2A→3B+A→3C,又A→M=xA→B,A→N=yA→C(x>0,y>0),∴A→P=2A3→xM+A→3Ny , 由 M,P,N 三点共线,得32x+31y=1,∴2x+y=(2x+y)32x+31y= 53+23xy+23yx≥53+2 23xy·23yx=3,当且仅当 x=y 时等号成立.故 2x+y 的最小值为 3.故选 A.
图 D27
设 E(t,0)(t∈[0,2]),又|EF|=2,
所以|OF|=
4-t2,可得
F 0,
4-t2,
∴P→E=(t-4cos θ,-4sin θ),P→F=(-4cos θ, 4-t2-4sin θ).
与平面向量有关的最值或范围问题

与平面向量有关的最值或范围问题与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中,这类问题常和其他知识交汇考查,解法比较灵活,对能力要求较高,往往成为试卷中的亮点.本文总结解决这类问题的几种基本方法,供同学们参考.例1.若非零向量,a b 满足31-≤a b ,则⋅a b 的最小值为 . 【解析】31-≤a b 22961⇔+-⋅≤a b a b , 又22966+≥≥-⋅a b a b a b , 所以121-⋅≤a b ,112⋅≥-a b , 当132==a b ,且,a b 方向相反时取等号, 所以⋅a b 的最小值为112-.例2.若1===+=a b c b ,求()()-⋅-a c b c 的最小值.【解析】由,=+=a b a b 得2222+⋅+=a a b b ,即222+⋅=a b ,所以0⋅=a b ,又1=c ,所以()⋅+≤+=c a b c a b ,所以()()-⋅-a c b c =()2⋅-⋅++=a b c a b c ()11-⋅+≥c a b 当c 与+a b 方向相同时取等号,所以()()-⋅-a c b c 的最小值为1-.【点评】这两道题均在平面向量与不等式知识的交汇,试题新颖,解法灵活.-≤⋅≤a b a b a b 是数量积性质⋅≤a b a b 的等价转换,其应用往往被同学们忽略,注意例1是利用≥-⋅a b a b 利用进行缩小变换,例2是利用()⋅+≤+c a b c a b 进行放大变换,解决这类问题要紧盯目标,进行有目的的放缩.二、建立直角坐标系求最值或范围例 3.已知平行四边形ABCD 中,2,1,AB AD BD === ,,E F 分别在边,BC CD 上,BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r,求AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值【解析】由2,1,AB AD BD ===60BAD ∠=o ,以A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则()2,0B ,52C ⎛ ⎝⎭,12D ⎛ ⎝⎭,由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2EB CF =u u u r u u u r ,设)()112E x x -,2,2F x ⎛ ⎝⎭,其中1522x ≤≤, 由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2CF BE =u u u r u u u r 可得212142x x =-,所以AE AF ⋅u u u r u u u r =)1212x x x +-)11121422x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=2114123x x -+-=23462x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,所以当12x =时AE AF ⋅u u u r u u u r 取到最大值5,当152x =时AE AF ⋅u u ur u u u r 取到最大值2.例4.已知a ,b 均为单位向量,0,1⋅=⋅=⋅=a b a c b c ,求证:对任意正实数m,恒有m m++≥bc a 并指出等号成立的条件.【解析】由题意,可设()()()1,0,0,1,,x y ===a b c , 由1⋅=⋅=a c b c 可得11==y x ,,即()1,1=c , 所以11,1m m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭b c a ,m m++≥=≥=bc a 当1m =时取等号.【点评】坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果(如例3).另外,若题中由互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识问求解(如例4).三、转化为三角函数求最值或范围例5.△ABC 中2π3ACB ∠=,△ABC 的外接圆O 的半径为1,若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r求x y -的取值范围. 【解析】由2π3ACB ∠=可得2π3AOB ∠=,设2π03AOC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则2π3BOC α∠=-, 则,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v即1cos ,221cos ,32x y x y απα⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以2121222πcos cos 3232333x y x y x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=221cos cos cos 332ααααα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 由2π03α<<可得ππ5π666α<+<, 根据cos y x =在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,可得πcos 6α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭, 所以x y -的取值范围是()1,1-.【点评】本题若直接从这一向量表达式出发去求x y -的最大值,显然有困难.该解法通过利用向量的数量积运算实现了用三角函数表示x y - ,进而巧妙利用三角函数的有界性求出x y -的取值范围,体现了三角函数的工具性.本题是把含,x y 的代数式借组向量用三角函数表示,有时也可以通过引进角,把向量的数量积表示为三角函数求最值或范围,请看例6:例6.已知△ABC 的外接圆O 的半径为2,CB CA =u u u r u u r,求CB CA ⋅u u u r u u r 的最小值.