2014车辆动力学(4) - 第二章-4 定轴齿轮系统
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d 1 J1 M i M1 dt J 2 d 1 M M f 1 i i 2 dt
Mi
1
J2
d 1 J1 dt M i M 1 J d 2 M M 2 f 2 dt 2 1 / i M iM 2 1
第二章
动力传动系统部件动力学模型
第四节 定轴齿轮系统建模
一、齿轮系统当量模型 二、齿轮系统弹性动力学模型
一、齿轮系统当量模型
1. 当量模型（轮齿啮合按刚体）
J1
2 M f
d 1 J1 M i M1 dt J 1 d1 iM M 2 1 f i dt
1.555
1.556
1.557
1.558
二、齿轮系统弹性动力学模型
2.非线性动力学模型
Me
e
c1 k1，
J1
集中质量模型
1
c2 k2 ，
Je
cm km，
J0
关键：非线性齿轮啮合力Fm (t)
J e e J 00 2 2 0 2 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( m 2 2 2 0 2 2 0 2 2 F (t ) c (t ) f (r r e (t )) km (t ) f (r11 r2 2 e(t )) m 1 1 2 2 m
二、齿轮系统弹性动力学模型
2.非线性动力学模型
km
r2
r1
cm
M1
M2
齿形误差
齿轮副弹性动力学非线性模型
r e (t )) km (t ) f (r11 r2 2 e(t )) Fm (t ) cm (t ) f (r1 1 2 2
时变啮合阻尼 齿侧间隙函数 综合传动误差X 时变啮合刚度
齿侧间隙模型
（X为啮合线的变形量）
二、齿轮系统弹性动力学模型
2）综合传动误差（啮合线的变形量）
X (t ) x(t ) e(t ) r11 (t ) r22 (t ) e(t )
x (t)——啮合线上两齿轮的相对位移; e(t) —— 齿形误差 。
km cm
齿形误差
齿轮副的单自由度模型
二、齿轮系统弹性动力学模型
1）齿侧间隙 齿侧间隙是强非线性因素，将导致系统出现反复的脱 齿、接触、冲击。分段线性的间隙模型：
X b X b f ( X ) 0 b X b X b X b
f(X)
-b
b
X
X ) f (X 0
X b或X b b X b
关键：齿轮啮合力Fm (t)
二、齿轮系统弹性动力学模型
1.线性动力学模型
θ1 J1 r1 M1 θ2
km
cm
M2 r2
J2
r ) Fm (t ) km (r11 r2 2 ) cm (r1 1 2 2
平均啮合阻尼 平均啮合刚度
cm 2
k m m1m2 m1 m2
2
一、齿轮系统当量模型
2.当量模型建模方法
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
J2 J2 2 i k2 * k2 2 i
*
c2 c 2 i
* 2
Me
e
Je
c1 k1，
J*
k ， c
* 2
* 2
* J0
M* f
J2 J J1 2 i
*
百度文库
一、齿轮系统当量模型
一、齿轮系统当量模型
2.当量模型建模方法
1) 齿轮副被动齿轮和主动齿轮所有参数都归一化到同一轴 （一个角速度）。 2）当量原则：能量不变
1 2 ① 质量的动能保持相等： Jω const 2 1 ② 弹性环节的变形势能保持相等： k 2 const 2
③ 散耗能量保持相等： 1 cω 2 const
式中ff1,ff2为主、被动齿轮的齿形公差；fpb1,fpb2为主、被动齿轮的基节偏差。
二、齿轮系统弹性动力学模型
3）时变啮合刚度
km km1 km 2
法向力
km1 km 2
k mi
i
Fi
法向弹性变形
齿轮综合啮合刚度曲线
二、齿轮系统弹性动力学模型
例2：一对齿轮的综合啮合刚度
3 x 10
为阻尼比，一般取值为0.03-0.17。
m1和m2为主动和被动齿轮等效质量
二、齿轮系统弹性动力学模型
1.线性动力学模型
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
k m , cm
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
M k ( ) c ( ) J e e e 1 e 1 1 e 1 )M J 0 0 k2 ( 2 0 ) c2 ( 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( 2 2 m 2 2 2 0 2 2 0 F (t ) k (r r ) c (r r ) m 1 1 2 2 m 1 1 2 2 m
