离散数学第五版前3章课后习题答案
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第1章习题
1.1
(2) 简单命题
(3),(4),(5)不是命题
(6) 复合命题
1.5
p∧,其中,p:2是偶数,q:2是素数。
(1)q
p→,其中,p:天下大雨,q:他乘公共汽车上班
(5)q
q→,其中,p,q的含义同(5)
(6)p
q→,其中,p,q的含义同(5)
(7)p
1.7
(1)对(1)采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了(1)中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,(1)为重
等值演算法
∨
∨
⇔(蕴含等值式)
⌝
p∨
p
(r
)
q
∨
∨
⇔)
((结合律)
⌝
p∨
r
q
p
∨
⇔1(排中律)
q∨
r
⇔(零律)
1
由最后一步可知,(1)为重言式。
(3)用等值演算法判(3)为矛盾式
⌝
((蕴含等值式)
⌝
⇔)
∨
q
q
p∧
∧
⇔(德·摩根律)
⌝
p∧
q
q
∧
⇔(结合律)
⌝
)
p∧
(q
q
⇔p(矛盾律)
∧
⇔(零律)
由最后一步可知,(3)为矛盾式。 (10)非重言式的可满足式 1.8(1)从左边开始演算
)(q q p ⌝∨∧⇔ (分配律) 1∧⇔p (排中律) .p ⇔ (同一律)
(2)从右边开始演算
)(r q p ∧∨⌝⇔ (蕴含等值式) )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ (分配律) ).()(r p q p →∧→⇔ (蕴含等值式)
1.9(1)
))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ (蕴含等值式)
p q p ⌝∧∧⇔
(德·摩根律) q p p ∧⌝∧⇔)(
(结合律、交换律)
q ∧⇔0
(矛盾式)
.0⇔
(零律)
由最后一步可知该公式为矛盾式。 (2))())()((q p p q q p ↔↔→∧→
)()(q p q p ↔↔↔⇔
(等价等值式)
由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为重言式。 1.12 (1) 设(1)中公式为A.
于是,公式A 的主析取范式为 易知,A 的主合取范式为 A 的成真赋值为
000, 001, 010, 111
A 的成假赋值为
011,100,101,110
(2)设(2)中公式为B
所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨. B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01.
1.14 设p:A 输入;
设q:B 输入; 设r:C 输入;
由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.
)(q q p ↓↓⇔.
1.19 (1)
证明 ①r q ∨⌝ 前提引入
②r ⌝ 前提引入
③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换
⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)
附加前提证明法:
证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入
③p ①②析取三段论
④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法:
证明 ①q 结论的否定引入
②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入
④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入