1.教师版：圆的方程

圆的方程专项复习（教师版）

一、知识点归纳： 1.圆的标准方程

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点是圆心，定长是半径。

如果圆心坐标为(a ,b )，半径等于r ,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2。如果圆心恰好为原点时，方程为x 2+y 2=r 2。圆心在原点（0，0），半径为1的圆称为单位圆，其方程为x 2

＋y 2

=1,

由圆心坐标(a ,b )及半径r 的值，可以直接写出圆的标准方程。由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径r 的大小。

2.圆的一般式方程

任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆方程。 一般方程

x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0，配方22224()()224

D E D E F

x y +-+++=

（1）当D 2

+E 2

-4F ＞0时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心(,)22D E --.

（2）当D 2+E 2-4F =0时，方程仅表示一个点；

（3）当D 2+E 2-4F ＜0时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。 3.参数方程的概念

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数，即()

,()x f t y g t =⎧⎨

=⎩

且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x ,y 之间关系的变数叫做参数。相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。 4.圆的参数方程：

若圆心坐标为C (a ,b )，半径为r ，则cos ,sin x a r y b r θ

θ=+⎧⎨

=+⎩

称为圆的参数方程。其中θ是以x 轴正方向为始边方向，CP 方

向为终边方向的角。C 是圆心，P 是圆上与θ对应的点。 特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθ

θ

⎩⎨⎧==r y r x

5.点与圆的位置关系

几何法——利用距离来判断：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．

（1）点在圆外;r d >⇔ （2）点在圆上;r d =⇔ （3）点在圆内;r d <⇔ 代数法——利用方程来判断：设点),,(00y x P 圆的方程为(x －a)2

＋(y －b)2

=r 2

（r>0）

（1）点P 在圆外22020)()(r b y a x >-+-⇔；（2）点P 在圆上;)()(2

2020r b y a x =-+-⇔；

（3）点P 在圆内22020)()(r b y a x <-+-⇔； 6. 求圆的切线方法

(1)已知圆x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F=0．

①若已知切点(x 0

，y 0

)在圆上，则切线只有一条，其方程是02

)

(2)(0000=+++++

+F y y E x x D y y x x 当),(00y x 在圆外时，0)2

()2(

000=++++++F y y E x x D y y x x 表示过两个切点的切点弦方程． ②若已知切线过圆外一点(x 0

，y 0

)，则设切线方程为y －y 0

=k(x －x 0

)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，

注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线． (2)已知圆x 2

＋y 2

=r 2

．①若已知切点P 0

(x 0

，y 0

)在圆上，则该圆过P 0

点的切线方程为x 0

x ＋y 0

y=r 2

．

②已知圆的切线的斜率为k ，圆的切线方程为12+±=k r kx y . 7.几种特殊位置的圆的方程

（1）圆心在原点：222(0)x y r r +=≠ （2）圆心在x 轴上：222()(0)x a y r r -+=≠ （3）圆心在y 轴上：222()(0)x y b r r +-=≠ （4）与x 轴相切：222()()(0)x a y b b b -+-=≠ （5）与y 轴相切：222()()(0)x a y b a a -+-=≠ （6）圆心在x 轴上且过原点：222()(0)x a y a a -+=≠ （7）圆心在y 轴上且过原点：222()(0)x y b b b +-=≠（8）过原点：222222()()(0)x a y b a b a b -+-=++≠ （9）与两坐标轴都相切：222()()(||||0)x a y b a a b -+-==≠ 8.重要结论：

（1）已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．则圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0． （2）过圆外一点00(,)P x y 的圆的切线方程的求解方法：

设切线方程为00()y y k x x -=-，与圆的方程联立，根据=0∆即可求出k 的值；也可以根据圆心到直线的距离等于半径求出k 的值。特别要注意若解出一个k ，则还有一条斜率不存在的直线。 （3）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程是200.x x y y r +=

（4）过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的切线方程是200()()()().x a x a y b y b r --+--= （5）过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上一点00(,)P x y 的切线方程是00000.22

x x y y

x x y y D E F ++++⋅

+⋅+= （6）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C 1∶x 2

+y 2

+D 1x+E 1y+F 1=0和圆C 2∶x 2

+y 2

+D 2x+E 2y+F 2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0． 9．几何性质：

（1）点A,B 在圆上时，圆心在AB 的垂直平分线上；（2）圆心与切点的连线与圆的该切线垂直； （3）圆心到切线的距离等于圆的半径； （4）圆的半径、半径长、弦心距构成直角三角形。