甘肃省天水市中考数学试卷(含答案)

a b
1
2011年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）试卷
数 学
相信自己！
（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
A 卷（满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把正确的选项选出来．） 1．（11·天水）图中几何体的主视图是
【答案】D
2
．（11·天水）下列运算中，计算结果正确的是 A ．x
2·x 3＝
x 6 B ．x 2n ÷
x n －
2＝x n ＋
2
C ．(2x 3)2＝4x 9
D ．x 3＋x 3＝x 6
【答案】B
3．（11·天水）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是
【答案】B
4．（11·天水）多项式2a 2－4ab ＋2b 2分解因式的结果正确的是 A ．2(a 2－2ab ＋b 2) B ．2a (a －2b )＋2b 2 C ．2(a －b ) 2
D ．(2a －2b ) 2
【答案】C
5．（11·天水）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是 A ．30° B ．45°
C ．40°
D ．50° 【答案】D
C ． B ． A ．
D ．
正面
6．（11·天水）在a 2□4a □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是 A ．12
B ．13
C ．14
D ．1
【答案】A
7．（11·天水）将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为 A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2
D ．y ＝(x －1)2＋2
【答案】D
8．（11·天水）样本数据3、6、a 、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是 A ．8 B ．5
C ．2 2
D ．3
【答案】A
9．（11·天水）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 A ．13
B ．1
2
C ．34
D ．1
【答案】B
10．（11·天水）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果．） 11．（11·天水）计算8－1
2
＝_ ▲ ． 【答案】32
2
12．（11·天水）若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2＋y 2＝_ ▲ ． 【答案】7
13．（11·天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB )8.7m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7m ，观测者目高CD ＝1.6m ，则树高AB 约是_ ▲ ．（精确到0.
1m ）
D
C
C E
C
E
【答案】5.2
14．（11·天水）如图（1），在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与
纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m 2，求道路宽为多少？设宽为x m ，从图（2）的思考方式出发列出的方程是_ ▲ ．
【答案】(32－2x )(20－x )＝570
15．（11·天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4与2x ＋23x －5，且点A 、B 到原点
的距离相等．则
x ＝_ ▲ ．
【答案】11
5或2.2
16．（11·天水）计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 260°＝_ ▲ ． 【答案】2
17．（11·天水）抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若函数y ＞0值时，则x 的取值范围
是_
▲ ．
【答案】－3＜x ＜1
18．（11·天水）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6点E 在AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋
【答案】210
三、解答题（本大题共3小题，其中19题9分，20题6分，21题13分，共要的文字说明及演算过程．
19．（11·天水）本题共9分（其中第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题5分）
Ⅰ．先化简(x 2x ＋1－x ＋1)÷x x 2－1，再从－2、－1、0、1、2中选一个你认为适合的数作为x 的值代
入求值．
E
B D
（1）
（2）
C
B
A
E
D
F 【答案】原式＝x 2－(x －1)(x ＋1)x ＋1
·x 2－1
x
＝1
x ＋1
·(x －1)(x ＋1)x ………………1分
＝x －1
x ………………2分
当x ＝2时，原式＝3
2 ………………4分
（或当x ＝2时，原式＝2－2
2
）
Ⅱ．已知l 1：直线y ＝－x ＋3和l 2：直线y ＝2x ，l 1与x 轴交点为A ．求： （1）l 1与l 2的交点坐标．
（2）经过点A 且平行于l 2的直线的解析式 【答案】解：（1）设l 1与l 2的交点为M ，则
由⎩⎨⎧y ＝－x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2 ∴M (1，2) （2）设经过点A 且且平行于l 2∵l 1与x 轴交点为A (3，0) 6＋b ＝0，∴b ＝－6
则：所求直线的解析式为y ＝2x －6 ………………5分
其它解法参照上面的评分标准评分
20．（11·天水）已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF
∥BE ，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】解：结论：四边形ABCD 是平行四边形 ………………2分
证明：∵DF ∥BE
∴∠AFD ＝∠CEB ………………3分
又∵AF ＝CE DF ＝BE ，
∴△AFD ≌△CEB （SAS ） ………………4分 ∴AD ＝CB ∠DAF ＝∠BCE ∴AD ∥CB
∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………6分
21．（11·天水）本题共13分（其中第Ⅰ小题6分，第Ⅱ小题7分）
Ⅰ．爱养花的李先生为选择一个合适的时间去参观2011年西安世界园艺博览会，他查阅了5月10
日至16日是（星期一至星期日）每天的参观人数，得到图（1）、图（2）所示的统计图．其中图（1）是每天参观人数的统计图，图（2）是5月15日（星期六）这一天上午、中午、下午和
晚上四个时段参观人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下面的问题：
（1）5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，参观人数
最少的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，中位数是_ ▲ ．
（2）5月15日是（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人？（精确到1万
人）
（3）如果李先生想尽可能选择参观人数较少的时间参观世园会，你认为选择什么时间较合适？
85509251 107829
【答案】（1）15；34；10；16；22万………………………………………………………………3分
（2）34×(74%－6%)≈23（万人）………………………………………………………5分 （3）答案不唯一，只要符合题意均可得分………………………………………………6分
Ⅱ．如图在等腰Rt △OBA 和Rt △BCD 中，∠OBA ＝∠BCD ＝90°，点A 和点C 都在双曲线y ＝4
x
（k
＞0）上，求点D 的坐标．
【答案】点A 在双曲线y ＝4
x 上，且在△OBA 中，AB ＝OB
∠OBA ＝90°，则OB ·AB ＝4
∴AB ＝OB ＝2分
过点C 作CE ⊥x 轴于E ， CF ⊥y 轴于F 设BE ＝m 由在△BCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，则CE ＝m 又∵点C 在双曲线y ＝4
x 上，
∴m (m ＋2)＝4………………………………………………………………………………5分 解得m ＝±5－1，∵m ＝＞0
∴m ＝5－1…………………………………………………………………………………6分 ∴OD ＝2＋25－2＝2 5
∴点D 的坐标(25，0) ……………………………………………………………………7分
B 卷（满分50分）
西安世界园艺博览会5月15日（星期六） 四个时段参观人数的扇形统计
一 二 三 四 五 六 日 星期
西安世界园艺博览会5月10日至16日（星
第20题图 A
B
C
D O x
y 第20题图
A
B C
D O x y B 1
C 1
D 1 A B C
D
E G F
O
M N A B C
D E G F
O (1)
A D
E G
F (2)
四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤过程及推理过程．）
22．（11·天水）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位
长度．正方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标为 (1，1)． （1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点B 1，
点C 到达点C 1，点D 到达点D 1，求点B 1、C 1、D 1的坐标． （2）若线段AC 1的长度．．与点D 1的横坐标．．．的差．
恰好是一元二次方程 x 2＋ax ＋1＝0的一个根，求a 的值．
【答案】（1）B 1 (2，－1)，C 1 (4，0)，D 1 (3，2) ……………………………………………………3分
（2）由勾股定理得：AC ＝10………………………………………………………………4分
则(10－3)是x 2＋ax ＋1＝0的一根
(10－3)2＋a (10－3)＋1＝0 …………………………………………………………6分 a ＝－210…………………………………………………………………………………8分 另解：设另一根为x 0，则x 0(10－3)＝1
x 0＝1
10－3＝10＋3……………………………………………………………………………6分 ∴a ＝－[(10－3)＋(10＋3)]＝－210………………………………………………………8分
23．（11·天水）（10分）某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意
的图案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD 内作等边△BCE ，并与正方形的对角线
交于点F 、G ，制作如图（2）的图标，请我计算一下图案中阴影图形的面积．
【答案】连接FG 并延长交AB 于M 、AC 于N
∵△BCE 和四边形ABCD 分别是正三角形和正方形
∴MN ⊥AB ，MN ⊥CD ………………………………………………………………………2分 ∵∠BAC ＝45°，∠ABE ＝30°
∴MF ＝x ，则x ＋3x ＝1……………………………………………………………………5分
∴x ＝1
3＋1＝3－12…………………………………………………………………………7分
∴S 阴影＝S 正方形－S △BCE －2S △ABF
＝1－1
43－3－12＝6－334
………………………………………………………………10分
另解：S 阴影＝1
4
S 正方形－S 四边形EGOF
＝14－12(32－1
2)(1－2×3－12)＝6－334
24．（11·天水）（10分）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种
