判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法

三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系

或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归

纳介绍如下，供参考．

一、利用因式分解

例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，

解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．

∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，

故△ABC是等腰三角形．

二、利用配方法

例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．

解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：

2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．

配方，得

(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，

a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．

即a2＝b2＝c2．

又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．

故三角形为等边三角形，

三、利用根的判别式

例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋3

4

＝0有实

根，试判定△ABC的形状．解据题意，有

△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4

＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2

＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，

∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．

又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，

∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．

∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，

故△ABC是等边三角形．

四、利用构造方程

例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac

＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，

解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，

∴a＝k2＋1，c＝k2－1，

或a＝k2－1，c＝k2＋1．

∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，

∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，

所以△ABC是直角三角形．

五、利用公共根

例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形

证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则

a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．

①－②，得2(a－c) α＝－2b2，

即(c－a) α＝b2．

当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；

当a ≠c 时，α＝2

b

c a ．

将其代入①、②，得

222

2b b

a c a c a ＋

b 2＝0．

化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．

六、利用韦达定理

例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、

c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．

解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，

在△ADC 中，AD ＝bcos A ，

在△CDB 中，BD ＝acosB ，

由韦达定理，得

x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．

∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．

又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，

七、利用三角形面积公式

例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，

r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．

解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得