180 Constant1
T
v
Env Driveline Environment
Angular Velocities outspeed To Workspace
输入信号
初始转速
环境变量
转矩传感器 惯量
齿轮副
一、齿轮系统当量模型
Simulink仿真模型
Mf J 2 d1 ( J1 2 ) Mi i dt i
J2 ) M e k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 )M k ( ) c (
2
0
Mf
练习1
建立各挡当量模型、弹性线性动力学模型和非线性动力 学模型。
练习2
建立各挡当量模型、弹性线性动力学模型和非线性动力 学模型。
二、齿轮系统弹性动力学模型
齿形误差e(t)
e(t ) er sin(r t r ) em sin(mt m )
式中：er为装配制造误差； em为齿轮啮合误差。
r , m 分别为轴和齿轮旋转角速度
齿形误差是一种位移激励
em f pb1 f pb 2 0.5( f f 1 f f 2 )
Mf J 2 d1 ( J1 2 ) Mi i dt i
啮合齿轮副简化为1个自由度模型
一、齿轮系统当量模型
Simulink仿真模型
转速传感器
v
Scope T 100 Constant T B F
B F
惯量
Simple Gear
Inertia2
Initial C ondition1
Inertia1
8
Km1 (N/m)
2.5 2 1.5 1.55 1.551 9 x 10 3 1.552 1.553 1.554 1.555
齿轮综合啮合刚度曲线
t/1.556 s
1.557
1.558
2.5 4）啮合阻尼 2 1.5 1.55 3 x 10
10
k m (t ) m1m2 cm (t ) 2 m1 1.554 m2 1.551 1.552 1.553
例1：各挡齿轮系统系统当量模型
二、齿轮系统弹性动力学模型
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
k m , cm
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
M k ( ) c ( ) J e e e 1 e 1 1 e 1 )M J 0 0 k2 ( 2 0 ) c2 ( 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( m 2 2 2 0 2 2 0 2 2 Fm (t ) ?
Mi
1
J2
d 1 J1 dt M i M 1 J d 2 M M 2 f 2 dt 2 1 / i M iM 2 1
第二章
动力传动系统部件动力学模型
第四节 定轴齿轮系统建模
一、齿轮系统当量模型 二、齿轮系统弹性动力学模型
一、齿轮系统当量模型
1. 当量模型（轮齿啮合按刚体）
J1
2 M f
d 1 J1 M i M1 dt J 1 d1 iM M 2 1 f i dt
1.555
1.556
1.557
1.558
二、齿轮系统弹性动力学模型
2.非线性动力学模型
Me
e
c1 k1，
J1
集中质量模型
1
c2 k2 ，
Je
cm km，
J0
关键：非线性齿轮啮合力Fm (t)
J e e J 00 2 2 0 2 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( m 2 2 2 0 2 2 0 2 2 F (t ) c (t ) f (r r e (t )) km (t ) f (r11 r2 2 e(t )) m 1 1 2 2 m
二、齿轮系统弹性动力学模型
2.非线性动力学模型
km
r2
r1
cm
M1
M2
齿形误差
齿轮副弹性动力学非线性模型
r e (t )) km (t ) f (r11 r2 2 e(t )) Fm (t ) cm (t ) f (r1 1 2 2
时变啮合阻尼 齿侧间隙函数 综合传动误差X 时变啮合刚度
齿侧间隙模型
（X为啮合线的变形量）
二、齿轮系统弹性动力学模型
2）综合传动误差（啮合线的变形量）
X (t ) x(t ) e(t ) r11 (t ) r22 (t ) e(t )
x (t)——啮合线上两齿轮的相对位移; e(t) —— 齿形误差 。
km cm
齿形误差
齿轮副的单自由度模型
二、齿轮系统弹性动力学模型
1）齿侧间隙 齿侧间隙是强非线性因素，将导致系统出现反复的脱 齿、接触、冲击。分段线性的间隙模型：
X b X b f ( X ) 0 b X b X b X b
f(X)
-b
b
X
X ) f (X 0
X b或X b b X b
关键：齿轮啮合力Fm (t)