【解析】设COA α∠=,由CB CA =u u u r u u r可知COB α∠=,2AOB α∠=或2π2α-,所以4cos OC OA α⋅=u u u r u u u r ,4cos OC OB α⋅=u u u r u u u r ,4cos2OA OB α⋅=u u u r u u u r,所以()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-=u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2OA OB OC OA OC OB OC ⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=4cos24cos 4cos 4ααα--+=2218cos 8cos 8cos 22ααα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2≥,当π3α=时取等号. 四、构造几何图形求最值或范围OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r例7.已知单位向量a ,b 满足a ⋅b =-12,向量c 满足()()12-⋅-=--a c b c a c b c ,求c 的最大值. 【解析】设向量a ,b ,c 的起点为O ,终点分别为A ,B ,C ,由a ·b =-12得△AOB =120°,由()()12-⋅-=--a c b c a c b c 得△ACB =60°, 所以点C 在△AOB 的外接圆上,当OC 经过圆心时,|c |最大,在△AOB 中,AB =3,由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°=2.所以c 的最大值为2.【点评】该解法是利用向量的几何意义,构造共圆的四点,再利用正弦定理去求解.由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.五、利用基本不等式求最值或范围例8.已知△ABC 中,边BC 中点为D ,点E 在中线AD 上,若AD u u u r =4,求()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值.【解析】由边BC 中点为D ,可得2EB EC ED +=u u u r u u u r u u u r,因为点E 在中线AD 上,所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r =22cos π2EA ED EA ED EA ED ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222822EA ED AD ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,点E 为AD 中点时取等号, 所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为8-.【点评】本题根据,EA ED u u u r u u u r反向,把数量积转化为转化为长度之积,再利用基本不等式求最值,体现了向量与基本不等式的交汇,一般来说,要利用这种方法求最值,首先需要把数量积转化为正数的和或积,再利用)0,0a b a b +≥>>,22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()()2222a b a b +≤+求最值. 六、平面向量最值或范围练习题1.已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=u u u r u u u r,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是() A .(1⎤⎦B .(1⎤⎦ C.1⎤⎦D .)1,+∞2.如图,在平面四边形ABCD 中,,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为 ( )A .2116 B .32C .2516 D .3 3.已知a b u r r 、均为单位向量,且0.a b ⋅=r r若435,c a c b -+-=r r r r 则c a +r r 的取值范围是( )A.3,⎡⎣B .[]3,5C .[]3,4D.5⎤⎦4.在锐角ABC V 中,602B AB AC u u u v u u u v ,=︒-=,则AB AC u u u v u u u v⋅的取值范围为( ) A .()0,12B .1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .(]0,4D .(]0,2 5.ABC ∆中,5AB =,10AC =,25AB AC ⋅=u u u r u u u r,点P 是ABC ∆内(包括边界)的一动点,且32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ,则||AP uuu r的最大值是( )ABCD6.已知a r , b r 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r,则c r 的最大值是( )A .1B .2C .D .7.如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC u u u rE 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA u u u r|的取值范围是_____,EA ED ⋅u u u r u u u r的最小值为_____.8.已知非零平面向量a r ,b r ,c r 满足0a b ⋅=r r ,a c b c ⋅=⋅r r r r,且||2a b -=r r ,则a c c ⋅r rr 的最大值为________.9.已知平面向量a b r r ,满足:2a b ==r r ,⊥r ra b ,22230-⋅+=r r r r b b c c ,则2a c +r r的最大值是__________.10.已知向量序列:1a u r ,2a u u r ,3a u u r ,n a ⋅⋅⋅u u r ,⋅⋅⋅满足如下条件:12a =u r ,d =u r ,121a d ⋅=-u r u r ,且1(2,3,4,)n n a a d n --==⋯u u r u u u r r,则1a u r ,2a u u r ,3a u u r ,⋅⋅⋅,n a u u r ,⋅⋅⋅中第______项最小.【答案】1.C 【解析】法一:将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1. 故选:C法二:设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件:ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,11d ≤≤. 