离散数学第五版前3章课后习题答案

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第1章习题

1.1

(2) 简单命题

(3),(4),(5)不是命题

(6) 复合命题

1.5

p∧,其中,p:2是偶数,q:2是素数。

(1)q

p→,其中,p:天下大雨,q:他乘公共汽车上班

(5)q

q→,其中,p,q的含义同(5)

(6)p

q→,其中,p,q的含义同(5)

(7)p

1.7

(1)对(1)采用两种方法判断它是重言式。

真值表法

表1.2给出了(1)中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,(1)为重

等值演算法

⇔(蕴含等值式)

p∨

p

(r

)

q

⇔)

((结合律)

p∨

r

q

p

⇔1(排中律)

q∨

r

⇔(零律)

1

由最后一步可知,(1)为重言式。

(3)用等值演算法判(3)为矛盾式

((蕴含等值式)

⇔)

q

q

p∧

⇔(德·摩根律)

p∧

q

q

⇔(结合律)

)

p∧

(q

q

⇔p(矛盾律)

⇔(零律)

由最后一步可知,(3)为矛盾式。 (10)非重言式的可满足式 1.8(1)从左边开始演算

)(q q p ⌝∨∧⇔ (分配律) 1∧⇔p (排中律) .p ⇔ (同一律)

(2)从右边开始演算

)(r q p ∧∨⌝⇔ (蕴含等值式) )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ (分配律) ).()(r p q p →∧→⇔ (蕴含等值式)

1.9(1)

))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ (蕴含等值式)

p q p ⌝∧∧⇔

(德·摩根律) q p p ∧⌝∧⇔)(

(结合律、交换律)

q ∧⇔0

(矛盾式)

.0⇔

(零律)

由最后一步可知该公式为矛盾式。 (2))())()((q p p q q p ↔↔→∧→

)()(q p q p ↔↔↔⇔

(等价等值式)

由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为重言式。 1.12 (1) 设(1)中公式为A.

于是,公式A 的主析取范式为 易知,A 的主合取范式为 A 的成真赋值为

000, 001, 010, 111

A 的成假赋值为

011,100,101,110

(2)设(2)中公式为B

所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨. B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01.

1.14 设p:A 输入;

设q:B 输入; 设r:C 输入;

由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.

)(q q p ↓↓⇔.

1.19 (1)

证明 ①r q ∨⌝ 前提引入

②r ⌝ 前提引入

③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换

⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)

附加前提证明法:

证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入

③p ①②析取三段论

④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法:

证明 ①q 结论的否定引入

②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入

④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入

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