2020年高考数学(理)大题分解专题02 数列

解得
a1 d
4 4 .所以 an
4n .所以 a2n
42n
2n2 .
（2）因为 a2n 2n2 ， bn log2 a2n ，所以 bn n 2 ，
1
所以 bnbn1
1
1 1，
(n 2)(n 3) n 2 n 3
所以 Tn
(1 3
1) 4
(1 4
1) 5
( n
1
2
n
1
Sn 的值.
【解析】因为
Sn
n(4
2
4n)
2n2
2n
，
所以
1 Sn
1 2n2 2n
1 (1 2n
1 )， n 1
11 所以 S1 S2
1 S3
1 Sn
1 2
[(1
பைடு நூலகம்
1 2
)
(
1 2
1) 3
(
1 n
n
1 1)
1 2
(1
n 1 1)
n 2n 2 .
1.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 2.利用裂项相消法求和应注意： (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几 项，后面也剩几项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}
6
3
2n1
3(n
2)
．
又 b1 6 满足上式，所以 bn 3 2n1 3(n N*)
所以 Sn b1 b2 L
bn
3(1 2 22 L
2n1) 3n
3 3 2n 3n 1 2
3 2n 3(n 1) ．
2.（2019 年湖北宜昌高考模拟）已知数列{an}是以 3 为首项，d (d 0) 为公差的等差数列，且 a2 ，3 5 ，
【肢解 1】在已知条件下求出数列{an}的通项公式； 【肢解 2】在“肢解 1”的基础上，数列{bn} 满足 bn an 2an ，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn .
【肢解 1】在已知条件下求出数列{an}的通项公式； 【解析】设数列{an}的公差为 d ，由已知得， a22 a1a4 ， 即 (1 d )2 1 3d ，解得 d 0 或 d 1 . 又 d 0 ，所以 d 1 ，可得 an n . 【肢解 2】在“肢解 1”的基础上，数列{bn} 满足 bn an 2an ，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn . 【解析】由“肢解 1”得 bn n 2n ， 所以 Tn (1 21) (2 22 ) (3 23 ) (n 2n ) (1 2 3 n) (2 22 23 2n )
（2）由条件及（1）可得 b1 a2 3 2 6 ．
因为 bn1 bn an ，所以 bn1 bn an ，所以 bn bn1 an1 (n 2) ，
所以 bn bn bn1 bn1 bn2 b2 b1 b1
an1 an2 an3 L
a2
a1
6
3 3 2n1 1 2
1 4
n2 2n 4n1 4 3 3.
【拓展 2】已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn ，首项 a1 1，且 a1 ， a2 ， a4 成等比
数列．
（1）求 S100 ；
（2）若 2am1 是 a16 与 S10 的等差中项，求 m 的值.
【解析】（1）设数列{an}的公差为 d ，由已知得， a22 a1a4 ，
11 2 n
n
1
2
，
则前
n 项和 Tn
1 2
1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
1 2
3 2
1 n 1
n
1
2
．
1.（2019 年湖南高考模拟）已知数列{an}是以 3 为首项，d (d 0) 为公差的等差数列，且 a2 ，3 5 ，a4
成等比数列.
（1）求数列 {an } 的通项公式；
所以 d 2 或 6 （舍去），所以 an 2n 1.
（2）由（1）知， bn (2n 1) 2n ，
所以 Sn b1 b2 bn 3 5 (2n 1) 2 4 2n
3 2n 1 n 2 1 2n (n 2) n 2n1 2 2n1 n2 2n 2 .
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为 q(q 0) ， 因为 4a2 ， 3a3 ， 2a4 成等差数列， 所以 6a3 4a2 2a4 ，即 6a1q2 4a1q 2a1q3 ， 所以 q2 3q 2 0 ，解得 q = 2 或 q 1（舍去），
又 a5 a1q4 16a1 48 ，所以 a1 3.所以 an 3 2n1 .
【解析】（1）设数列{an}的公差为 d ，由已知得， a22 a1a4 ， 即 (1 d )2 1 3d ，解得 d 0 或 d 1 . 又 d 0 ，所以 d 1 ，可得 an n . 所以 a2020 2020 . （2）由（1）得 bn 4n 2(n 1) ， 所以 Tn (2 2 41) (2 3 42 ) (2 4 43 ) [2(n 1) 4n ] 2(1 2 3 n 1) (4 42 43 4n ) n2 2n 4(1 4n )
是等差数列，则 1 ＝1 ( 1 1 ) ， 1 ＝ 1 ( 1 1 ) . anan＋1 d an an1 anan＋2 2d an a2
【拓展 1】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 8 ， S5 60 . （1）求 Sn ；
（2）若 bn
16 an an 1
，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn .
即 (1 d )2 1 3d ，解得 d 0 或 d 1 .
又 d 0 ，所以 d 1 ，可得 an n .
所以
Sn
(1 100)100 2
5050 .
（2）由（1）得 an n ，所以 2am1 2(m 1) ， a16 16 ， S10 55 ，
因为 2am1 是 a16 与 S10 的等差中项，
) 3
1 3
n
1
3
n 3n 9
.