故选:C2.A 【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形,而,AB BC AD CD ⊥⊥,所以BCD V 为等边三角形,BD =(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=233322t t -+(01)t ≤≤,所以当14t =时,上式取最小值2116,选A. 3.B 【解析】因为a b u r r 、均为单位向量,且0a b ⋅=r r ,所以设()1,0a =r,(0,1)b =r ,(,)c x y =r ,代入435,c a c b -+-=r r r r5=,即点(),x y 到点(4,0),(0,3)A B 的距离和为5,所以点(),x y 的轨迹是点(4,0),(0,3)之间的线段,线段AB 的方程为1(04)43x yx +=≤≤即34120(04)x y x +-=≤≤,c a +=r r(1,0)M -到线段AB 上点的距离,最小值为点(1,0)M -到线段34120(04)x y x +-=≤≤的距离,min31235c a--+==r r,最大值为5MA =.所以c a +r r的取值范围为[]3,5.故答案为:B.4.A 【解析】以B 为原点,BA 所在直线为x 轴建立坐标系,△602B AB AC BC =︒-==u u u v u u u v u u u v,,△C , 设0A x (,)△ABC V 是锐角三角形,△120A C +=︒,△3090A ︒︒<<,即A 在如图的线段DE 上(不与D E ,重合), △14x <<,则221124AB AC x x x u u u v u u u v ()⋅=-=--, △AB AC u u u v u u u v⋅的范围为012(,). 故选A .5.C 【解析】依题意510cos 25AB AC A ⋅=⨯=u u u v u u u v,1πcos ,23A A ==.由余弦定理得BC ==222AB BC AC +=,三角形ABC 为直角三角形.设35AD AB =,过D 作//DP AC ',交BC 于'P ,过'P 作//EP AB ',交AC 于E .由于()3255AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v,根据向量加法运算的平行四边形法则可知,P 点位于线段DP '上,由图可知AP u u u r 最长时为AP 'u u u v .由于π3,2,3AD BD CAB P DB ∠'==∠==,所以πtan 3BP BD '==.所以AP '==u u u v故选C.6.C 【解析】试题分析:由于垂直,不妨设,,,则,,表示到原点,表示圆心,为半径的圆,因此的最大值,故答案为C.7.⎡⎣23 4.【解析】根据菱形性质可得OC=则BO=(1)作AF△BC,则AF==此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故AE≤≤,即|EAu u u r|△⎡⎣;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则AB(C(0,D,0),所以BC:y2x=-设E(m,2m-则2123,,22224EA ED m m m m⎛⋅=-+=++⎝⎭u u u r u u u r,其中m⎡⎤∈⎣⎦对称轴为m⎡⎤=⎣⎦,故当m=EA ED⋅u u u r u u u r最小,最小值为234.故答案为:;234.8.1【解析】建立平面直角坐标系,根据题意可设:(),0,a m=r()0,,b n m=r、n>0,(),c x y=r,△224mx nym n-=⎧⎨+=⎩,△a cc===⋅r r r , 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1≤,即a c c ⋅r rr 的最大值为1,故答案为:1 9.6【解析】因为2a b ==r r ,⊥r ra b ,不妨令=u u u r r OA a ,OB b =u u u r r ,以OA u u u r 方向为x 轴,OB uuu r方向为y 轴,建立平面直角坐标系, 则(2,0)=r a ,(0,2)=r b ,设(,)==r u u u rc OC x y ,由22230-⋅+=r r r r b b c c 可得22860-++=y x y ,即22(3)1x y +-=, 所以向量rc 所对应的点(,)C x y 在以(0,3)N 为圆心,以1为半径的圆上运动,又2+=r r a c (,)C x y 与定点(4,0)M -之间的距离,因此max116=+==CMMN .故答案为610.5【解析】1n n a a d --=u u r u u u r r Q ,所以1(1)k a a k d =+-u u r u r r, 因为121a d ⋅=-u r r ,所以112a d ⋅=-u r r ,所以221(1)na a n d ⎡⎤=+-⎣⎦u u r u r u r 22211(1)2(1)a n d n a d =+-+-⋅u r u r r r214(1)(1)8n n =+---21(5)28n =-+.∴当5n =时,2n a u u r 取最小值2.故答案为:5.。
高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招.doc

高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招一.方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能,能综合考察学生分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,也是难点,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二.解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键,从而转化为求外接圆直径处理.类型二与向量夹角有关的范围问题【指点迷津】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.类型三与向量投影有关的最值问题类型五平面向量系数的取请点击此处输入图片描述值范围问题【指点迷津】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;学*科网(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题;(3)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.类型六平面向量与三角形四心的结合:【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.。
高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件

巩固训练4 平面向量a,b满足|a|=|b|,且|a-3b|=1,则cos 〈b,3b-a〉的最 小值是________.
