高考数学文化题目的命制背景-立体几何中的数学文化

高考数学文化题目的命制背景-立体几何中的数学文化

一.专题综述

以选择题或者填空题的形式，以垂直关系或者平行关系以及三视图中的表面积、体积问题为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.

预测：以平行关系、垂直关系、三视图为题材考查空间中的文化

二．回顾高考

1.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则

12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209

÷1.62≈22，故选B. 2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE

（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC

的值．

【解析】（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，

由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，

所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥.

又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥.

而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.

又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF .

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.

设1PD DC ==，BC λ=，有BD

在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=

,

则 πtan

tan 3BD DPF PD =∠==, 解得λ=

所以1DC BC λ==

故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为

π3时，DC BC . （解法2）

（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点， 所以11(0,,)22E ，11(0,,)22

DE =，

于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥.

又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面.

因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.

三．典例分析

例1. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为

( )

A.4－π2

B.8－4π3

C.8－π

D.8－2π

【答案】C

例2．(2017·新乡三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )

A.5 000立方尺

B.5 500立方尺

C.6 000立方尺

D.6 500立方尺

【答案】A

【解析】该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF ，取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和，而三棱柱ADE －GHF 可通过割补法得到一个高

为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔形的体积V ＝23×2＋13

×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺.

【规律总结】

1.本例以《九章算术》，祖暅原理为背景，相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.

2.两题很好地诠释了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中对数学文化内容的要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试题本身.

四．强化训练

1. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈

.人们还用

过一些类似的近似公式.根据π=3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )

【答案】D

【解析】因为