品牌电脑中各选择一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）．如果各种选购方案被选中的可能性相同，
那么A 型号电脑被选中的概率是多少？
（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A 型号，学校规定购买
费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A 型号电脑可以是多少台？
或列表如下：
E ）、（B ，E ）、（C ，E ）…2分
P （A 型号被选中）＝1
3
……………………………………………………………4分
（2）设购买A 型号x 台，则（1）知
当选用方案（A ，D ）时：由已知 92 000
≤6 000
x ＋
5 000(36－x )≤100 000
得－88≤x ≤－80 不符合题意………………………………………………………………7分 当选用方案（A ，E ）时：由已知 92 000≤6 000x ＋2 000(36－x )≤100 000
得5≤x ≤7 不符合题意………………………………………………………………………9分 答：购买A 型号电脑可以是5台、6台、7台………………………………………………10分 25．（11·天水）（10分）在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 是△ABC 的外心，连接AO 并延长交BC 于D ，
甲品牌 A B C
乙品牌 D E D E D E
交△ABC 的外接圆于E ，过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于Q ，设OQ ＝9
2，BQ ＝32．
（1）求⊙O 的半径；
（2）若DE ＝3
5，求四边形ACEB 的周长．
【答案】（1）连接OB ，∵BQ 切⊙O 于B ，
∴OB ⊥BQ ． 在Rt △OBQ 中，OQ ＝9
2
，BQ ＝3 2
∴OB ＝OQ 2－BQ 2＝3
2…………………………………………………………………2分
即⊙O 的半径是3
2
．
（2）延长BO 交AC 于F ………………………………………………………………………………3分
∵AB ＝BC ，则⌒AB ＝⌒BC ，∴BF ⊥AC
又∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE ＝∠ABE ＝90°，
∴BF ∥CE …………………………………………………………………………………………4分 （另解：∠DBF ＝∠OBA ＝∠OAB ＝∠DCE ）
∴△BOD ∽△CED ………………………………………………………………………………5分 ∴BO CE ＝OD DE
∴CE ＝DE ·BO OD ＝35×
32
32－3
5＝1………………………………………………………………………6分
∴在Rt △ACE 中，AE ＝3，CE ＝1，则AC ＝22……………………………………………7分 又∵O 是AE 的中点，∴OF ＝12CE ＝1
2，则BF ＝2……………………………………………8分
在Rt △ABF 中，AF ＝1
2
AC ＝ 2 ∴AB ＝ 6
在Rt △ABE 中，BE ＝ 3 ……………………………………………9分 （如用△ABQ ∽△BEQ 解得AB 、BE ，计算正确也得分）
故：四边形AECB 的周长是：1＋22＋6＋3……………………………………………10分 26．（11·天水）（10分）在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，
以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图（1）），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．
（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式． （2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在
这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
F
【答案】解：（1）△DEF 是边长为2的等边三角形，在梯形OABC 中，
OC ＝2，BC ＝4，∠AOC ＝60°，AB ⊥x 轴
∴OA ＝5，AB ＝3…………………………………………………………………1分 依题意：①当0＜t ≤1时，S ＝32
t 2
………………………………………………2分 ②当1＜t ＜2时，S ＝
34×22－32 (2－t ) 2＝－3
2
(2－t ) 2＋ 3 ………………3分 ③当2≤t ≤5时，S ＝3……………………………………………………………4分
（2）由已知点O (0，0)、C (1，3)、B (5，3)；设过点O 、C 、B 的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx
则⎩
⎪⎨
⎪⎧3＝a ＋b
3＝25a ＋5b 解得⎩⎨⎧a ＝－3
5b ＝63
5
∴抛物线的解析式为:y ＝－
35x 2＋635
x ………………………………………………………………6分 若存在点G ，使得S △OGA ＝S 梯形OABC ；此时，设点G 的坐标为（x ，－35x 2＋63
5
x ）…………7分 ∵射线DF 与抛物线的交点在x 轴上方 ∴12×5×(－35x 2＋635x )＝1
2
×5×(5＋4)× 3 化简得x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3………………………………………………………………………9分 则此时点G(3，
953)，作GH ⊥x 轴于H ，则：DH ＝GH ·cot60°＝953×33＝9
5
∴此时t ＝2＋95＝19
5（秒）……………………………………………………………………………11分
故：存在时刻t ＝19
5
时，△OGA 与梯形OABC 的面积相等…………………………………………12分
A (D ) B
C
D E F
O
x
y
A B
C
E
F O
x y。