答案:2 2
3
1 . 已 知 向 量a , b , c满 足a =(3 ,0) ,b =(0 ,4) ,c =λa +(1 -
λ)b(λ∈R),则|c|的最小值为( )
A.56
B.152
C.356
D.458
答案:B
解析:由条件可知c=(3λ,4-4λ),则|c|= 9λ2 + 4 − 4λ 2= 25λ2 − 32λ + 16
=
25
λ − 16
25
2 + 12454,当λ=1265时,|c|min=152.故选B.
2.[2023·湖南长沙模拟]正八边形ABCDEFGH上存在一动点P(点P与 A,C不重合),已知正八边形边长为2,则AC·AP的最大值为( )
答案:9
状元笔记 极化恒等式 极化恒等式的证明过程与几何意义 证明过程:如图,设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b.
|AC|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2, |DB|2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2, 两式相减得a·b=14[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式. 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边 形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14.
且BC=4BD,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若AM=
λAB,AN=μAC(λ>0,μ>0),则μ-1λ的最小值是( )
A.2
3−4 3
B.2
3+4 3
C.233-7
D.2
高考数学核心题型 平面向量中的最值问题

C(1,4).又 kBC=-43,故 BC:y=-43(x-4).又A→P=mA→B+nA→D,A→B=(4,0),A→D=
(0,4),所以A→P=(4m,4n),故 P(4m,4n).又点 P 在直线 BC 上,即 3n+4m=4,即
4
m1 +1n
=
(3n
+
4m)
m1 +1n
=
7
+
3n m
+
4m n
2. 如图,在同一平面内,点 A 位于两平行直线 m,n 的同侧,且 A 到 m,n 的距离 分别为 1,3.点 B,C 分别在 m,n 上,|A→B+A→C|=5,则A→B·A→C的最大值是________.
21 4
解析:解法 1:以直线 n 为 x 轴,过 A 且垂直于 n 的直线为 y 轴,建立如图所
x1+2cosθ+y1+2sinθ-1=0, xy11--csoinsθθ×-1=-1,
可得xy11= =11- -scionsθθ,, 即 Q(1-sinθ,1-cosθ).
所以O→P·O→Q=cosθ(1-sinθ)+sinθ(1-cosθ)=sinθ+cosθ-2sinθcosθ. 令 t=sinθ+cosθ= 2sinθ+π4,则 t∈1, 2,且 2sinθcosθ=t2-1. 故O→P·O→Q=f(t)=-t2+t+1=-t-122+54,所以O→P·O→Q的取值范围为 2-1,1.
x≥0,总有 3x+a2x-x3≤3a,即(x-a)(x2+ax-3)≥0 对 x≥0 恒成立,故 a 是函数
y=x2+ax-3
的零点,解得
a=
6 2.
5. 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点 E 和
第3讲 平面向量中的范围、 最值问题(解析版)

第3讲 平面向量中的范围、 最值问题一.选择题(共17小题)1.如图,四边形OABC 是边长为1的正方形,3OD =,点P 为BCD ∆内(含边界)的动点,设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈,则αβ+的最大值等于( )A .14B .43 C .13D .1【解析】解:以O 为原点,以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设点(,)P x y ,OP OC OD αβ=+,则(x ,)(0y α=,1)(3β+,0)(3β=,)α.所以,3x y βα=⎧⎨=⎩13x y αβ+=+.由于点P 在BCD ∆内(包含边界),目标函数为13x y αβ+=+,如图所示,当点P 为点(1,1)B 时,13x y αβ+=+取得最大值,其最大值为14133+=,故选:B .2.已知1,||,||AB AC AB AC t t ⊥==,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且4||||AB AC AP AB AC =+,则PB PC ⋅的最大值等于( ) A .13B .15C .19D .21【解析】解:由题意建立如图所示的坐标系,可得(0,0)A ,1(B t,0),(0,)C t ,4||||AB ACAP AB AC =+,(1,4)P ∴, ∴1(1PB t =-,4)-,(1,4)PC t =--,∴11(1)4(4)17(4)PB PC t t t t⋅=----=-+,由基本不等式可得114244t t t t +⋅=,117(4)17413t t∴-+-=,当且仅当14t t =即12t =时取等号,∴PB PC ⋅的最大值为13,故选:A .3.已知AB AC ⊥,1||AB t =,||AC t =,1[4t ∈,4];若P 是ABC ∆所在平面内一点,且4||||AB AC AP AB AC =+,则PB PC 的取值范围是( ) A .[13,17]B .