变式训练二
1.（2019 年重庆西南大学附中月考）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，等比数列 bn 的前 n 项和为
Tn ．若 a1 b1 3 ， a4 b2 ， S4 T2 12 ．
（1）求数列an与bn 的通项公式； （2）求数列an bn 的前 n 项和．
a4 成等比数列.
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设 bn an 2n ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
【解析】（1）因为 a2 ， 3 5 ， a4 成等比数列，
所以 a2 a4 45 ，即 a1 d a1 3d 45 .
因为 a1 3，所以 (3 d )(1 d ) 15 ，即 d 2 4d 12 0 ，
【解析】（1）设等差数列{an}的首项为 a1 ，公差为 d ，由已知条件可知 5a1a1d10d8 60 ，
解得
a1 d
4 4 .所以
an
4n
Sn
，所以
n(4
2
4n)
2n2
2n
.
（2）因为 an
4n ， bn
16 an an 1
，
所以 bn
16 an an 1
16 4n 4(n 1)
1 1 ， n n1
所以 Tn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n 1
1
1 n 1
n n 1
.
【拓展 1】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 8 ， S5 60 .
（1）求 a2n ；
{1} （2）若 bn log2 a2n ，求数列 bnbn1 的前 n 项和 Tn ..
【解析】（1）设等差数列{an}的首项为 a1 ，公差为 d ，由已知条件可知 5a1a1d10d8 60 ，
(2)通项公式为 an＝
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组
cn，n 为偶数
求和法求和．
【拓展 1】已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，首项 a1 1，且 a1 ， a2 ， a4 成等比数列． （1）求 a2020 ； （2）设数列{bn} 满足 bn 4n an1 ，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn .
2
13
2
2.（2019 年广东高考模拟）等差数列an 前 n 项和为 Sn ，且 S4 32 ， S13 221 ．
（1）求an 的通项公式 an ；
（2）数列bn 满足 bn1 bn an
n N*
且
b1
3
，求
1 bn
的前
n
项和 Tn
．
【解析】（1）等差数列an 的公差设为 d ，前 n 项和为 Sn ，且 S4 32 ， S13 221 ．
【解析】（1）由 a1 b1 ， a4 b2 ，
则 S4 T2 (a1 a2 a3 a4 ) (b1 b2 ) a2 a3 12 ，
设等差数列an 的公差为 d ，则 a2 a3 2a1 3d 6 3d 12 ，所以 d 2 .
所以 an 3 2(n 1) 2n 1.
1 1 1 1
【肢解 2】（2）求 S1 S2 S3
Sn 的值.
【肢解 1】（1）求数列{an}的通项公式；
【解析】设等差数列{an}的首项为 a1 ，公差为 d ，由已知条件可知 5a1a1d10d8 60 ，
解得
a1 d
4 4 .所以
an
4n
.
1 1 1 1
【肢解 2】（2）求 S1 S2 S3
专题 02 数列
大题肢解一
分组法求数列的前 n 项和
【宁夏银川一中 2019 届高三第二次模拟】已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，首项 a1 1，且 a1 ，a2 ， a4 成等比数列．
（1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设数列{bn} 满足 bn an 2an ，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn .
（2）设 bn an 2n ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
【解析】（1）因为 a2 ， 3 5 ， a4 成等比数列，
所以 a2 a4 45 ，即 a1 d a1 3d 45 .
因为 a1 3，所以 (3 d )(1 d ) 15 ，即 d 2 4d 12 0 ， 所以 d 2 或 6 （舍去），所以 an 2n 1. （2）由（1）知， bn (2n 1) 2n ，
可得 4a1 6d 32 ，13a1 78d 221 ，解得 a1 5 ， d 2 ，
可得 an 5 2n 1 2n 3 ；
（2）由 bn1 bn an 2n 3 ，
可得 bn
b1
b2
b1
b3
b2
bn
bn1
35
7
2n
1
1 2
n(2n
4)
n(n
2)
，
所以 1 bn
所以 4(m 1) 16 55 ，解得 m 219 .
变式训练一
1.（2019 年山东高考模拟）已知an 是递增的等比数列， a5 48 ， 4a2, 3a3, 2a4 成等差数列. （1）求数列an 的通项公式；
（2）设数列bn 满足 b1 a2 ， bn1 bn an ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
2
12
大题肢解二
裂项法求数列的前 n 项和
（2019 年广东省东莞市末调研）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 8 ， S5 60 .
（1）求数列 {an } 的通项公式；
1 1 1 1
（2）求 S1 S2 S3
Sn 的值.
【肢解 1】（1）求数列{an}的通项公式；
n2 n 2n1 2
n
.
1.分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分
别求和后再相加减．
2.分组转化法求和的常见类型
(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和；
bn，n 为奇数，
设等比数列bn的公比为 q ，由题 b2 a4 9 ，即 b2 b1q 3q 9 ，所以 q 3 .
所以 bn 3n ；
（2） an bn (2n 1) 3n ，
所以an bn 的前 n 项和为 (a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
(3 5 2n 1) (3 32 3 n) (3 2n 1)n 3(1 3n ) n(n 2) 3(3n 1) .