方程的根与零点问题

下列函数在相应区间内是否存在零点？ (1) f(x)=log2x, x∈[0.5, 2]； (2) f(x)=2x· ln(x-2)-3, x∈[3, 5] ．
函数零点存在性定理：
y y a O c
× y
b x O a
y a O c b
c
b
x
c x
O a
b
x
例1如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 并且有f(a) · f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) · < 0，则 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) 内有零点． f(b) 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) · ≥0，则 f(b) f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) · < 0，则f(x)在 f(b) 区间(a,b)内存在零点. （ ）
高中数学思想剖析
分类讨论思想
数形结合思想 函数与方程的思想
方程（或不等式）与函数是 化归（转化）思想 互相联系的，利用函数与方 分类讨论是一种重要的数学思 程（或不等式）之间的对立 想，它有三个重要的原则，即 函数中可利用的图形有类 ， 统一关系，能进一步提高综 不越级、不重复、不遗漏 类比思想 即函数图象和函数运算结合 合运用知识分析问题和解决 在一起 问题的能力 (不折不扣，不重不漏）
有 在区间(b,c)上______(有/无)零点； ③ 在区间(c,d)上f(c)· _____ 0(―<‖或” >‖)． f(d) <
有 在区间(c,d)上______(有/无)零点；
函数零点存在性定理
y a O c b y
×
c x
O a
b
x
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) · f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 巩固练习
x
f(x)
1
-
2
-
3
+
4
+
解法3：
将函数f(x)= lnx+2x-6的零点的个 数转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的图 象交点的个数．
y
6
y= lnx
O 1234
x
y=-2x +6
课堂小结
一个关系： 函数零点与方程根的关系:
函数 方程
×
数 值
零点 存在性 个 数 根
两种思想： 函数方程思想；数形结合思想．
× 方程实例求解
求下列方程的根：
(1) 3x+2=0;
(2) x2-5x+6=0;
(3) lnx+2x-6=0.
高 中 数 学
课程大纲（新增内容）
二次函数零点具体实例
二次函数五点注 意 数学思想：数形结 合
抽象二次函数根的结论
Δ> 0两不等实根 Δ= 0两相等实根 Δ< 0 无实数根 1、根是横坐标的取 值 2、零点不是点而是 自变量的值a
-1, 4
1, - 5
函数零点的定义
问题5 研究函数的零点有什么方法？ ①公式法
×源自文库
求方程根的方法
②求函数的零点法 ①代数法：求相应方程的根， 得零点. ②几何法：画函数图象得零点.
求函数零点的方法
（代数法）求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0 ； (3)写出零点.
函数零点存在性的探究
变式引申
×
1.若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值. 2.若二次函数f(x)=x2+mx+3有唯一零点，则m的 值和零点分别是多少？ 3.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求a的值。 4.若x0是二次函数y=f(x)的零点，且m<x0<n，那么 f(m) · f(n)<0一定成立吗？为什么？
函
×
程
数
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3 y=x -2x-3 y
结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数. 2 2 2
y 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标. y=x -2x+1 y 4 2
O
方程的根
x2-2x+1=0 x1=x2=1
x2-2x+3=0
无实数根 y=x -2x+3
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高中数学新课标（人教版）必修1 课件
×
庞 磊
昆明新东方中学部
要解决一个新问题，常常采用由生疏到熟悉，由复杂到简单等的转 化策略，使问题获得解决．转化时要注意问题的等价性．三角公式 的应用及三角函数关系式的化简、计算、证明等都体现了转化（化 类比有助于解题．比如，我们常常会把函数与 归）思想．特别地，在三角变换解题时的一般思路是：遇切割，想 图象之间的变换和函数与图象之间的变换作一 化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特 比较．类比的关键是要在不同之中找相同，在 角，想求值；想消约，引辅助 相似之中找不同．
A. ( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1)
B）
D. (0，0.5)
零点存在性定理的应用：
×
例2 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数，并确定零 点所在的区间[n, n+1] (n∈Z) . 解法1： 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：
x f(x) 1
-4
2
3
4
主要 内容
零 点 问 题
一般函数的图象与方程 根的关系
函数的零点与方程的 根的联系与区别
课程大纲（新增内容）
五、研究函数零点的方法 六、在怎么样 的条件下存在 零点 （零点定理）
主要 内容
七、
零点的唯一性确定
新在哪里
引入新课
问题1 填表，观察说出表中一元二次方程的实数根与相应
的二次函数图象与x轴的交点的关系. 方
函数零点的定义
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点．
问题4
×
函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
1、联系：①数值上相等：求函数零点就是求方程的根. ②存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 2、区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
2
O
4
2
O
-1 1 2 3 x -2 -4 两个交点 (-1,0),(3,0)
-1 1 2 3 x 一个交点 (1,0)
-1 1 2 3 x
没有交点
函数的图象与x 轴的交点
引入新课
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点
