高考数学 第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数课件 文 北师大版

角α的弧度数公式 角度与弧度的换算
|α|= l （弧长用l表示）
r
①1°= rad ②1 rad=( 1 8 0 )°
180
弧长公式
弧长l= r|α|
扇形面积公式
S=
1 2
lr
=1 r2 | |
2
3.任意角的三角函数 （1）定义：在平面直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交 于点P(u,v)，则sin α=_v_，cos α=_u_，tan α= v（ u 0） .
(6)正确.由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限角. 答案：（1）× （2）× （3）× （4）× (5)√ (6)√
1.终边落在第二象限的角可表示为( )
(A){α|90°+2kπ<α<180°+2kπ，k∈Z}
(B){α| +2kπ<α<π+2kπ，k∈Z}
2
(C){α|90°+k×180°<α<180°+k×180°，k∈Z}
【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关 系是________________. 【解析】当α，β的终边重合时， β=α+k·2π,k∈Z. 当α，β的终边互为反向延长线时， β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z. 答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z
22
长为2r+l=2×1+4=6.
4.已知角α终边上一点A(2,2)，则tan α=______.
【解析】tan y 2 1.
x2
答案：1
考向 1 终边相同的角的表示
【典例1】（1）若α是第三象限的角，则π- 1 α是( )
2
(A)第一或第二象限的角 (B)第一或第三象限的角
(C)第二或第三象限的角 (D)第二或第四象限的角
∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
② k＜ ＜ k,kZ,
2
4
当k=2n(n∈Z)时,2n＜ ＜ 2n,nZ,
2
4
∴ 的终边在第一象限.
2
当k=2n+1(n∈Z)时,
2 n 1 ＜ ＜ 2 n 1 ,n Z ,
2
4
即 2n＜ ＜ 2n5,n Z ,
2
4
∴ 的终边在第三象限.
角α的 弧度数 0
6
4
3
2
2
3
5 6
π
sin α _0_
1 2
2 2
3
_1_
3
2
2
1 2
_0_
cos α _1_ 3
2
1
_0_ 1
2
2
2
2
3 __-_1_
2
tan α _0_
3 3
_1_
3
3
3 3
_0_
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）小于90°的角是锐角.( ) （2）锐角是第一象限角，反之亦然.( ) （3）与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°，k∈Z或 2kπ+45°，k∈Z.( ) （4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.( ) （5）终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) （6）点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α终边在第二 象限.( )
半轴.由tanθ>0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三象限角.
3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形
的周长为( )
(A)2
(B)4 (C)6 (D)8
【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为α，则
S1r21解4r得2r=2,1,故l=|α|r=4×1=4,所以扇形周
（2）已知角α是第一象限角，确定2α， 的终边所在的象
2
限位置.
【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π- α的1 范围，通过
2
对k的奇偶性讨论可得解.
(2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的 范围，
2
最后确定终边所在的位置.
【规范解答】(1)选B.由 2k ＜ ＜ 32k ， k Z ,
2
综上可得 的终边在第一象限或第三象限.
2
【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用 (1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z 的形式. (2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角； 也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限或 范围. (3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，两 种单位不能混用.
(D){α| +kπ<α< 3 π+kπ，k∈Z}
4
4
【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C，D错，当k为奇数
时不成立，故选B.
2.已知sinθ<0，tanθ>0，那么角θ是( )
(A)第一象限角
(B)第二象限角
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选C.由sinθ<0，则θ的终边在三、四象限，或y轴负
【解析】（1）错误.负角小于90°但它不是锐角. （2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350°是第一象限角， 但它不是锐角. （3）错误.不能表示成2kπ+45°,k∈Z，即角度和弧度不能 混用. （4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60°. （5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得.
考向 2 弧度制的应用 【典例2】（1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径r=6， 求 A B 的长及扇形面积. （2）已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最 大面积，最大面积是多少？ 【思路点拨】（1）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧 长、面积公式求解. （2）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半 径r的二次函数后求最值.
u
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是(1,0).
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的_正__弦__线__，角α的 _余__弦__线__和角α的_正__切__线__.
4.特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
第三章 三角函数、三角恒等变形、 解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 旋转
象限角
正角 负角 零角
α+k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_单__位__长__度__的弧所对的圆心 角为1弧度的角,它的单位符号是_r_a_d_，读作_弧__度__. （2）公式：
2
得 k ＜ 1 ＜ 3k ， k Z ，
2 24
故 k ＜ 1 ＜ k ,k Z .
4
22
当k为偶数时π- α1 在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象
2
2
限，故选B.
(2)∵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是第一象限角，
k2＜ ＜ k2,k Z . 2
①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z,
即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z,