复旦大学数学科学学院转专业考试

1.求极限lim n→∞1

n (n +1)2n k 2C n k n k =1。 2.已知

f(x)在定义域上连续，且f (x )2= f (t )

1+2tan ⁡(t )2x 0dt ，求f(x)的表达式。

3.是否存在函数f(x)∈(-∞，+∞)，使得f(x)在定义域上的每一点都不可导，但极限lim n→∞n (f x +1n −f x )存在。

4.求以曲线C:x 2+y 2+z 2=1，x+y+z=0为准线，以(1,1,1)为母线的方向向量的圆柱面方程。

5.已知方程组A: B:同解，求a,b,c 的值。

6.已知向量(1,1,-1)T 是矩阵A 的特征向量。

(1)求a,b 的值。

(2)A 能否对角化？说明理由。

7.证明： 1−sin ⁡(x )1+sin ⁡(x )>ln(1+sinx )x 。

8.设f(x)在D 上定义，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，只要x 1,x 2满足|x 1-x 2|<δ，就有|f(x 1)-f(x 2)|<ε，则称函数f(x)在D 上一致连续。

(1)求证：定义在R 上的连续周期函数一定一致连续。

(2)证明sin ⁡(x 3)不是周期函数。

9.证明：不存在定义在[0,+∞)的连续函数y=f(x)，使得dy

dx =1+x 2+y 2。