九年级数学上册《垂径定理》优秀课件

1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（错）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
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的另一条弧.
（对 ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（错 ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （对 ）
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2．如图，在⊙O 中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB 的 距离为3cm，求⊙O 的半径．
【解析】连接OA, ∵CD=20, ∴ AO = CO = 10,
C
A
M └
B
∴OM=OC – CM = 10 – 4 = 6,
在⊙O中，直径CD⊥弦AB,
O
∴ AB =2AM,
△OMA是直角三角形,
在Rt△OMA中，AO=10，OM=6,
D
根据勾股定理，得：AO2 OM2 AM2 ,
∴ AM AO2 OM2 102 62 8,
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垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
①CD是直径,
②CD⊥AB, ③AM=BM, ④AC BC, ⑤AD BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└ ●O
B 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
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1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB
【解析】
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R2 3002 R 902.
C E
F D
O
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
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∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
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例2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆 的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关 系？为什么？
提示:作OG⊥AB
O
A C G DB
└
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例3:如图,一条公路的拐弯处是一段弧(即图中 CD ,点 O是 CD的圆心),其中CD=600m,E是 CD 上一点,且OE⊥CD, 垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
【解析】QOE AB,
AE 1 AB 1 8 4, 22
在Rt△AOE中,
A
E
B
O·
AO2 OE2 AE2 ,
AO OE2 AE 2 = 32 +42 =5(cm).
答：⊙O 的半径为5cm.
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3．如图，在⊙O中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.圆的轴对称性 2.垂径定理及其推论
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
【证明】QOE AC,OD AB,AB AC, OEA 90o, EAD 90o , ODA 90o,
∴四边形ADOE为矩形. C
∵ OE⊥AC,OD⊥AB,
∴ AE 1 AC，AD 1 AB,
2
2
又∵AC=AB,
∴ AE=AD, ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
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C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,
并且平分 ADB及ACB.
·O
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
E
并且平分弦所对的两条弧．
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧．
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“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加“不是直 径”的限制.
（2）图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
【解析】（1）是轴对称图形．直径CD所在
C
的直线是它的对称轴.
（2）线段：AE=BE.
弧: AC BC,AD BD.
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD 两侧的两
E
个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE A
B
D
重合，AC, AD分别与BC,BD 重合．
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O
5
┏
= 8，OA = 5，则AC=4 ，OC = 3 . A
C8
B
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，
OA=10，则∠OCA= 90 °， OC= 6 .
O 10
A
C 16 B
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例1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB， 已知CD = 20，CM = 4，求AB.
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垂径定理
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把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几 次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？