[12,13]C .3[4,12]D .3[4,13]【解析】解:由题意建立如图所示的坐标系, 可得(0,0)A ,1(B t,0),(0,)C t ,4(1||||AB ACAP AB AC =+=,0)(0+,4)(1=,4), (1,4)P ∴,∴1(1PB t=-,4)-,(1,4)PC t =--,∴111(1)4(4)17(4)172413PB PC t t t t t t=----=-+-=,当且仅当14t t =,即11[24t =∈,4],时,取等号,由4t =可得1317(16)44-+=,由14t =可得17(14)12-+=,∴PB PC 的最大值为13,最小值为34.则PB PC 的范围是3[4,13].故选:D .4.已知a ,b 是平面内互不相等的两个非零向量,且||1a =,a b -与b 的夹角为150︒,则||b 的取值范围是( )A .(0B .[1C .(0,2]D .2]【解析】解:如图所示,设OA a =,OB b =,则BA OA OB a b =-=-. 由于||1a =,a b -与b 的夹角为150︒,可得OAB ∆中,1OA =,30OBA ∠=︒.由正弦定理可得:OAB ∆的外接圆的半径1r =.则点B 为圆上的动点.由图可令(1cos ,sin )b OB θθ==+,则||(1cos b =+=.∴||(0,2]b ∈.故选:C .5.设向量α,β的夹角θ定义:||||sin αβαβθ⨯= 若平面内互不相等的两个非零向量a ,b 满足:||1a =,()a b -与b 的夹角为150︒,a b ⨯的最大值为( )A .2B C D 【解析】解:设a OA =,b OB =, 则BA a b =-,||1a =,a b -与b 的夹角为150︒,OAB ∴∆中,1OA =,30OBA ∠=︒,由正弦定理可得:OAB ∆的半径为1,则B 点为圆上与OA 不重合的动点,设(0150)AOB θθ∠=︒<<︒, 由正弦定理可得,2sin AB θ=,2sin(150)OB θ=︒-, 则sin 2sin 30OAB a b OA OB S AB OB θ∆⨯===︒2sin sin(150)[cos150cos(2150)]θθθ=︒-=-︒--︒cos(2150)θ+-︒,当75θ=︒时,a b ⨯取得最大值,且为1. 故选:C .6.已知平面内互不相等的非零向量a ,b 满足||1a =,a b -与b 的夹角为150︒,则a b 的最大值为( )A .2B C .32D 【解析】解:如图所示,设OA a =,OB b =.则BA OA OB a b =-=-.||1a =,a b -与b 的夹角为150︒, OAB ∴∆中,1OA =,18015030OBA ∠=︒-︒=︒.由正弦定理可得:OAB ∆的外接圆的半径1r =.则点B 为圆上与A 点重合的动点.由图可令:1(,2a OA ==,(1cos ,sin )b OB θθ==+.∴1113cos sin()22622a b πθθθ=+=--+,当sin()16πθ-=-时取等号.∴a b 的最大值为32. 故选:C .7.已知向量OA 与OB 的夹角为θ,||2OA =,||1OB =,OP tOA =,(1)OQ t OB =-,||PQ 在0t 时取最小值,当0104t <<时,cos θ的取值范围为( ) A .1(2-,0)B .1(2-,1)4-C .1(4,1)D .1(2-,1)4【解析】解:由题意得:21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=,(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=--,∴22222(1)2(1)PQ t OB t OA t t OA OB =-+--222(1)44(1)cos (54cos )(24cos )1t t t t t t θθθ=-+--=++--+,由二次函数知,当上式取最小值时,012cos 54cos t θθ+=+,0104t <<,12cos 1054cos 4θθ+∴<<+,解得11cos 24θ-<<.cos θ∴的取值范围为11(,)24-.故选:D .8.已知向量OA 与OB 的夹角为θ,||2OA =,||1OB =,OP tOA =,(1)OQ t OB =-,||PQ 在0t 时取得最小值.当0105t <<时,夹角θ的取值范围为( )A .(0,)3πB .(3π,)2π C .(2π,2)3πD .2(0,)3π 【解析】解:由题意可得21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=,(1)PQ OQ OP t OB tOA =-==--,∴2222222(1)2(1)(1)44(1)cos PQ t OB t OA t t OA OB t t t t θ=-+--=-+--2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+, 由二次函数知,当上式取最小值时,012cos 54cos t θθ+=+,由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+,求得1cos 02θ-<<,∴223ππθ<<, 故选:C .9.设向量1e 、2e 满足:12||2,||1e e ==,1e ,2e 的夹角是90︒,若1227te e +与12e te +的夹角为钝角,则t 的取值范围是( )A .(,0)-∞B .14(,(,0)-∞-C .(,-∞D .( 【解析】解:向量1e 、2e 满足:12||2,||1e e ==,1e ,2e 的夹角是90︒,∴120e e =. 若1227te e +与12e te +的夹角为钝角,则1212(27)()0te e e te ++<,且12(27)te e +与12()e te +不共线, 即22122070te te ++<,且271t t≠,即870t t +<,且t ≠.求得0t <,2t ≠,即(t ∈-∞,(22--⋃,0), 故选:B .10.