4。排列2
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5 (4)３ A5 ＋（２ A4 －１）＝４０７
4
(5)第１００个六位数为１５０３４２
（6）试求这些六位数字之和。
试求这些六位数之和。
小结：“整除”数字问题的数学特征： （1）被2整除：末位是偶数 （2）被3整除：各数字相加是3的倍数 （3）被4整除：末两位是4的倍数 （4）被5整除：末位为0或5 （5）被25整除：末两位为00，25，50，75 （6）被9整除：各数字相加是9的倍数 （7）被6整除：被2与3同时整除，等
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
4 解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排 A4 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A5 1440 空档中有A5 种方法，所以共有： A4 （种） 排法。
三、小结：有限制条件的排列问题的解法：
（一）直接计算法
（１）特殊元素（位置）分析法
（２பைடு நூலகம்相邻问题―――捆绑法
（３）不相邻问题―――插空法
（４）概率法 （二）间接计算法
11)---综合讨论 7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻， 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
A A A A A A AAA
2 2 6 6 1 4 2 5 2 5 5 2 5 2 2 2
5 5
补充 1：一天要排语文、数学、英语、生物、体育、 班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第 一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午， 问共有多少种不同的排课方法？
7) 若4名男孩身高都不等，按从高到底的一种顺 序站，有多少种不同的排法？ 8)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有 多少种不同的排法？
9)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端 5 =240 的排法共有多少种？ A 2 A
2
5
说明：有特殊元素的排列问题――特殊元素 分析法
10)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头 和排尾的排法共有多少种？ 说明1：有特殊元素（位置）的排列问题――― 特殊元素（位置）分析法 说明2：对于“在”与“不在”的问题，常常使用 “直接法”或“间接法”—减法.
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻， 有多少种不同的排法？ （种） A A 144
4 4 3 3
不同的排法共有：
插空法一般适用于互不相邻 问题的处理。
说一说
变化：若共三男三女要互不相邻，又如何？
2 2A 解：A，B两小孩的站法有： （种），其余人的站法 2 5 2 5 有A5（种），所以共有 2 A2 A5 480（种） 排法。
7）若前排站三人，后排站四人，有多少种不同的排法？ 说明：多排问题可以作同一排处理.
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一 排照相留念。 1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
例:
5 A 解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 5 种 3 A 排法，而三个女孩之间有 3 种排法，所以不同的排
5 3 A3 720（种）。 法共有：A5
3.被5整除的有几个?
归纳：一般地，对有限制条件的排列问题，可以有 两种不同的方法 一、直接计算法
排列问题的限制条件一般表示为：某些元素（或 某些位置）有限制条件时，常可优先处理这些特 别元素或特殊位置，这种方法称为“特殊元素 （位置）优先考虑法”
二、间接计算法 先不考虑限制条件，把所有排列种数算出，再从中 减去全部不符合条件的排列种数，间接得到符合条 件的排列种数，这种方法称为“去伪法”，特别注 意要不重复，不遗漏。
排列数公式 m An n(n 1)(n 2)(n m 1)
n! ( n m )!
连乘公式 阶乘公式
运算用连乘形式，证明用阶乘形式
n ! n (n 1)! n 1 1 (n 1)! n ! (n 1)! n n! (n 1)! n!
注意n,m∈N*,1≤m≤n
题型：有条件限制的排列应用题
例3、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字 的三位数？
AA
思考：
1 9
2 9
P19 例4 3 2 2 3 2 A9 A9 A9 648 A10 A9
若数字能重复呢？
9 10 10
直接法与间接法
1.三位奇数呢？ 2.三位偶数呢？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 2)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？
2 3 4 不同的排法有： A2 （种） A3 A4 288
捆绑法一般适用于相邻问题的处理。
有条件的排列问题
体育在上午
体育在下午
N1 A A A A 108
1 3 1 3 1 2 3 3
N2 A A 48
2 2 4 4
N N1 N 2 108 48 156
特殊元素（位置）分析法
补充2：用数字0、1、2、3、4、5组成多少个 没有重复数字的 5 1 1 4 5 A 2A 4A 4 =312 （1） A (1)六位偶数 5 1 4 (2)能被5整除的六位数 (2) A5 A4 A4 216 (3)25的倍数的四位数 。 1 1 2 (3) A A A 21 3 3 4 (4)比240135大的数。 (5)若把所组成的六位数从小到大排列起来，问 240135是第几个数？第100个数是多少？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多 少种不同的排法？
均分法
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成两排照相留念。
6）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小 孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
排列 (二)
内容复习：
1。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列 2。当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同 3。用树形图写出简单问题中的所有排列。 4。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数为：
4
(5)第１００个六位数为１５０３４２
（6）试求这些六位数字之和。
试求这些六位数之和。
小结：“整除”数字问题的数学特征： （1）被2整除：末位是偶数 （2）被3整除：各数字相加是3的倍数 （3）被4整除：末两位是4的倍数 （4）被5整除：末位为0或5 （5）被25整除：末两位为00，25，50，75 （6）被9整除：各数字相加是9的倍数 （7）被6整除：被2与3同时整除，等
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
4 解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排 A4 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A5 1440 空档中有A5 种方法，所以共有： A4 （种） 排法。
三、小结：有限制条件的排列问题的解法：
（一）直接计算法
（１）特殊元素（位置）分析法
（２பைடு நூலகம்相邻问题―――捆绑法
（３）不相邻问题―――插空法
（４）概率法 （二）间接计算法
11)---综合讨论 7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻， 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
A A A A A A AAA
2 2 6 6 1 4 2 5 2 5 5 2 5 2 2 2
5 5
补充 1：一天要排语文、数学、英语、生物、体育、 班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第 一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午， 问共有多少种不同的排课方法？
7) 若4名男孩身高都不等，按从高到底的一种顺 序站，有多少种不同的排法？ 8)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有 多少种不同的排法？
9)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端 5 =240 的排法共有多少种？ A 2 A
2
5
说明：有特殊元素的排列问题――特殊元素 分析法
10)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头 和排尾的排法共有多少种？ 说明1：有特殊元素（位置）的排列问题――― 特殊元素（位置）分析法 说明2：对于“在”与“不在”的问题，常常使用 “直接法”或“间接法”—减法.
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻， 有多少种不同的排法？ （种） A A 144
4 4 3 3
不同的排法共有：
插空法一般适用于互不相邻 问题的处理。
说一说
变化：若共三男三女要互不相邻，又如何？
2 2A 解：A，B两小孩的站法有： （种），其余人的站法 2 5 2 5 有A5（种），所以共有 2 A2 A5 480（种） 排法。
7）若前排站三人，后排站四人，有多少种不同的排法？ 说明：多排问题可以作同一排处理.
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一 排照相留念。 1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
例:
5 A 解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 5 种 3 A 排法，而三个女孩之间有 3 种排法，所以不同的排
5 3 A3 720（种）。 法共有：A5
3.被5整除的有几个?
归纳：一般地，对有限制条件的排列问题，可以有 两种不同的方法 一、直接计算法
排列问题的限制条件一般表示为：某些元素（或 某些位置）有限制条件时，常可优先处理这些特 别元素或特殊位置，这种方法称为“特殊元素 （位置）优先考虑法”
二、间接计算法 先不考虑限制条件，把所有排列种数算出，再从中 减去全部不符合条件的排列种数，间接得到符合条 件的排列种数，这种方法称为“去伪法”，特别注 意要不重复，不遗漏。
排列数公式 m An n(n 1)(n 2)(n m 1)
n! ( n m )!
连乘公式 阶乘公式
运算用连乘形式，证明用阶乘形式
n ! n (n 1)! n 1 1 (n 1)! n ! (n 1)! n n! (n 1)! n!
注意n,m∈N*,1≤m≤n
题型：有条件限制的排列应用题
例3、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字 的三位数？
AA
思考：
1 9
2 9
P19 例4 3 2 2 3 2 A9 A9 A9 648 A10 A9
若数字能重复呢？
9 10 10
直接法与间接法
1.三位奇数呢？ 2.三位偶数呢？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 2)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？
2 3 4 不同的排法有： A2 （种） A3 A4 288
捆绑法一般适用于相邻问题的处理。
有条件的排列问题
体育在上午
体育在下午
N1 A A A A 108
1 3 1 3 1 2 3 3
N2 A A 48
2 2 4 4
N N1 N 2 108 48 156
特殊元素（位置）分析法
补充2：用数字0、1、2、3、4、5组成多少个 没有重复数字的 5 1 1 4 5 A 2A 4A 4 =312 （1） A (1)六位偶数 5 1 4 (2)能被5整除的六位数 (2) A5 A4 A4 216 (3)25的倍数的四位数 。 1 1 2 (3) A A A 21 3 3 4 (4)比240135大的数。 (5)若把所组成的六位数从小到大排列起来，问 240135是第几个数？第100个数是多少？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
5) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多 少种不同的排法？
均分法
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成两排照相留念。
6）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小 孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
排列 (二)
内容复习：
1。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列 2。当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同 3。用树形图写出简单问题中的所有排列。 4。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数为：