第5章统计推断：参数估计

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一个总体参数的估计
总体参数 均值 比例 方差 符号表示 样本统计量
X
x p
S2
P 2
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二、点估计与区间估计
估 计 方 法
点 估 计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
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点估计
(point estimate)

为是总体参数未在区间内的比例 相应的 为0.01，0.05，0.10
3.
常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%

置信区间
(confidence interval)
1.
2. 3.
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
39
46 45 39 38 45
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
较大的样本容量
n N
ˆ) P(
lim x X lim p P
n N
B A
较小的样本容量

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ˆ
第二节 一个总体参数的区间估计
一. 总体均值的区间估计 二. 总体比例的区间估计 三. 总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差 符号表示 样本统计量
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
X z 2 X
- 2.58x -1.65 x
X

+1.65x + 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 表示为 (1 -
该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中 随机抽取 16 只，测得其使用寿命 ( 小时 ) 如下。建立该批灯泡 平均使用寿命95%的置信区间
16灯泡使用寿命的数据
1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470
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无偏性
(unbiasedness)

无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参 数

中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏 性 ˆ) P( E ( p) P
E( x ) X
ˆ B
1
ˆ
A
无偏
有偏
2
总体参数
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1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体比例的区间估计
总体比例的区间估计

1. 假定条件


总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 大样本
2.
使用正态分布统计量Ｚ P Z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
随机 1. 估计量：用于估计总体参数的样本统计量 变量 如样本均值、样本比例(成数)、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2.
估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值

如果样本均值 x =80，则80就是的估计值

注：有时，对估计量和估计值并不刻意区分，都称 为估计，根据上下文很容易明确其指代
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
第一节 参数估计的基本原理
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)

X


2
P
S
2
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计
(大样本)

1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2.
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
使用正态分布统计量Ｚ X Z ~ N (0,1) n
n 39.5 2.13
x z
s
2
39.5 1.645
7.77 36
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)

1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)
第五章 参数估计



第一节 第二节 第三节 第四节
参数估计的基本原理 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法
X z 2

n
或 X z 2
S n
( 未知)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36位投保个人组成的随机样本， 并得到每个投保人的年龄 ( 周岁 ) 数据如下表。试建立投保人 年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34
35
42 53 28 49 39
t X S n ~ t (n 1)
2.
使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X t 2 n
t 分布
分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正 态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为 自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于正态分布
1.
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区间估计
(interval estimate)
1.
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量

2.
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
总体方差的区间估计
(例题分析)
解 : 已 知 n ＝ 25 ， 1- ＝ 95% , 根 据 样 本 数 据 计 算 得 s2 =93.21 2 (n 1) 02.025 (24) 39.364 12 (n 1) 02.975 (24) 12.401
总体方差的区间估计
总体方差的区间估计

3.
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且
n 1S 2
2
4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1S 2 2 n 1S 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体方差的区间估计
(图示)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总体方差 1的置信区间
21/2
自由度为n-1的2
2/2
2
总体方差的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某 天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如 下表7所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间

我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
(1 - ) % 区间包含了
X
% 的区间未包含
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
Z
X
t 分布与标准正态分布的比较
t 不同自由度的t分布
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。 根据样本数据计算得： x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 1490 13.2
x t

2
1490 2.131
24.77 16
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 105.36 3.92
x z

2
105.36 1.96
10 25
101.44,109.28

ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2
的抽样分布
样本平均 数比中位 数更有效

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ˆ
一致性
(consistency)

一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数 大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足 一致性
P z 2
(1 )
n
或 P z 2
P(1 - P) ( 未知时) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【 例 】 某 城 市 想 解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%， z/2=1.96 要估计下岗职工 p (1 p ) 中女性所占的比 p z 2 例，随机抽取了 n 100 个 下 岗 职 工 ， 65%(1 65%) 其中 65 人为女性 65% 1.96 100 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计 65% 9.35% 该城市下岗职工 55.65%,74.35% 中女性比例的置 该城市下岗职工中女性比例的置信 信区间 区间为55.65%~74.35%
做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的 估计值 例：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用样本成数直接作为总体成数的估计 例：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计 2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估 计值接近总体参数的程度 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
X 样本容量， n
常用置信水平及 z 2 值
置信水平 1- 90% 95% 99%

0.10 0.05 0.01
/2
0.05 0.025 0.005
z 2
1.645 1.96 2.58
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评价估计量的标准