复合函数的导数讲义

复合函数的导数
【基础知识】
如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且
(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '
熟记链式法则
若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''
若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)
(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()
()(x v u f ψϕ''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

【例题详解】
例1函数4
)
31(1x y -=
的导数.例2求51x x y -=的导数． 解：4
)31(1x y -=
4
)31(--=x ．解：5
1
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x y ， 设4
-=u y ，x u 31-=，则'
5
4
1151'⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-2
5
4)
1()
1(1151x x x x x ----⋅
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-
)3(45-⋅-=-u 5
5)31(1212---==x u 5)31(12
x -=
．2
5
4)
1(1151x x x -⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-56
5
4)1(51---=x x 例3 求下列函数的导数
x y 23-=
解：（1）x y
23-= ，令u=3 -2x ，则有y=u ，u=3 -2x
由复合函数求导法则x u x
u y y '∙'='有y ′=()x
u x u )23('-'=x
u
231)2(21--=-∙
在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：y ˊ=
x
x x
231)23(2321--
='-∙-
在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y ˊ=x
x
231)2(2321--
=-∙-
例4求下列函数的导数
（1）y=
x 21-cos x （2）y=ln (x +2
1x +)
解：（1）y=x 21-cos x
由于y=
x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，而其中x 21-又是复合函数，所以在对此函
数求导时应先用乘积求导法则，而在求
x 21-导数时再用复合函数求导法则，于是
y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x
=
x x
cos 212)2(---x 21-sin x=
x
x 21cos ---x 21-sin x
（2）y=ln (x +21x +) 由于y=ln (x +
2
1x +)是u= x +
2
1x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(
2
1x +)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以
y ˊ=
2
11x x ++•[1+(
2
1x +)ˊ]=
2
11x x ++•⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛
++
21221x x
=2
11x x ++•
2
2
11x x x +++=
2
11x +
例 5 设)1ln(++
=x x y 求 y '.
解 利用复合函数求导法求导，得
)'1(1
1)]'1[ln('222++++=
++=x x x x x x y ])1(1[1
122'++++=
x x x
])1(1
211[1
122
2
'+++
++=
x x x x 1
1]1
1[1
12
2
2
+=
++
++=
x x x x x .
小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.
例6求y=(x 2－3x+2)2sin3x 的导数.
解：y′=［(x 2－3x+2)2］′sin3x+(x 2－3x+2)2(sin3x)′
=2(x 2－3x+2)(x 2－3x+2)′sin3x+(x 2－3x+2)2cos3x(3x)′ =2(x 2－3x+2)(2x －3)sin3x+3(x 2－3x+2)2cos3x.
【巩固练习】
1．求下函数的导数.
（1）cos 3
x
y = （2）y =
（3）y=(5x －3)4（4）y=(2+3x)5
（5）y=(2－x 2)3 （6）y=(2x 3+x)2
（7）y=3
2)12(1-x （8）y=41
31+x
（9）y=sin(3x －
6
π) （10）y=cos(1+x 2)
（11）32)2(x y -=（12）2sin x y =；
（13）)4
cos(x y -=π
（14）)13sin(ln -=x y ．
（15）1
22sin -=
x x y （16）)132ln(2
++x x
作业： 一、选择题 1. 函数y =
2
)
13(1
-x 的导数是（ ） A.
3)13(6-x B. 2)13(6-x C. －3)13(6-x D. －2
)13(6
-x
3. 函数y =sin （3x +
4
π
）的导数为（ ） A. 3sin （3x +
4π） B. 3cos （3x +4π）C. 3sin 2（3x +4π） D. 3cos 2（3x +4
π） 4. 曲线n x y =在x=2处的导数是12，则n=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）
A. －2sin2x +
x
x
2cos B. 2sin2x +
x
x 2cos C. －2sin2x +
x
x 2sin D. 2sin2x －
x
x 2cos
6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2相切的切线方程是（ ） A. 4x －y －2=0 B. 4x+y －2=0 C. 4x+y=0D. 4x －y+2=0
二、填空题
8. 曲线y =sin3x 在点P （
3
π
，0）处切线的斜率为___________。

9. 函数y =x sin （2x －
2π）cos （2x +2
π
）的导数是。

10. 函数y =)3
2cos(π
-
x 的导数为。

11. ___________,2)(,ln )(00'===x x f x x x f 则。

作业参考答案
1.C
2.B
3.B
4.A
5.A
6.A
7.y =u 3,u =1+sin3x
8.－3
9.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.
)
3
2cos()32sin(π
π
---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅。