高中数学《合情推理与演绎推理》

与圆心距离相等的两弦相等;与 圆心距离不等的两弦不等,距圆 心较近的弦较长.
与球心距离相等的两截面圆面 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 的截面圆面积较大.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 圆的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为
.
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
圆心连线垂直于截面圆.
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推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
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数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5,
…… 1000＝29+971，
1002=139+863, ……
.
福 尔 摩 柯南 斯
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周瑜非常嫉恨诸葛亮，总想找个理由杀掉诸葛亮。 一天，周瑜让诸葛亮造10万枝箭，并说10天内就要。诸葛亮痛快地答应了，说： “我3天之内就送10万枝箭过来。”周瑜很吃惊。 诸葛亮向鲁肃借了20只快船，600名士兵，把每条船用布蒙上，两边堆满一捆 捆的干草。周瑜得知这一情况后，心里非常怀疑，不知诸葛亮又在玩什么花样。 到第三天，天还没亮，诸葛亮便派人将鲁肃请来说：“请您和我一同去取箭。” 然后，把20条快船用长绳连起来，一直往江北驶去。当时，长江上雾云很大，对面 看不见人。鲁肃心里不明白，问诸葛亮怎么回事。诸葛亮只是笑，并不回答。 不久，船靠近曹操的水寨。诸葛亮命令将船头朝东船尾向西，一字摆开。又叫 士兵一起敲鼓呐喊。曹操听了报告，说：“雾天作战，恐怕有埋伏。先让水陆军的 弓箭手向他们射箭，雾散后再进军。”于是，箭像雨点一样射向那20条船。箭头准 确地落在草捆上，排得密密麻麻。过了一会儿，诸葛亮命令船头掉过来，再由西向 东排开，于是，另一面又被射满了箭。等到太阳要升起来时，雾也快散了。诸葛亮 命令军士开船，并一起大喊：“谢谢丞相的箭！”船到了南岸，周瑜已经派了500 名军士在江边等着搬箭，卸完后共有十二三万枝箭。鲁肃见了周瑜，把诸葛亮借箭 的事说了一遍。周瑜叹气说：“诸葛亮真是神机妙算，我实在不如他啊！”
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最源自文库需要移
动多少次?
2
1.
3
n=1时, f (1) 1
2
1
.
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3
16
.
三棱柱 四棱锥 尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F）
6 4 8 5 5 9
顶点数（V）
8 4 6 6 5 9
棱数（E）
12 6 12 9 8 16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
.
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
. 可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
.
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
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我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”. 你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？
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1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是__2_n__1__.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
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统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断.
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
.
在创造发明中， 人们经常应用 类比
.
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
n=4时, f (4) f (3) 1 f ( 3 ) 1 5
2
1
.
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f(2)1f(2) n=4时, f (4) 1 5 f(3)1f(3)
归纳: f(n)2n 1
1,
n1
f(n)2f(n1)1,n2
12
4
4
6
.
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
.
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
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三棱柱
四棱柱
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我们来推测诸葛亮“先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾
2.曹操生性多疑
3.北军不善水战
草船借箭必将成功
弓弩利于远战
4.今夜恰有东风
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教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳, 类比进行简单的推理； 教学难点：用归纳及其类比进行推理，做出猜 想。
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已知 判断
新的 判断
前提
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
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1.已知数列｛a n｝的第一项 a 1 =1,
且
an1
an 1 an
(
n＝1，2，3，···)，
1
请归纳出这个数列的通项公式为__a_n ___n__.
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练习
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的
变化规律,试猜测第n个图形中有 n2 n1个点.
(1) (2) (3)
(4)
(5)
.
2
1
.
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
.
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3
n=3时, f ( 3 ) 3 1 3
f(2)1f(2)
2
1
.
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f(2)1f(2)
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
5
5
8
.
三棱柱 四棱锥
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
4
4
6
8
6
12
5
6
9
5
5
8
9
9
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
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例题４：请同学们看课本 P29（３分钟）
B
P
S1
S2 D
S3
F
C
AE
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类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
.
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
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小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
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传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的 作用.
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的.和.
归哥德纳巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
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由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
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从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
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试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) ab acbc; (2)(a2)b acbc ; (3)(a3)b a2 b2 ;等
等.
类比推理的结论不一定成立.
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1.课本习题2.1A组1，3，5； 2.找一个你感兴趣的数学定义、公 式或定理，探究它的来源，你也可 以通过翻阅书籍、上网查找资料来 寻求依据.
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再 见
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2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后 探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
.
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
.
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
.
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8