在空间直角坐标系O xyz -中,已知(1,2,3)OA =,(2,1,2)OB =,(1,1,2)OP =,点Q 在直线OP 上运动,则当QA QB 取得最小值时,点Q 的坐标为( ) A .131(,,)243B .133(,,)224C .448(,,)333D .447(,,)333【解析】解:点Q 在直线OP 上运动,∴存在实数λ使得(OQ OP λλ==,λ,2)λ,∴(1,2,32)QA λλλ=---,(2,1,22)QB λλλ=---. ∴(1)(2)(2)(1)(32)(22)QA QB λλλλλλ=--+--+--22498616106()33λλλ=-+=--, 当且仅当43λ=时,上式取得最小值, 448(,,)333Q ∴.故选:C .11.已知Rt AOB ∆的面积为1,O 为直角顶点,设向量||OA a OA ==,||OBb OB =,2OP a b =+,则PA PB 的最大值为( )A .1B .2C .3D .4【解析】解:以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,建立直角坐标系,设(,0)A m ,(0,)B n ,则(1,0)a =,(0,1)b =,2(1,2)OP a b =+=,(1,2)PA m =--,(1,2)PB n =--, Rt AOB ∆的面积为1,即有2mn =,则12(2)PA PB m n =---5(2)5225221m n mn =-+--⨯=.当且仅当22m n ==时,取得最大值1.故选:A .12.已知向量a ,b 均为单位问量,且12a b =.向量a c -与向量b c -的夹角为6π,则||a c -的最大值为( )A B .1 C D .2【解析】解:由12a b =,向量a ,b 为单位向量,可得a ,b 的夹角为60︒.设OA a =,OB b =,OC c =.由向量12a b =,向量a ,b均为单位问量11cos a ∴⨯⨯<,12b >=, ∴a <,3b π>=.设OA a =,OB b =,OC c =.向量c 满足a c -与b c -的夹角为6π, 6ACB π∴∠=.由等边三角形OAB ,点C 在AB 外且ACB ∠为定值,可得C 的轨迹是两段圆弧,ACB ∠是AB 所对的圆周角.可知:当AC 时是弧AB 所在圆(上述圆弧)的直径时,||a c -取得最大值||AC , 在ABC ∆中,由正弦定理可得:2sin30ABAC ==︒. |∴,||a c -取得最大值||AC 取得最大值是2.故选:D .13.已知平面向量(1,2)a =,(2,1)b =,(,)c x y =,满足0x ,0y .若1a c ⋅,1b c ⋅,()z a b c =-+⋅ 则( )A .z 有最大值2-B .z 有最小值2-C .z 有最大值3-D .z 有最小值3-【解析】解:21a c x y ⋅=+21b c x y ⋅=+,332x y ∴+,()(33)3()2Z a b c x y x y =-+⋅=-+=-+-Z ∴的最大值为2-故选:A .14.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()0c a c b --=,则||c 的最大值是()A .1B .2CD 【解析】解:由题意可得0a b =,可得22||22a b a b a b +=++=,2()()()c a c b c a b c a b --=+-+2||||||cos (c c a b a b =-+<+,0c >=, 即为||2cos c a b =<+,c >,当cos a b <+,1c >=即a b +,c 同向时,||c .故选:C .15.已知向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3b =,1)-则|2|a b -的最大值,最小值分别是( )A .0B .4,C .16,0D .4,0【解析】解:2(2cos a b θ-=-,2sin 1)θ+,|2|(2cos a b -==4,最小值为0.故选:D .16.已知,a b 是单位向量,0a b =,若向量c 满足||1c a b -+=,则|||c b -的取值范围是( )A .1]B .1]C .[0,2]D .1]【解析】解:由,a b 是单位向量,且0a b =,则可设(1,0)a =,(0,1)b =,(,)c x y =;向量c 满足||1c a b -+=,|(1,1)|1x y ∴-+=,∴1=, 即22(1)(1)1x y -++=,它表示圆心为(1,1)C -,半径为1r =的圆;又|||(c b x -=,1)|y -C 上的点到点(0,1)B 的距离,如图所示:且||BC ,∴1||51PB +;即||c b -的取值范围是11].故选:D .17.设1e ,2e 为单位向量,非零向量12b xe ye =+,x ,y R ∈,若1e ,2e 的夹角为6π,则||||b x 的最小值为() A .14B .12C .1D .4【解析】解:1e ,2e 为单位向量,非零向量12b xe ye =+,x ,y R ∈,若1e ,2e 的夹角为6π,∴1212||||cos6e e e e π==则222221212||()2b xe ye x y xye e x =+=++=+则2||11||442x b x +====,当且仅当y x = 故选:B .二.填空题(共7小题)18.在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则EB ED 的取值范围为 23[16,3] . 【解析】解:由题意可得AE 和AB 的夹角为60︒,设||AE x =,[0x ∈,2],22()()212cos60cos60EB ED AB AE AD AE AB AD AB AE AD AE AE x x x =--=--+=⨯-︒-︒+2233232()2416x x x =-+=-+, 故当34x =时,EB ED 取得最小值为2316,当2x =时,EB ED 取得最大值为3, 故EB ED 的取值范围为23[,3]16, 19.