一元函数微分学

f
x0
h
h
f
x0
练 (2008年高数二) 设函数 f(x)在点 x=1处可导, 且
df x 1, 则 lim f 1 2x f 1 _______ .
dx
x0
x
x1
结论:
(1)
y
lim
x0 x
f x0 f(x)在点x0处满足
y
y
lim lim
x x x0
x0
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
f
x0
h
h
f
x0
练 (2007年高数二)
若 f 1 2,则
f 1 x f 1
lim
___________
x0
sin x
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) 0
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
h
h
f
x0
例 1 下列各题中均假定 f x0 存在, 按照导数定义
观察下列极限, 指出 A 表示什么:
1 lim f x0 x f x0 A;
x 0
x
2 lim f x A, 其中 f 0 0, 且 f 0存在;
x0 x
3 lim f x0 h f x0 h A.
在对应点 y 处具有导数, 且
f 1 y
Hale Waihona Puke 1f x或 f x 1 f 1 y
(3) 导数的基本公式
c 0 c 为常数 x x1
ax
a x ln a
log
a
x
1 x ln a
ex
ex
ln
x
1
x
sin x cos x
cos x sin x
cot x csc2 x
x x0
x0
x
或
lim f x f x0
x x0
x x0
存在, 则称f(x)在点x0处可导, 并称此极限值为f(x) 在点x0的导数, 记作
f ( x0 ),
y x x0 ,
df dx , x x0
dy dx . x x0
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
f
x0
y
T
函数 y = ƒ(x) 在点x0处的导数是
M 0 L：y=ƒ(x)
曲线 y = ƒ(x) 在点M0(x0 , y0) 处的
φ
切线 M0T 的斜率.
o
x0
x
即 f x0 tan ( 为切线的倾斜角)
切线方程: y y0 f x0 x x0
法线方程:
y
y0
f
1
x0
x
x0
例 3 求曲线 y=cos 和法线方程.
第二讲 一元函数微分学
一、导数与微分 二、中值定理及导数的应用
一、导数与微分 1. 导数概念 2. 求导法则与导数的基本公式 3. 求导方法 4. 高阶导数的概念 5. 微分
1. 导数的概念
定义 设函数 y =ƒ(x)在点x0的某个邻域内有定义, 若
lim y lim f x0 x f x0
h0
h
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
f
x0
h
h
f
x0
练 (2005年高数二)
设函数 y=f(x) 在点 x=x0 处可导, 则
lim f x0 3h f x0 2h ___________
h0
h
(A) f x0 (B) 3 f x0 (C) 4 f x0 (D) 5 f x0
2 y e3x2 4 y a2 x2 6 y arctan e x 8 y ln cos x
例7 求下列函数的导数.
1
y
e
x 2
cos 3x
3 y ln x a2 x2
2 y 1 ln x
1 ln x
4 y ln sec x tan x
5 y ln tan x
2. 求导法则与导数的基本公式
(1) 导数的四则运算
u v u v
u v uv uv 特别地, cu cu
u v
uv uv v2
(2) 反函数的导数
x
f
1
y
f
x
0 .
设函数 y=f (x)在点 x 的某邻域内单调连续, f(x)
在点 x 可导且 f x 0 , 则反函数 x f 1 y
x
在点
3
,
1 2
处的切线方程
练 (2007年高数二) 求曲线 y=2xex+1在点(0, 1)的切 线方程和法线方程.
(3) 导函数
若 y=f(x) 在[a, b]上每一点可导, 则其导数 f (x)是x
的函数, 称为导函数(简称导数). 且
f x lim f ( x x) f (x)
x0
x
记为 f ( x), y, df , dy . dx dx
练 (2006 年高数二) 设
f
x
x
sin
1 x
,
x0 ,
0,
x0
为实数
试问 在什么范围时, (1) f(x)在点x=0连续; (2) f(x)在点x=0可导.
(4) 可导与连续
y = f(x) 在点 x0 处可导 y = f(x) 在点 x0 处连续 连续不一定可导!
csc x csc x cot x
tan x sec2 x
sec x sec x tan x
arcsin x
1 1 x2
arccos x
1 1 x2
arctan
x
1 1 x2
arccot
x
1
1 x2
3. 求导方法
(1) 复合函数的求导法
若 u x 在点 x 处有导数
例 函数 y=| x | 在 x=0 处连续, 却不可导 练 (2008年高数二) 设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 证明它在点 x0 处一定连续, 并举例说明其逆不真.
例 5 设函数
f
x
x2
,
x 1,
ax b, x 1.
为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什么值?
du x ,
dx
y=f(u) 在对应点 u 处有导数 dy f u ,
du
则复合函数 y f x 在点 x 处的导数也存在,
且
dy dy dx du
du dx
或
yx yu
ux
例6 求下列函数的导数.
1 y 2x 54
3 y ln 1 x2
5 y tan x2 7 y arcsin x2
f
x0
其中
y
lim
x x0
f
x0
左导数
y
lim
x x0
f
x0
右导数
例2设
f
x
2 3
x3
,
x2 ,
x 1, x 1,
则 f(x) 在 x=1 处的( )
(A)左右导数都存在
(B) 左导数存在,右导数不存在.
(C) 左导数不存在,右导数存在 (D) 左右导数都不存在.
(2) 导数的几何意义