从二道高考题精析二面角的求法

案例说法

—————从二道高考题解读二面角的求法

空间几何中的三种角-----异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，加之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分，并且如果不分试题背景都用法向量来求解，也有“小题大作”之嫌，费时费事，出现“隐形”失分。因此，在教学、备考中适当介绍一些二面角的常用求法，让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用牛刀”的尴尬局面。

下面通过2011年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。 例1（2011年全国大纲卷理16）已知E 、F 分别在正方形1111_D C B A ABCD 棱BB 1，CC 1上，且B 1F=2EB ，CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于_______________。

一、面积射影法

一个平面多边形的面积为S ，它在另一个平面上的射影多边形的面积为1S ，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为θ，则S

S 1

cos =

θ 解：如图1，设3=AB ，

可求得)22,10(2

11

3,29====

=∆∆AF EF AE S S AEF ABC 且AEF ∆ 在平面ABCD 上的射影为ABC ∆

32

tan ,11

3

2

11329

cos =

===

∴∆∆θθAEF

ABC S S

或解：如图2

把AEF ∆、ABC ∆分别扩充

C1

C

A B

图1

D1

C1

C

A B

成菱形AEFG 、正方形ABCD 。 同样，菱形AEFG 在底面上的射影 为正方形ABCD ，同上也可求出正确 答案。

注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。

二、三垂线定理法

如图3，设锐二面角βα--l ，过面α

内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.

解：如图４，

延长CB 、FE 交与G 点， 连接AG ，则

AG ABC =⋂平面平面AEF

因为：BC EB A 平面⊥

所以：过B 点作AG BM ⊥于M ， 连接EM 。由三垂线定理可知：

AG EM ⊥。故EMB ∠为

面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。 设3=AB ，EB ∥ FC EB FC 2

1

,=

，CG 为B ∴中点 3=BG ，在直角等腰三角形ABG 中，由AG BM ⊥知

2

23=

BM

C1

C

图４

A

图3

α

β

P

B

l

A

B P

γ β

α ι

3

2

2

231tan =

==

∠MB EB EMB

三、垂面法

如图５，作平面γ垂直于二面角βα--l 的棱l ，分别交二面角的两个面于射线PA 、PB 。根据平面角的定义可知，APB ∠就是二面角βα--l 的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.

解：如图６，延长CB 、FE 交与G 点，

连接AG ，则AG ABC =⋂平面平面AEF 易证11A ACC AG 平面⊥

且11A ACC 平面与面AEF 与面ABC 的交线分别为AE 、AC ，

所以FAC ∠就是面AEF 与面ABC 所成的二面角 的平面角。

同样，在直角FAC ∆中，可求得

3

2tan =

∠FAC 四、定义法

此方法的关键是在二面角的棱上找到一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算。 例2.（2011年全国新课标理18） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面

ABCD 为平行四边形，

60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．

C

A B

C1

C

图６

解：

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，

由余弦定理得BD = 从而222AB AD BD =+, 故BD ⊥AD

又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，过A 作PB AE ⊥于E ，过E 作EF ∥BC 交PC 于F ，连接AF

由（Ⅰ）知， 故∠AEF 是二面角A-PB-C 的平面角。 作DC FG ⊥于G 点，连接AG

设ＰＤ＝ＡＤ＝１，通过计算可得：4

37,41,27===

AF EF AE 所以77

24

1

272163716147cos -=⨯

⨯-

+=∠AEF

即二面角A-PB-C 的余弦值为7

7

2-

。 五、求部分法

当一个二面角被过棱的一个半平面分成两个二面角时，可分别求出两个二面角，再求和。特别地，当其中一个二面角的大小已知时，问题将更加简便。

解：如图，二面角

C PB A --被平面ＰＢＤ分成 二面角

D PB A --和C PB D --

由（Ⅰ）知：PBD CB 平面⊥ 所以，DPB CPB 平面平面⊥

C

A

B

PB

FE PB CB PDB CB ⊥⊥∴⊥,,平面