-3 -4
函数零点存在性的探究
问题6:在怎样的条件下，函数
y=f(x)在区间[a,b]上存在零点？
a O b c d x y
×
观察函数的图象并填空: < ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(―<‖或“>‖)． 有 在区间(a,b)上______(有/无)零点； ② 在区间(b,c)上f(b)· _____ 0(―<‖或“>‖)． f(c) <
6 4 2
由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内 是增函数， 所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 O 1 2 3 4 5 6 -2 增函数，因此它仅有一个零点．
-4
x
零点存在性定理的应用：
×
例2 求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数，并确定零 点所在的区间[n, n+1](n∈Z) . 解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：
三种题型： 求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
达标 测试
1．利用函数图象判断下列方程有几个根： (1) 2x(x-2)=-3; (2) ex-1+4=4x. 2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
×
(1) f(x)=2xln(x-2)-3;
(2) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x. 2 3．函数 f ( x ) 2( m 1) x 4 mx 2 m 1 (1) m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点； (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．
数学五大基本思想
引入新课
方程解法史话
在人类用智慧架设的无 数座从未知通向已知的金桥 中，方程的求解是其中璀璨 的一座，虽然今天我们可以 从教科书中了解各式各样方 程的解法，但这一切却经历 了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较 系统地解决了部分方程的求 解的问题。如约公元50年— 100年编成的《九章算术》， 就给出了求一次方程、二次 方程和三次方程根的具体方 法…
5
5.6094
6
7
y
8
9
-1.3069 1.0986 3.3863
7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
问题7：如何说明零点的唯一性？
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0， 10 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点． 8 f(x)=lnx+2x- 6
的关系，上述结论是否仍然成立？
×
问题2
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 方 程 Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0 判别式Δ x1=x2=1 无实数根 x1=-1，x2=3 2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的 方程的根 方程ax 结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数. 没有实数根 2-2x-3 2 实数根x1 = x2 2-2x+1 (a>0)的根 数 实数根x1 、x y=x y y=x y=x2-2x+3 函 y y 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标. 4 4 2 O 2 函数y=ax2 +bx+c 2 x1 1 2 3 2 x x O -1 (a>0)的图象 O x -2 -1 x1 2 3 1 -1 1 2 3 x -4 函数的图象与x 轴的交点 两个交点 (-1,0)，(3,0) (x1,0), (x2,0) 一个交点 (1,0) (x1,0) 没有交点
画图象举反例说明：
y y y
×
a O 图1
a
b
x
O
a
b x
O
b
图3
x
图2
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) · < 0，则 f(b) f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) · ≥0，则 f(b) f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) · < 0，则f(x)在 f(b) 区间(a,b)内存在零点. （ ）
注意
函数零点的定义
巩固练习
×
1、函数f (x)=x(x2-16)的零点为( D ) A. (0,0), (4,0) B. 0, 4 C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4
注意：零点是自变量的值，而不是一个点．
巩固练习
2、求下列函数的零点： (1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
类比推广
问题3
×
一般函数的图象与方程根的关系会是怎样呢？
教师演示：
在几何画板下展示类似如下函数 的图象： 1. y＝3x+2, 2. y＝2x-8, 结论：和上面一样，但要注意，方程的实数根就 是函数图象与x轴交点的横坐标，而不是点；因 此我们可以借助求出函数与x轴的交点坐标来求 一些疑难方程的根。
×
问题6:在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零 点？
探究: 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象： －1 在区间[-2, 1]上有零点______； 5 －4 f(-2)=_______，f(1)=_______，
2 1 y
< f(-2)· f(1)_____0（“<”或“>”）． -2 -1 O 1 2 3 4 x 3 在区间(2，4)上有零点______； -1 -3 7 -2 f(2)=_______，f(4)=_______， < f(2)· f(4)____0（“<”或“>”）．
零点存在性定理的应用：
巩固练习 1、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7
×
f(x)
23
9
–7
11
–5 –12 –26
那么函数在区间[1, 6]上的零点至少有（ A. 5个 B. 4个 C. 3个
C ）个
D. 2个
2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（