二、齿轮系统弹性动力学模型
1.线性动力学模型
θ1 J1 r1 M1 θ2
km
cm
M2 r2
J2
r ) Fm (t ) km (r11 r2 2 ) cm (r1 1 2 2
平均啮合阻尼 平均啮合刚度
cm 2
k m m1m2 m1 m2
2
一、齿轮系统当量模型
2.当量模型建模方法
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
J2 J2 2 i k2 * k2 2 i
*
c2 c 2 i
* 2
Me
e
Je
c1 k1，
J*
k ， c
* 2
* 2
* J0
M* f
J2 J J1 2 i
*
百度文库
一、齿轮系统当量模型
一、齿轮系统当量模型
2.当量模型建模方法
1) 齿轮副被动齿轮和主动齿轮所有参数都归一化到同一轴 （一个角速度）。 2）当量原则：能量不变
1 2 ① 质量的动能保持相等： Jω const 2 1 ② 弹性环节的变形势能保持相等： k 2 const 2
③ 散耗能量保持相等： 1 cω 2 const
式中ff1,ff2为主、被动齿轮的齿形公差；fpb1,fpb2为主、被动齿轮的基节偏差。
二、齿轮系统弹性动力学模型
3）时变啮合刚度
km km1 km 2
法向力
km1 km 2
k mi
i
Fi
法向弹性变形
齿轮综合啮合刚度曲线
二、齿轮系统弹性动力学模型
例2：一对齿轮的综合啮合刚度
3 x 10
为阻尼比，一般取值为0.03-0.17。
m1和m2为主动和被动齿轮等效质量
二、齿轮系统弹性动力学模型
1.线性动力学模型
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
k m , cm
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
M k ( ) c ( ) J e e e 1 e 1 1 e 1 )M J 0 0 k2 ( 2 0 ) c2 ( 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( 2 2 m 2 2 2 0 2 2 0 F (t ) k (r r ) c (r r ) m 1 1 2 2 m 1 1 2 2 m
180 Constant1
T
v
Env Driveline Environment
Angular Velocities outspeed To Workspace
输入信号
初始转速
环境变量
转矩传感器 惯量
齿轮副
一、齿轮系统当量模型
Simulink仿真模型
Mf J 2 d1 ( J1 2 ) Mi i dt i
J2 ) M e k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 )M k ( ) c (
2
0
Mf
练习1
建立各挡当量模型、弹性线性动力学模型和非线性动力 学模型。
练习2
建立各挡当量模型、弹性线性动力学模型和非线性动力 学模型。
二、齿轮系统弹性动力学模型
齿形误差e(t)
e(t ) er sin(r t r ) em sin(mt m )
式中：er为装配制造误差； em为齿轮啮合误差。
r , m 分别为轴和齿轮旋转角速度
齿形误差是一种位移激励
em f pb1 f pb 2 0.5( f f 1 f f 2 )
Mf J 2 d1 ( J1 2 ) Mi i dt i
啮合齿轮副简化为1个自由度模型
一、齿轮系统当量模型
Simulink仿真模型
转速传感器
v
Scope T 100 Constant T B F
B F
惯量
Simple Gear
Inertia2
Initial C ondition1
Inertia1
8
Km1 (N/m)
2.5 2 1.5 1.55 1.551 9 x 10 3 1.552 1.553 1.554 1.555
齿轮综合啮合刚度曲线
t/1.556 s
1.557
1.558
2.5 4）啮合阻尼 2 1.5 1.55 3 x 10
10
k m (t ) m1m2 cm (t ) 2 m1 1.554 m2 1.551 1.552 1.553
例1：各挡齿轮系统系统当量模型
二、齿轮系统弹性动力学模型
Me
e
Je
c1 k1，
J1
1
k m , cm
c2 k2 ，
J0
J2
2
0
Mf
M k ( ) c ( ) J e e e 1 e 1 1 e 1 )M J 0 0 k2 ( 2 0 ) c2 ( 2 0 f ) F (t )r J11 k1 ( e 1 ) c1 ( e 1 m 1 ) J F ( t ) r k ( ) c ( m 2 2 2 0 2 2 0 2 2 Fm (t ) ?