已知向量,,a b c 满足||6,||22a b ==,a 与b 的夹角为4π,()()4c a c b --=-,则||c a -的最小值为1 .【解析】解:由向量||6a =,||22b =,a 与b 的夹角为4π,可设(6,0)OA a ==,(22cos 4OB b π==,)(24π=,2),(,)OC c x y ==, 由()()4c a c b --=-, 得(6)(2)(2)4x x y y --+-=-; 化为22(4)(1)1x y -+-=,所以点C 在以(4,1)M 为圆心,以1为半径的圆的上;且||(c a x -=-(6,0)A 的距离,如图所示:由图形知,||c a -的最小值为22||||(64)(01)151PA MA r =-=-+--=-.1.20.已知平面向量a ,b ,c 满足a 与b 的夹角为锐角,||4a =,||2b =,||1c =,且||b ta +则实数t 的值是 14- ,向量1()()2c a c b --的取值范围是 .【解析】解:(1)设a 与b 的夹角为θ,则(0,)2πθ∈,2222222cos ||21616cos 416()442b ta b tab t a t t t cos θθθ+=++=++=+-+, 当cos 2t θ=-,上式有最小值为24cos 4θ-+,||b ta +∴2||b ta +的最小值为3, 24cos 43θ∴-+=,解得1cos 2θ=±. 又(0,)2πθ∈,cos 0θ∴>,1cos 2θ=,此时cos 124t θ=-=-.(2)由(1)可知,1cos 2θ=, a 与b 的夹角为θ,且||4a =,||2b =,||1c =,∴不妨设(4,0)a =,(2cos ,2sin )b θθ==,(cos ,sin )c αα=,R α∈,∴1()()(cos 2,sin )(cos 1,sin 3)3cos 32c a c b αααααα--=---=-+)3[33πα=-++∈-+∴向量1()()2c a c b --的取值范围是[3-+.故答案为:14-;[3-+.21.已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 103λ<且65λ≠- .【解析】解:(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为锐角,∴3100a b λ=-+>,解得103λ<, 但当52(3)λ=⨯-,即65λ=-时,两向量同向,应舍去,λ∴的取值范围为:103λ<且65λ≠-,故答案为:103λ<且65λ≠-.22.在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是 2- . 【解析】解:以OB 和OC 做平行四边形OBNC . 则ON OB OC =+ 因为M 为BC 的中点所以2ON OM =且,ON OA 反向∴()||||cos180||||OA OB OC OA ON OA ON OA ON ⋅+=⋅=︒=-,设OA x =,(02)2x OM x =-,42ON x =-∴2()(42)24(02)OA OB OC x x x x x ⋅+=--=-其对称轴1x =所以当1x =时有最小值2- 故答案为2-23.设12,e e 为单位向量,非零向量12,,a xe ye x y R =+∈,若12,e e 的夹角为4π,则||||x a 的最大值等于【解析】解:22222212||cos 2242a x e xy x y xyx y ==++=++ 只考虑0x >, 则2||2||x a x ===,当且仅当2y x =时取等号.∴则||||x a 的最大值等于24.已知1e ,2e 是夹角为3π的两个单位向量,非零向量12b xe ye =+,x ,y R ∈,若22x y +=,则||b 的最小值为 1 . 【解析】解:2222212121cos.232e e b x y xye e x y xy π===++=++. 22x y +=,22x y ∴=-.∴22222(22)(22)3643(1)1b y y y y y y y =-++-=-+=-+. ∴当1y =时,2b 取得最小值1.||b ∴的最小值为1. 故答案为:1.三.解答题(共1小题)25.设两向量1e 、2e 满足1||2e =,2||1e =,1e 、2e 的夹角为60︒,若向量1227te e +与向量12e te +的夹角为[0,)2π,求实数t 的取值范围. 【解析】解:两向量1e 、2e 满足1||2e =,2||1e =,1e 、2e 的夹角为60︒, 不妨设2(1,0)e =,1(1,3)e =,则1227(27te e t +=+,,12(1,e te t +=+.向量1227te e +与向量12e te +的夹角为[0,)2π,∴向量1212(27)()(27)(1)210te e e te t t t ++=+++>,化为223070t t ++>,解得t >t <.∴实数t 的取值范围是152t -+>152t -<.。
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问题15 平面向量中的最值、范围问题
一、考情分析
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 二、经验分享
1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
3.坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果.上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1..
