函数与方程

【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(误 差不超过0.1).
[分析]由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定 一个包含正数的闭区间[m,n],且f(m)·f(n)<0,如计算出 f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取区间[1,2]作为计算 的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).
1 -x在(0,1)内的图象与x轴没有交 x
-x在区间(0,1)上不存在零点.
[反思感悟]判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体 题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; 当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在 性定理也无法判断时可画出图象判断.
类型二
二分法求方程的近似解
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0, ∴f(1)·f(3)<0, 故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点.
(4)画出f(x)= 1 -x的图象如图所示. x
由图象可知,f(x)=
1 点,故f(x)= x
0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内
至少有一个零点.
答案:B
4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是()
A.a<1
B.a>1
C.a≤1
D.a≥1
解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a>1.
答案:B
5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根
答案:C
3.函数f x lnx 2 零点所在区间大致是（ ）
x
A.1, 2
B. 2, 3
C.1,
1 e

和3,
4
D.e,
解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内f(x)无零点,A
错误;又f(3)=ln3-
2 3

第十二讲函数与方程
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1.函数的零点 (1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的
零点. (2)方程f(x)=0有解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点. (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根.
2.二分法
(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
b);否则重复2)~4).
考点陪练
1.(2010·天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是
(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理, 知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个 零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连 续的曲线,且f(a)•f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如 单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐 标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
2)求区间(a,b)的中点x1. 3)计算f(x1), a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; b.若f(a)f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1)); c.若f(x1)f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)). 4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或
பைடு நூலகம்
[解]∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0, ∴存在x∈(1,2),使f(x)=0. 用二分法逐次计算,列表如下:
∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7, ∴所求的正数零点是1.7.
【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];
(4)f(x)= 1 -x,x∈(0,1). x
[解](1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(-1)·f(2)<0, ∴f(x)=x3-x-1在区间[-1,2]上存在零点.
(
)
A.-2与-1之间 B.-1与0之间
C.0与1之间 D.1与2之间
解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意.
答案:C
类型一
函数零点存在性的判断与方法
解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法:
答案:C
2.(2010·江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是
(
)
A.(1,2)
B.(3,4)
C.(5,6)
D.(6,7)
解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log461>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,故选 C.
解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计 算过程所得到各个区间､中点坐标､区间中点的函数值等置 于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程, 有时也可利用数轴来表示这一过程;
2.在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的 零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足 f(a)•f(b)<0.