旋转与旋转变换(含答案)

第8讲 旋转和旋转变换（一） 考点·方法·破译 1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角； 2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；

3．能利用旋转性质进行开放探究。

经典·考题·赏板

【例１】如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=450

，将

△ADC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌AEF ；

②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC=DE ；④BE 2+DC 2=DE 2，其中正确的是（ ）

A ． ②④

B ． ①④

C ． ②③ D. ①③

解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD ，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD ，

∠FAE=∠DAE ，AE=AD ，得△AED ≌△AEF ，①正确；由勾股定理得BF 2+BE 2=FE 2，将BF=DC ，FE=DE

代入得，BE 2+DC 2=DE 2，④正确；且知③不正确；若∠AFB ≠∠ADC ，则②不正确，故本题选B

【变式题组】

1．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则

以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是（ ）

A ． 锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x 、m 、n 的变化而改变

【例２】 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900，得△A 1OB 1。

已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B 1点的坐标为（ ）

A ． )23,23(

B ．)23,23(

C ．)23,21(

D ．)2

1,23( 答案：A. 【变式题组】

2．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿X 轴正方向连续翻转2020次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…P 2020的位置，则点P 2020的横坐标为_________．

【例３】如图将Rt △ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A 按顺时针方向旋转到

△A 1B 1C 1的位置，使得点C 、A 1，B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于______．

答案：∠BAB 1=340+900=1240

【变式题组】

3．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800得到△OCD ，若∠A=1100，∠D=400，

则∠а的度数是（ ）

A ． 300

B ． 400

C ． 500

D ．600

4．如图，∠AOB=900，∠B=300，△A 1OB 1可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转а角度得到

的，若点A 1在AB 上，则旋转角а的大小可以是（ ）

A ． 300

B ． 450

C ． 600

D ． 900

5．如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形

OABC 拼成的，测得AB=BC ，OA=OC ，OA ⊥OC ，∠ABC=360，则∠OAB 的度数是（ ）

A ． 1160

B ． 1170

C ．1180

D ．1190

【例４】在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4cm ，AC=3㎝，把△ABC 绕点A 顺时针旋转900后，

得到△AB 1C 1，如图所示，则点B 所走过的路径长为（ ）

A ． cm 25

B ． cm π45

C ． cm π2

5 D ．5cm π 【解法指导】 点B 所走过的路径是以AB 为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm ，所以

路径长为cm ππ2

55241=⨯⨯⨯，应选C 【变式题组】

6．把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合，已知

AB=AC=8cm ，将△MED 绕点A （M ）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部

分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,73.13≈).

【例５】已知△ABC 在平面坐标系中的位置如图所示.

（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标；

画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转900后的△A 1B 1C 1；

（2）求点A 旋转到点A 1所经过的路线长（结果保留π）.

【解法指导】解：（1）A （0，4）、C （3，1）（2）

AC=23，弧ππ2

2318023901=⨯⨯=

AA 【变式题组】

1．如图，已知△ABC 的三个顶点分别为A （-2，3）、B （-6，0）、C （-1，0）

（1）请直接写出点A 关于Y 轴对称的点的坐标；

（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标；

（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.

2．如图，在平面坐标系，△ABC 的顶点坐标为A （-2，3）、B （-3，2）、C （-1，1）。

（1）若将△ABC 向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A 1B 1C 1

（2）画出△A 1B 1C 1绕原点旋转1800后得到的△A 2B 2C 2；

（3）△A 1B 1C 1与△ABC 是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_________；

(4)顺次连结C 、C 1、C 2所得到的图形是轴对称图形吗？

【例６】如图在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1）、B （2，

-1），C （-2，-1）、D （-1，1），Y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转1800得到P 1，

点P 1绕点B 旋转1800得到P 2；点P 2绕点C 旋转1800得点P 3，点P 3绕点D 旋转180

0得到P 4，……，重复操作依次得到P 1、P 2、……，则点P 2020的坐标是（ ）

A 、（2020，2）

B 、（2020，-2）

C 、（2022，-2） D.（0，2）

【解法指导】由已知可以得到，点P 1、P 2的坐标分别为（2，0），（2，-2），记P 2

（a 2,b 2），其中a 2=2,b 2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P 3

（-4-a 2,-2-b 2）,P4(2+a 2,4+b 2),P5(-a 2,-2-b 2),P 6(4+a 2,b 2)，令P6(a 6,b 2),同样可

以求得，点P 10的坐标（4+a 6,b 2）即P 10(4×2+a 2,b 2),由于2010=4×502+2，所以点

P 2020的坐标为（2020，-2），本题应选B.

【变式题组】

1．如图①，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ，求∠AEB 的大小；（2）如图②，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小。

2．如图，圆心角都是900的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD.（1）求证：AC=BD ；

（2）若图中阴影部分的面积是,4

3

2cm OA=2cm ，求OC 的长.