2.
四、题型分析
(一) 平面向量数量积的范围问题
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),
则a ·b =x 1x 2+y 1y 2;(3)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算.
【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为
【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =(02x ≤≤),将⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题.
c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离;
∵圆心到B 的距离为,
∴c a -的最大值为
12+,故选:D .
【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键.
【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】已知向量,满足,
,则
的取值范围是 A . B .
C .[
D .[
【答案】D
【解析】设点M 为平面中任意一点,点
是关于原点对称的两个点,设
,根据题意
,根据椭圆的定义得到点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆,方程为
. ,即.故答案为D.
(三) 平面向量夹角的取值范围问题
设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则
.
【例3】已知向量→OA 与→
OB 的夹角为θ,0t 在时取得最
小值,当01
05
t <<时,夹角θ的取值范围为( ) A.0,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.2,23ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ
,转化为求二次函数的最
小值问题,当
时,取最小值,由已知条件01
05
t <<
,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解.
【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.
【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,
则a 和b 夹角的取值范围为( ) A. 0,
6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】
,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以
,即
,即1cos 2θ<
,所以,3πθπ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.
3.【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】
中,,点是内(包括边界)的一动点,且,则
的最大值是()
A. B. C. D.
【答案】C
4.【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
则
(当且仅当即时取“=”).
故的最小值为.
5.【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形中,已知是边上的点,且
, ,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
6.【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m , n 是两个非零向量,且1m =, 23m n +=,则
m n n ++的最大值为
C. 4
D. 5 【答案】B 【解析】
,
,
2
5n =-,
,
令
,则
,令()'0f x =,得x =
∴当
时, ()'0f x >,当时, ()'0f x <, ∴当x =
时, ()f x 取得最大值
,故选B.
7.【2018届安徽省淮南市高三第一次(2月)模拟】已知G 是ABC 的重心,过点G 作直线MN 与AB , AC 交于点,M N ,且AM xAB =, AN y AC =, (),0x y >,则3x y +的最小值是( )
A.
83 B. 72 C. 52 D. 43【答案】D
【解析】
令
故
故
当且仅当等号成立,故选D
8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点,且满足
0AB AC ⋅=,
,
,用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积,
则123S S S ++的最大值是( ) A.
1
2
B. 2
C. 4
D. 8 【答案】B
9.【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==, 2a b ⋅=-,
,则c 的最大值等于( )
D. 1 【答案】A
【解析】由
2
a b ==,
2
a b ⋅=-, ,可得
,如图所示,设则
,
A,O,B,C 四点共圆,
23AB =由三角形的正弦定理得外接圆的
直径
,当OC 为直径时,它的模c 最大,最大为4,故选A.
12.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为
3
π
, 2b =,对任意x R ∈,有
,则
的最小值是__________.
【答案】
2
【解析】
,表示(),0P t 与
的距离之
和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有
,故答
13.【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边
BC , CD 上运动(包括端点,且满足
,则AM AN ⋅的取值范围是__________.
【答案】[1,9]
14.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且1
2
BC CD =,点O 在线段CD 上(与点,C D 不重合),若,则x 的取值范围是__________.
【答案】()2,0-
【解析】 因为,
因为1
2
BC CD =
,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为
,所以()2,0x ∈-.
15.【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M ,N 分别是边BC ,CD 上的两个动点,且BM +DN =MN ,则
的最小值是_______.
【答案】
又由
,
设,整理得,解得,
所以,所以的最小值为.。