5 桥梁结构的材料几何非线性分析
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可以采用Newton-Raphson切线刚度迭代法，其迭代公式为
[KT ]n { }n1 { }n
[ ]n1 { }n [ ]n1
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。
以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
[B]T { }dV {F}
{ } [B]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍
然成立，但物理方程是非线性的，可以写成
但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题
若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束 假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。
如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。
（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料
众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型 的桥梁几何非线性问题。
几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大 位移大应变即有限应变理论两种。
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题
，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载 作用下的大挠度问题等。
[K({ })] [B]T [D({})][B]dV
平衡方程迭代公式
[K ]n1{ }n {F }
迭代步骤如下
①首先取{ }0 0，则 [K ({ }0 )] [K ]0 ②由式 { }1 [K ]01{F }
③取{ }1，算得 [K ]1
④ { }2 [K ]11{F }
本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始 终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因 素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后 ，再近似叠加考虑综合因素影响。
圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁
工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学 院胡大琳教授的பைடு நூலகம்究[3]具有代表性。
并将平衡方程式改写为 { ({})} [B]T {}dV {F} 0
上式的增量形式为 d{} [B]T d{}dV
则有 d{ } ([B]T [DT ({ })][B]dV )d{ } [KT ]d{ } 切线弹 切线刚度矩阵 性矩阵 [KT ] [B]T [DT ({ })][B]dV
桥梁结构的材料几何非线性分析
桥梁结构的非线性问题 桥梁结构材料非线性分析 桥梁结构几何非线性分析 活载非线性分析 小结 本章参考文献 本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵
桥梁结构的非线性问题
从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础 上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线 性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要
f ({ },{ }) 0
注意到平衡方程式是以应力 { }表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ }表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变{} 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
[K({ })]{ } {F}
此即为材料非线性问题的平衡方程
⑤多次迭代直止{ }n { }n1 给定小数，则{ }n就是方程的解
此图是此种迭代 过程的应力变化， 可以看出，弹性 矩阵[D({ })]表示 应力应变曲线上 的割线斜率，所 以此法称为割线 刚度法或称直接 迭代法
如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即
d{} [DT ({})]d{}
（2）几何非线性问题 若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变
化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性 问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚 度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有 关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题
恒、活载计算问题 结构稳定 等均属几何非线性问题。
(2) 迭代求解方法 用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为
变刚度迭代法 常刚度迭代法 （a）变刚度迭代法 变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果 材料的本构关系能够表示成
{ } [D({ })]{ }
则应力位移关系
{ } [D({ })][B]{ }
刚度矩阵
相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一
些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应 、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。 所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。
寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向， 也是工程界所渴望的
桥梁结构材料非线性分析
的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂 问题的简化方法。
经典线性理论基于: 小变形 弹性本构关系 理想约束
三个基本假定，使得: 本构方程 几何运动方程 平衡方程 成为线性。
若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各 种非线性问题。
（1）材料非线性问题 若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制
方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。
在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。
材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。
[KT ]n { }n1 { }n
[ ]n1 { }n [ ]n1
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。
以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
[B]T { }dV {F}
{ } [B]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍
然成立，但物理方程是非线性的，可以写成
但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题
若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束 假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。
如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。
（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料
众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型 的桥梁几何非线性问题。
几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大 位移大应变即有限应变理论两种。
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题
，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载 作用下的大挠度问题等。
[K({ })] [B]T [D({})][B]dV
平衡方程迭代公式
[K ]n1{ }n {F }
迭代步骤如下
①首先取{ }0 0，则 [K ({ }0 )] [K ]0 ②由式 { }1 [K ]01{F }
③取{ }1，算得 [K ]1
④ { }2 [K ]11{F }
本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始 终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因 素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后 ，再近似叠加考虑综合因素影响。
圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁
工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学 院胡大琳教授的பைடு நூலகம்究[3]具有代表性。
并将平衡方程式改写为 { ({})} [B]T {}dV {F} 0
上式的增量形式为 d{} [B]T d{}dV
则有 d{ } ([B]T [DT ({ })][B]dV )d{ } [KT ]d{ } 切线弹 切线刚度矩阵 性矩阵 [KT ] [B]T [DT ({ })][B]dV
桥梁结构的材料几何非线性分析
桥梁结构的非线性问题 桥梁结构材料非线性分析 桥梁结构几何非线性分析 活载非线性分析 小结 本章参考文献 本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵
桥梁结构的非线性问题
从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础 上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线 性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要
f ({ },{ }) 0
注意到平衡方程式是以应力 { }表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ }表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变{} 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
[K({ })]{ } {F}
此即为材料非线性问题的平衡方程
⑤多次迭代直止{ }n { }n1 给定小数，则{ }n就是方程的解
此图是此种迭代 过程的应力变化， 可以看出，弹性 矩阵[D({ })]表示 应力应变曲线上 的割线斜率，所 以此法称为割线 刚度法或称直接 迭代法
如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即
d{} [DT ({})]d{}
（2）几何非线性问题 若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变
化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性 问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚 度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有 关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题
恒、活载计算问题 结构稳定 等均属几何非线性问题。
(2) 迭代求解方法 用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为
变刚度迭代法 常刚度迭代法 （a）变刚度迭代法 变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果 材料的本构关系能够表示成
{ } [D({ })]{ }
则应力位移关系
{ } [D({ })][B]{ }
刚度矩阵
相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一
些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应 、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。 所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。
寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向， 也是工程界所渴望的
桥梁结构材料非线性分析
的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂 问题的简化方法。
经典线性理论基于: 小变形 弹性本构关系 理想约束
三个基本假定，使得: 本构方程 几何运动方程 平衡方程 成为线性。
若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各 种非线性问题。
（1）材料非线性问题 若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制
方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。
在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。
材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。